R´eduction ` a l’aide d’un unique mode non lin´eaire

Collaborateurs :S. Bellizzi, R. Bouc, D. Noreland (post-doctorant)

Plutˆot que de projeter la dynamique sur des plans dans l’espace des phases (c’est le cas lorsqu’on utilise des modes lin´eaires), une approche alternative consiste `a trouver la vari´et´e invariante sous-jacente `a la dynamique du mod`ele et `a se placer sur cette vari´et´e (qui d´efinit un mode non lin´eaire, ou MNL) o`u la dynamique s’´ecrit alors plus simplement. Un unique MNL peut alors suffire pour repr´esenter avec un bon degr´e d’approximation la dynamique du mod`ele original.

La premi`ere difficult´e est donc de savoir comment d´efinir la vari´et´e invariante qui d´efinit le MNL. Nous suivons l’approche de Shaw et Pierre [SP91, SP93] : ce sont des vari´et´es invariantes de l’espace des phases, tangentes au niveau du point d’´equilibre au mode lin´eaire (qui apparaˆıt comme un plan). Une seconde difficult´e est la recherche de cette vari´et´e. Nous avons choisi pour calculer les modes non lin´eaires, une approche propos´ee par S. Bellizzi et R. Bouc [BB05], dite formulation amplitude/phase : la vari´et´e invariante (le mode non lin´eaire recherch´e) est param´etr´ee par une variable d’amplitude et une variable de phase. La dynamique modale sur la vari´et´e (c’est

`a dire l’´evolution temporelle du syst`eme) est donn´ee par deux ´equations diff´erentielles ordinaires d’ordre 1. Le lecteur non sp´ecialiste d´esireux de se repr´esenter plus pr´ecis´ement ce qu’est un MNL tel que d´efini par [BB05], en particulier par rapport au cas lin´eaire, pourra consulter le tableau 3.1. Une qualit´e importante de la m´ethode est sa compatibilit´e avec les situations de r´esonance interne (deux valeurs propres au moins du syst`eme lin´eaire proportionnelles) ce qui est le cas pour les mod`eles consid´er´es d’instruments `a vent. Traiter les r´esonances internes n’est cependant pas l’apanage de cette m´ethode : par exemple Touz´e et al. [TOC04], ont d´evelopp´e une m´ethode en liaison avec les formes normales qui s’en accommode aussi.

Le mod`ele de clarinette consid´er´e correspond au mod`ele `a deux ´equations d´ecrit en annexe 7.1.2avec une d´ecomposition modale du r´esonateur similaire `a celle d´ecrite en annexe7.1.3(modes r´eels). Nous retenons trois modes r´eels pour d´ecrire l’acoustique dans le r´esonateur (fr´equences de r´esonance quasiment dans un rapport de multiplicit´e impair : f1, 3f1, 5f1), ce qui autorise au moins trois r´egimes p´eriodiques associ´es `a ces modes (appel´ees registres en langage musical).

Les syst`emes `a r´esoudre d´efinissant la vari´et´e invariante et les deux ´equations scalaires ca-ract´eristiques de la dynamique dans la vari´et´e, sont cependant non triviaux et font partie de la classe des syst`emes alg´ebro-diff´erentiels : ´equations aux d´eriv´ees partielles (suivant les variables amplitude-phase) coupl´ees `a des ´equations alg´ebriques. Une discr´etisation des fonctions inconnues suivant la variable phase (approche quasi-spectrale) a permis de ramener le probl`eme `a un syst`eme alg´ebro-diff´erentiel suivant la seule variable amplitude. Ce syst`eme est ensuite r´esolu `a l’aide d’un sch´ema num´erique de type Euler r´etrograde. C’est en jouant sur le choix de la condition initiale

Modes d’un syst`eme

Les inconnues et leur d´eriv´ee tem-porelle (P et ˙P) sont recherch´ees sous la forme :

P(t) = v(t)X(v(t), φ(t)) P(t)˙ = v(t)Y(v(t), φ(t))

(3.3) avec X et Y des fonctions 2π-p´eriodiques en la variable φ. Les variables d’amplitude et de phase v et φ sont gouvern´ees par un syst`eme diff´erentiel d’ordre 1 : sca-laires et sont choisies impaires et π-p´eriodiques en la variableφ. Les conditions initiales sont fix´ees par ϕ∈[0,2π] eta > 0. Un MNL est caract´eris´e parX, Y, Ω andξ.

Table3.1 – Introduction `a ce qu’est un mode non lin´eaire tel que d´efini par Bellizzi & Bouc [BB05]

(colonne de droite) par rapport au cas lin´eaire conservatif (colonne de gauche) et non conservatif (colonne centrale) .

qu’il est possible de calculer les diff´erents modes non lin´eaires. La figure3.3pr´esente `a titre illus-tratif la reconstruction de la vari´et´e invariante, i.e. d’un MNL (surface orange) et de la dynamique qui y est inscrite (courbe noire) dans l’espace des configurations (p1, p2, p3). A chaque registre correspond un MNL. Dans [12] nous avons aussi montr´e que :

– Au-del`a du seuil d’oscillation, il y a existence d’un cycle limite stable. L’existence d’un cycle limite dans la vari´et´e se traduit par l’existence d’une solution p´eriodique au syst`eme des

´equations scalaires d´efinissant l’´evolution de l’amplitudevet de la phaseφ. Ce r´esultat n’´etait pour l’instant d´emontr´e pour ce type de mod`ele que pr`es du seuil d’oscillation (bifurcation de Hopf directe, [GGL96], [14]). A noter que la stabilit´e est d´emontr´ee, dans un premier temps, dans la vari´et´e uniquement. La stabilit´e “globale” du cycle limite (dans tout l’espace des configurations) a ensuite ´et´e obtenue en faisant une ´etude des multiplicateurs de Floquet.

– Un mod`ele r´eduit `a un unique mode non lin´eaire permet de reproduire la dynamique du mod`ele original, que ce soit en r´egime transitoire ou en r´egime ´etabli (figure 3.4, gauche).

L’erreur semble croˆıtre au cours du temps (colonne de droite) mais cela est le r´esultat d’un l´eger d´esaccord en fr´equence avec la solution obtenue par simulation num´erique directe.

Cette approche est ´egalement int´eressante `a plusieurs ´egards :

−2 −4

Figure3.3 – Vari´et´e courbe repr´esentant le second mode non lin´eaire de la clarinette, repr´esent´e dans l’espace des configurations (ici les coordonn´ees modales associ´ees aux trois modes lin´eaires du r´esonateur). Sur cette vari´et´e invariante est repr´esent´e le cycle limite correspondant au second registre de la clarinette, pour des conditions initiales choisies sur la vari´et´e. Figure extraite de [12].

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Figure3.4 – Comparaison de la dynamique temporelle du mod`ele r´eduit `a un mode non lin´eaire, et de la simulation num´erique directe du mod`ele de clarinette de d´epart, en r´egime transitoire et

´etabli. Ici les conditions initiales sont telles que la dynamique prend place sur le premier MNL.

Figure extraite de [12].

– Acc`es imm´ediat `a l’amplitude et `a la fr´equence instantan´ees de la solution sans avoir besoin du signal temporel (et donc sans r´esoudre le syst`eme complet).

– Acc`es direct `a la solution `a un tempst quelconque sans recours au calcul auxtant´erieurs.

– Possibilit´e de calculer des dynamiques instables (transitoires ou r´egimes ´etablis).

– Calcul des cycles limites sans aucun calcul dans le domaine temporel.

Les limites de l’approche actuelle r´esident dans l’impossibilit´e de calculer le mode non lin´eaire au del`a d’une amplitude limite (probl`eme de convergence), bien en de¸c`a de la dynamique maximale de la clarinette. Malgr´e de nombreuses tentatives, nous ne parvenons pas encore `a expliquer la cause de ce ph´enom`ene. De plus, il convient de pr´eciser que la vari´et´e (et donc la dynamique) est calcul´ee pour des param`etres de contrˆole constants. Ainsi une application de la m´ethode `a la synth`ese sonore temps r´eel (ou les param`etres de contrˆole sont modifi´es pour reproduire l’action du musicien, cf. paragraphe3.4) n’apparaˆıt pas directement envisageable. En revanche, l’approche est bien adapt´ee `a l’analyse de la dynamique des mod`eles.