La notion de d´emonstration pr´ec´edente est p´enible `a utiliser en pratique.
Une alternative : la d´eduction naturelle. Principe :
I On manipule des couples (appel´ess´equents) Γ`A, o`u Γ est un ensemble fini de formules (propositionnelles) etAest une formule (propositionnelle).
• Motivation sous-jacente : Γ`Aexprime le fait que sous les hypoth`eses Γ, on aA.
I On utilise les r`egles de d´eduction du transparent suivant
• i.e. : on d´efinit inductivementl’ensemble des s´equents d´erivablespar les r`egles du transparent suivant.
• Ici, on consid`ere que les formules incluent aussi⊥, interpr´et´e par faux, et>interpr´et´e par vrai.
On dit que F est prouvable `a partir de T, not´e T `F si T `F est un s´equent d´erivable.F est dite prouvable si elle est prouvable `a partir de T =∅.
D´eduction naturelle
La notion de d´emonstration pr´ec´edente est p´enible `a utiliser en pratique.
Une alternative : la d´eduction naturelle.
Principe :
I On manipule des couples (appel´ess´equents) Γ`A, o`u Γ est un ensemble fini de formules (propositionnelles) etAest une formule (propositionnelle).
• Motivation sous-jacente : Γ`Aexprime le fait que sous les hypoth`eses Γ, on aA.
I On utilise les r`egles de d´eduction du transparent suivant
• i.e. : on d´efinit inductivementl’ensemble des s´equents d´erivablespar les r`egles du transparent suivant.
• Ici, on consid`ere que les formules incluent aussi⊥, interpr´et´e par faux, et>interpr´et´e par vrai.
On dit que F est prouvable `a partir de T, not´e T `F si T `F est un s´equent d´erivable.F est dite prouvable si elle est prouvable `a partir de T =∅.
D´eduction naturelle
La notion de d´emonstration pr´ec´edente est p´enible `a utiliser en pratique.
Une alternative : la d´eduction naturelle. Principe :
I On manipule des couples (appel´ess´equents) Γ`A, o`u Γ est un ensemble fini de formules (propositionnelles) etAest une formule (propositionnelle).
• Motivation sous-jacente : Γ`Aexprime le fait que sous les hypoth`eses Γ, on aA.
I On utilise les r`egles de d´eduction du transparent suivant
• i.e. : on d´efinit inductivementl’ensemble des s´equents d´erivablespar les r`egles du transparent suivant.
• Ici, on consid`ere que les formules incluent aussi⊥, interpr´et´e par faux, et>interpr´et´e par vrai.
On dit que F est prouvable `a partir de T, not´e T `F si T `F est un s´equent d´erivable.F est dite prouvable si elle est prouvable `a partir de T =∅.
D´eduction naturelle
La notion de d´emonstration pr´ec´edente est p´enible `a utiliser en pratique.
Une alternative : la d´eduction naturelle. Principe :
I On manipule des couples (appel´ess´equents) Γ`A, o`u Γ est un ensemble fini de formules (propositionnelles) etAest une formule (propositionnelle).
• Motivation sous-jacente : Γ`Aexprime le fait que sous les hypoth`eses Γ, on aA.
I On utilise les r`egles de d´eduction du transparent suivant
• i.e. : on d´efinit inductivementl’ensemble des s´equents d´erivablespar les r`egles du transparent suivant.
• Ici, on consid`ere que les formules incluent aussi⊥, interpr´et´e par faux, et>interpr´et´e par vrai.
On dit que F est prouvable `a partir de T, not´e T `F si T `F est un s´equent d´erivable.F est dite prouvable si elle est prouvable `a partir de T =∅.
D´eduction naturelle
La notion de d´emonstration pr´ec´edente est p´enible `a utiliser en pratique.
Une alternative : la d´eduction naturelle. Principe :
I On manipule des couples (appel´ess´equents) Γ`A, o`u Γ est un ensemble fini de formules (propositionnelles) etAest une formule (propositionnelle).
• Motivation sous-jacente : Γ`Aexprime le fait que sous les hypoth`eses Γ, on aA.
I On utilise les r`egles de d´eduction du transparent suivant • i.e. : on d´efinit inductivementl’ensemble des s´equents
d´erivablespar les r`egles du transparent suivant.
• Ici, on consid`ere que les formules incluent aussi⊥, interpr´et´e par faux, et>interpr´et´e par vrai.
On dit que F est prouvable `a partir de T, not´e T `F si T `F est un s´equent d´erivable.F est dite prouvable si elle est prouvable `a partir de T =∅.
D´eduction naturelle
La notion de d´emonstration pr´ec´edente est p´enible `a utiliser en pratique.
Une alternative : la d´eduction naturelle. Principe :
I On manipule des couples (appel´ess´equents) Γ`A, o`u Γ est un ensemble fini de formules (propositionnelles) etAest une formule (propositionnelle).
• Motivation sous-jacente : Γ`Aexprime le fait que sous les hypoth`eses Γ, on aA.
I On utilise les r`egles de d´eduction du transparent suivant • i.e. : on d´efinit inductivementl’ensemble des s´equents
d´erivablespar les r`egles du transparent suivant.
• Ici, on consid`ere que les formules incluent aussi⊥, interpr´et´e par faux, et>interpr´et´e par vrai.
On dit que F est prouvable `a partir de T, not´e T `F si T `F est un s´equent d´erivable.F est dite prouvable si elle est prouvable `a partir de T =∅.
D´eduction naturelle
La notion de d´emonstration pr´ec´edente est p´enible `a utiliser en pratique.
Une alternative : la d´eduction naturelle. Principe :
I On manipule des couples (appel´ess´equents) Γ`A, o`u Γ est un ensemble fini de formules (propositionnelles) etAest une formule (propositionnelle).
• Motivation sous-jacente : Γ`Aexprime le fait que sous les hypoth`eses Γ, on aA.
I On utilise les r`egles de d´eduction du transparent suivant • i.e. : on d´efinit inductivementl’ensemble des s´equents
d´erivablespar les r`egles du transparent suivant.
• Ici, on consid`ere que les formules incluent aussi⊥, interpr´et´e par faux, et>interpr´et´e par vrai.
On dit queF est prouvable `a partir de T, not´e T `F si T `F est un s´equent d´erivable.F est dite prouvable si elle est prouvable `a partir de T =∅.
Γ`A axiomepour chaque A∈Γ Γ` > >-intro Γ` ⊥ Γ`A ⊥-´elim Γ`A Γ`B Γ`A∧B ∧-intro Γ`A∧B Γ`A ∧-´elim Γ`A∧B Γ`B ∧-´elim Γ`A Γ`A∨B ∨-intro Γ`B Γ`A∨B ∨-intro Γ`A∨B Γ,A`C Γ,B`C Γ`C ∨-´elim Γ,A`B Γ`A⇒B ⇒-intro Γ`A⇒B Γ`A Γ`B ⇒-´elim Γ,A` ⊥ Γ` ¬A ¬-intro Γ`A Γ` ¬A Γ` ⊥ ¬-´elim Γ`A∨ ¬A tiers exclu
Exemple
{(F⇒G),(G⇒H),F} `(G⇒H) ax {(F⇒G),(G⇒H),F} `(F⇒G) ax {(F⇒G),(G⇒H),F} `F ax G ⇒-´elim {(F⇒G),(G⇒H),F} `H ⇒-´elim {(F⇒G),(G⇒H)} `(F⇒H) ⇒-intro 22Validit´e et compl´etude de cette m´ethode de preuve
Th´eor`eme [Validit´e]. Toute formule propositionnelle prouvable est une tautologie.Th´eor`eme [Compl´etude]. Toute tautologie est prouvable.
Plus g´en´eralement :
I NotonsT |=F pour signifier que tout mod`ele de chacune des formules deT est un mod`ele deF.
I On dit queF est unecons´equence(s´emantique) deT. I On a :
Plus pr´ecis´ement
Calcul propositionnel
Syst`emes de d´eduction Preuves `a la Hibert-Fregge
Bonus Track : Preuves en d´eduction naturelle
Bonus Track : Satisfaction d’un ensemble de formules -Th´eor`eme de Compacit´e