Non moins sournoise, la cinquième grande forme de déperdition thermique est la conduction à travers les structures du bâti. Outre son enveloppe, une maison comprend aussi des dalles et des murs porteurs, éventuelle-ment prolongés dans le sol par des fondations ou vers l'extérieur par des balcons. Tous ces élééventuelle-ments structurels sont à la fois en contact avec l'air chaud intérieur et avec l'extérieur. Quand une bonne partie de leur surface est exposée à l'extérieur, ils se comportent comme de véritables ailettes de radiateur. Ces structures sont des lames métalliques ajoutées sur un radiateur pour augmenter la surface de contact entre le corps chaud et l'air froid.
Les ailettes contournées des radiateurs de microprocesseurs illustrent bien le phénomène ; leur surface de contact avec l'air-est si grande que leur taille excède celle de la puce qu'elles refroidissent ! Or, un mur de soutènement perpendiculaire à la façade ou à la dalle qui soutient un balcon a le même eet qu'une ailette. Pour le constater, placez-vous à l'intérieur d'une pièce et passez votre main sur un tel mur en la rapprochant de la façade ; vous constaterez qu'à environ 70 centimètres de la façade, la température du mur diminue. C'est là que commence la portion du mur qui diuse au maximum. Le mur se comporte comme une ailette de la maison.
Dans une maison, les pertes dues à la conduction à travers les structures reliant l'intérieur à l'extérieur représentent souvent jusqu'à cinq pour cent des pertes totales. Comment les réduire ? Le mieux est de recourir à une isolation extérieure de la façade. Ainsi, les habitants des pays du Nord habillent de bois, d'ardoises, de plaques goudronnées les murs de pierre ou de béton de leurs maisons, et introduisent de la paille dans les interstices.
Suivant la conguration de la maison, certains mécanismes de déperdition de chaleur prédomineront. Les mesures prises pour les réduire devront être adaptées à ces mécanismes particuliers. Une fois les fuites d'air et les pertes de chaleur par conduction maîtrisées, il importe de contrecarrer les eets sournois de la convection.
Faire poser des doubles vitrages sera peu utile si des échanges d'air excessifs avec l'extérieur subsistent. La recherche d'un bon équilibre thermique est aaire de compromis.
Enoncé
1) Renouvellement de l'air.
1.a) Vérier que "10 kilowattheures par jour sont nécessaires pour réchauer de 15◦C l'air d'un appartement de 50 mètres carrés si l'on renouvelle l'air une fois par heure". On donne la masse volumique de l'airµ= 1,3 kg·m−3et sa capacité thermique massique à pression constante cp= 103 J·kg−1·K−1.
1.b) Représenter schématiquement un échangeur thermique à contre courant . 2) Conductivité thermique
2.a) Rappeler la loi de Fourier et lister les valeurs de conductivités thermiques qu'on peut trouver dans le texte.
2.b) Dénir la résistance thermiqueRthd'un "milieu plus ou moins conducteur [qui] relie deux corps"
et vérier que Rth est "inversement proportionnel à la conductivité thermique du milieu de transmission" et que "quand son épaisseur double ou que sa surface de contact avec l'un des deux corps est réduite de moitié"
Rth double.
2.c) Vérier aussi que "la perte d'énergie à travers une seule fenêtre de 2 mètres carrés est la même qu'à travers une façade normale de 100 mètres carrés". On fera un schéma qui représente l'équivalent électrique dans le cas de la fenêtre et de la façade.
2.d) Faire un schéma qui représente l'équivalent électrique dans le cas du double vitrage. Comment varie alorsRth quand on passe d'un simple à un double vitrage ?
3) Conducto-convection et eet d'ailette
3.a) Faire un schéma et expliciter les grandeurs présentes dans la loi de Newton :δQ=Sh(Ts−Ta)dt. On donneh= 15 W·m−2·K−1pour l'interface béton-air.
On considère la dalle en béton d'un balcon de section rectangulaire de cotés a = 10 cm, suivant l'axe y, b = 2 msuivant l'axexet L = 1,2 msuivant l'axez. Elle est xée à une paroi à température T0 = 20◦C et z= 0et est en contact avec l'air de températureTa= 5◦C.
3.b) Montrer que l'équation diérentielle à laquelle obéit en régime permanent la températureT(z)de l'ailette peut s'écrire
∂2T
∂z2 −T(z) δ2 =−Ta
δ2 On donnera la longueur caractéristiqueδ.
3.c) Résoudre cette équation, en supposant l'ailette de longueur innie. A quelle condition concrète, l'hypothèse ailette innie est elle légitime ? Est ce le cas ici ?
3.d) Quelle est alors la puissance thermique évacuée par l'ailette ? Commenter.
Correction
1) Renouvellement de l'air.
1.a) En considérant une hauteur de plafond de2,5 m, et les pièces principales représentant les deux tiers de l'appartement, le volume d'air à renouveler chaque heure est deV = 50×2,5×0,67 = 80 m3.
L'énergie nécessaire est, à pression constante :
∆H =ρc24V∆T = 1,3×103×24×80×15 = 37.103 kJ = 10 kW·h
1.b) Le schéma d'un échangeur thermique à contre courant est donné sur la gure suivante :
2) Conductivité thermique
2.a) La loi de Fourier est~jth = −λ−−→
gradT. On trouve dans le texte les valeurs de conductivités thermiques suivantes :
λacier = 52 W·m−1·K−1, λbeton= 1,75 W·m−1·K−1, λbois= 0,06 W·m−1·K−1, λair = 0,025 W·m−1·K−1.
2.b) Rth= Tcφ−Tf
th oùφthest le ux thermique qui passe du milieu de températureTc au milieu de température Tf.
Comme −−→
gradT = Tf−Te c~e, où e est l'épaisseur du milieu intermédiaire, la loi de Fourier donne~jth =
−λTf−Te c~e. Aussi,φth=−SλTf−Te c oùS est la surface du milieu intermédiaire.
Donc
Rth= e λS
On peut donc aisément vérier queRthest "inversement proportionnel à la conductivité thermique du milieu de transmission" et que "quand son épaisseur double ou que sa surface de contact avec l'un des deux corps est réduite de moitié" Rthdouble.
2.c) D'après le texte, "à épaisseur égale, le verre conduit à peu près aussi bien la chaleur que le béton. Or, les carreaux de verre sont au moins 50 fois moins épais que les murs de béton. Une fois de plus, l'une des meilleures protections est à base d'air : les doubles vitrages. L'intervalle entre les carreaux y est si étroit que l'air se trouve immobilisé ; sa conductivité thermique 100 fois plus faible que celle du verre joue alors à plein son rôle d'isolant." Aussi,
* λair= 0,025 W·m−1·K−1=λ100verre, doncλverre= 2,5 W·m−1·K−1≈λbeton.
* les épaisseurs sont telles que ev=50eb
* les surfaces sont Sv= 2 metSb= 100 m = 50Sv.
Aussi, si on calcule les résistances thermiques : Rb ≈Rv : "la perte d'énergie à travers une seule fenêtre de 2 mètres carrés est la même qu'à travers une façade normale de 100 mètres carrés".
Le schéma qui représente l'équivalent électrique dans le cas de la fenêtre et de la façade est donné sur la gure suivante :
2.d) Le schéma qui représente l'équivalent électrique dans le cas du double vitrage est donné sur la gure suivante :
Pour un simple vitrage,Rth=Rv alors que pour un double vitrage,Rth= 2Rv+RaRvcarRvRa, la résistance thermique de la lame d'air emprisonnée.
3) Conducto-convection et eet d'ailette
3.a) Le schéma qui explique les données de la loi de Newton est donné sur la gure suivante :
3.b) On considère la portion de la dalle en béton d'un balcon de section rectangulaire de cotés a= 10 cm, suivant l'axe y,b = 2 msuivant l'axe xcomprise entre les abscissesz et z+dz suivant l'axez (cf. gure suivante). Elle est à la température T(z)et est en contact avec l'air de températureTa= 5◦C.
Le premier principe donnedU =δQ= 0car on se trouve en régime permanent et il n'y a pas de travail.
Soit :
0 =jz(z)ab−jz(z+dz)ab−dz(2a+ 2b)h(T(z)−Ta)≈ −ab∂jz
∂zdz−2bdzh(T(z)−Ta) La loi de Fourier donne
aλ∂2T
∂z2 = 2h(T(z)−Ta) qu'on peut réécrire en posant la distance caractéristiqueδ=
qaλ
2h = 7,6 cm:
∂2T
∂z2 −T(z) δ2 =−Ta
δ2 3.c) La solution est du type :
T(z) =Aezδ +Be−zδ +Ta Les conditions aux limites sont :
- enz→ ∞:T(z)→Ta doncA= 0
- et en z→0:T(z)→T0doncB= (T0−Ta). Ainsi,
T(z) = (T0−Ta)e−zδ +Ta
L'hypothèse ailette innie est légitime siL= 1,2 m delta = 7,6 cm, c'est le cas ici.
3.d) La quantité de chaleur évacuée par unité de temps est la puissance thermique enz= 0: Pth=jz(z= 0)ab=−λab
∂T
∂z
z=0
= +λab
δ (T0−Ta)e−z=0δ = λab
δ (T0−Ta) AN :Pth= 70 W, ce qui est la puissance d'une ampoule : ce n'est pas négligeable !