oùK =1/C2
d,vest la vitesse débitante moyenne en un point, ici au niveau du rétrécissement, Cd
est le coefficient de décharge. Un cas particulier de perte de charge locale est celui d’un brusque élargissement de l’écoulement. L’équation de Borda-Carnot est une description empirique de telles pertes de charges :∆P=12ρ(v1−v2)2 où v1 est la vitesse avant l’élargissement et v2 est la vitesse après l’élargissement (v1est supérieur àv2).
2.2 Ecoulement monophasique
Le taux de cisaillement ˙γ(s−1) mesure le gradient de vitesse perpendiculairement au sens de l’écoulement. Il dépend du profil de vitesse de l’écoulement et de la position. Comme illustré dans la figure 2.1(a), nous considérons un fluide incompressible qui s’écoule horizontalement en régime laminaire ou turbulent établi dans un microcanal de hauteur H et largeur W. La coordonnée y
correspond à la dimension verticale et son origine est située à mi-hauteur (−H/2≤y≤H/2). Nous notons quev(y) est la vitesse locale du fluide s’écoulant perpendiculairement à l’axe y.
(a) (b)
FIGURE2.1:Profil de vitesse pour l’écoulement d’un fluide entre deux plaques planes : (a) en régime laminaire et (b) en régime turbulent.
Le taux de cisaillement ˙γet la contrainte tangentielleτsont tels que :
(2.7) γ˙= ¯ ¯ ¯ ¯ ∂v ∂y ¯ ¯ ¯ ¯ et dτ dy=∆P L
Pour un fluide newtonien, la viscosité dynamiqueµest le rapport de la contrainteτsur le taux de cisaillement :µ=τ/ ˙γouτ=µγ˙.
La combinaison des équations précédentes nous permet de retrouver le bilan de quantité de mouve-ment en écoulemouve-ment stationnaire incompressible :
(2.8) ∂2v
∂y2= −∆P µL
Si nous considérons le modèle d’un écoulement laminaire entre deux plaques planes (2D), le gradient de pression le long de l’écoulement est constant (∆P/L = constante). La double intégration de
CHAPITRE 2. ÉCOULEMENTS MONOPHASIQUES ET CAVITANTS ’SUR PUCE’
l’équation 2.8 en prenant compte de la condition limite d’adhérence en paroi (v(y= ±H/2)=0), nous permet de retrouver un profil de vitesse parabolique suivant :
(2.9) v(y)= ∆P
2µL µH2
4 −y2 ¶
Ainsi la vitesse maximale au centre du profil est :
(2.10) vmax=v(y=0)=∆P H2
8µL
Le débit volumiqueQv s’obtient par intégration de l’équation 2.9 sur la surface de passage :
(2.11) Qv=2W Z H/2 0 v(y)dy=2 3W Hvmax=2 3W Hvmax=∆PW H3 12µL
Avec ces deux équations précédentes, on peut montrer le lien entre vitesse maximale et vitesse débitante moyennevmax=1, 5U.
Pour le cas d’un écoulement laminaire 2D, il est alors possible d’exprimer littéralement le taux de cisaillement en fonction de yavec l’équation 2.9 tel que :
(2.12) γ˙(y)= ¯ ¯ ¯ ¯ ∂v ∂y ¯ ¯ ¯ ¯=∆P µL|y|
avec−H/2<y<H/2. Le taux de cisaillement est maximal en paroi pour y=H/2, puis diminue jusqu’à s’annuler au centre du canal (y=0).
Le taux de cisaillement laminaire en paroi peut alors être relié directement au débitQv, à la perte de charge∆P ou plus simplement au rapport vitesse débitante sur hauteur du canal :
(2.13) γlam˙ =γ˙ µ y=H 2 ¶ = ¯ ¯ ¯ ¯ ∂v ∂y µ y= H 2 ¶¯ ¯ ¯ ¯=∆P H 2µL =6 Qv W H2 =6U H
En microfluidique avecHpetit etU fixé, ˙γlampeut être important.
De plus, pour un écoulement laminaire entre plaques planes, on peut montrer à partir de l’équation 2.11 que le facteur de frottement défini dans l’équation 2.5 s’écrit :
(2.14) flam= 96
R e
Lorsque le nombre de Reynolds dépasseR e>2000, l’écoulement est considéré comme turbulent (nous ne considérons pas le régime transitoire ici), comme illustré dans la figure 2.1(b). Différentes études montrent que les pertes de charge en régime turbulent avec des parois lisses peuvent être décrites par le facteur de frottement introduit par Blasius [91]
(2.15) fturb= 0, 35
2.2. ECOULEMENT MONOPHASIQUE
Il faudrait noter que les relations 2.14 et 2.15 sont uniquement valables pour décrire les pertes de charge dans un canal de faible facteur d’aspect H/W où l’écoulement se rapproche de celui entre deux plaques planes. Pour un canal rectangulaire, afin de prendre en compte l’influence du taux d’aplatissement, il faut corriger le nombre de Reynolds par le facteur suivant :
β=1−1, 3553(H/W)+1, 9467(H/W)2−1, 7012(H/W)3+0, 9564(H/W)4−0, 2537(H/W)5 (2.16)
R e0=R e/β
(2.17)
Le nombre de Reynolds que nous calculons est donc celui corrigé par ce facteurβ, afin de faciliter la notation, le nombre de Reynolds corrigé que nous utilisons par la suite est noté commeR e. On appelle nombre de poiseuille le produitP o=f·R e. En régime laminaire, il y a :
(2.18) P olam=96=constant
et en régime turbulent :
(2.19) P oturb=0, 35R e0,75
L’agitation présente dans l’écoulement génère alors des fluctuations de pression et de vitesse et le profil de vitesse moyenne s’aplatit suite à la diminution des couches limites dynamiques qui restent proche de la paroi. Le profil de vitesse en régime turbulent dépend de la distance à la paroi. Dans la zone logarithmique, au dessus de la sous couche visqueuse, le cisaillement dans cette zone peut alors s’écrire sous la forme [92]
(2.20) ∂v
∂y=vτ
κ
1
y
avecκ=0, 41 la constante de von Karman et la vitesse dite de frottementvτ. L’ordre de grandeur de
la vitesse de frottement dans un canal aplatit en régime turbulent peut s’écrire
(2.21) vτ= q 0, 5U2f = s 0, 5U2 0, 35 R e0,25 = 0, 42 R e1/8U≈0, 15U
En effet, pour une gamme de Reynolds compris entre 2000 et 5000, la fraction 0, 42/R e1/8 varie très légèrement entre 0,14 et 0,16. Par conséquent, l’ordre de grandeur de la vitesse de frottement peut être pris commevτ≈0, 15U.
En écoulement turbulent, comme proposé par [93], l’estimation de la contrainte de cisaillement peut se faire à partir du gradient de vitesse de l’écoulement moyen (∂v/∂y) en introduisant la notion de viscosité turbulenteµt tel que :
(2.22) τ=(µt+µ)∂v
∂y≈µt∂v ∂y
CHAPITRE 2. ÉCOULEMENTS MONOPHASIQUES ET CAVITANTS ’SUR PUCE’
où la viscosité turbulente est bien plus importante que la viscosité moléculaire (µ/µt<<1), le taux de cisaillement peut se résumer à sa contribution turbulente. Il est alors nécessaire de modéliser l’évolu-tion de la viscosité turbulente afin de pouvoir calculerτ. Le modèle le plus simple correspond à celui introduit par Prandlt qui relie la viscosité turbulente à une longueur de mélangelm correspondant à la dimension des structures tourbillonnaires tel que :
(2.23) µt=ρl2m∂v
∂y
Dans la zone logarithmique, la longueur de mélange évolue comme [94] :
(2.24) lm=κy
Ainsi l’expression de la longueur de mélange (équation 2.24), de la viscosité turbulente (équation 2.23) et du gradient de vitesse (équation 2.20) permettent de montrer que le taux de cisaillement (équation 2.22) est directement lié à la vitesse de frottement :
τ=ρl2m µ∂v ∂y