a un mod`ele purement BMM du point de vue des ´energies mais ayant des observables qui se d´ecorr`elent doucement entre chaque ´etat. Nous ´etudions explicitement ce cas. Signalons que durant la r´edaction de cette th`ese, Sollich a r´esolu le BMM (et le BTM) avec d´ecorr´elation lente entre chaque ´etat. Nos r´esultats sont en parfait accord avec son ´etude [90].
Enfin, le point final de notre ´etude se situe au niveau des r´eponses de ces syst`emes, c’est-`a-dire sur les relations de fluctuation-dissipation. Nous montrons alors, en parfait concordance avec les travaux de Sollich [90], que dans la limite K/N→ 0 pour le NPP (ou pour le BMM avec d´ecorr´elation lente) ´emerge une temp´erature effective valant Tg/2.
5.3 R´ealisations des mod`eles originaux
5.3.1 K = 1
Il n’y a pas de pi`eges ! La dynamique est bien celle du BTM aux temps longs. L’´etude est faite dans le chapitre pr´ec´edent.
5.3.2 K = N
Consid´erons le cas extrˆeme oppos´e o`u tous les spins sont redistribu´es `a chaque pas Monte Carlo. Dans ce cas, l’horizon disparaˆıt puisque par construction tous les ´etats sont connect´es, la dynamique ´etant globale. Par ailleurs, puisque l’ensemble des spins est redistribu´e, l’au-tocorr´elation de spins (4.22) entre deux ´etats successifs est nulle. Nous sommes donc dans une situation o`u, tous les ´etats sont connect´es, la distribution en ´energie aux basses ´energies est exponentielle (4.7) et la corr´elation choisie est identique `a la corr´elation de saut. Par cons´equent, cette dynamique globale du NPP est une r´ealisation microscopique du BMM d´efini par les ingr´edients justement mentionn´es. La partie non exponentielle du spectre pour laquelle l’´energie de Mertens est plus grande que√
N n’a pas d’influence sur la dynamique `
a temps longs ´etant donn´es que ces ´etats sont tr`es peu visit´es.
La suite de ce paragraphe est consacr´ee `a une justification quantitative de cette r´ealisation, appuy´ee par quelques simulations num´eriques ne laissant aucun doute `a l’affaire.
Fonctions de corr´elation
Dans le cas d’une compl`ete redistribution des spins, nous avons dit que l’autocorr´elation (4.22) ´etait identique `a la corr´elation de saut (4.21). Cette corr´elation est la base de la plupart des calculs de loi de vieillissement dans les mod`eles BMM et BTM. Dans le BMM, les lois de vieillissement ont des comportement diff´erents suivant le secteur de temps consid´er´e. Pour une fonction de corr´elation C(tw, tw+t), les comportements asymptotiques t≪ twet t≫ tw
10-1 100 101 t/tw 10-2 10-1 C(tw,tw+t) tw=102 tw=103 tw=104 f(x)=(1-T/Tg)/x 10-2 10-1 100 101 t / tw 10-2 10-1 100 C 10-4 10-3 10-2 10-1 t/tw 10-2 10-1 100 1-C(tw,tw+t) T=0.1 Tg T=0.25 Tg T=0.4 Tg T=0.6 Tg T=0.7 Tg
Fig. 5.1 – Lois de vieillissement pour l’autocorr´elation de spins. K = N = 50, pour T = 0.75 Tg et diff´erents tw; les donn´ees montrent un comportement de vieillissement simple. La droite est la pr´ediction analytique de l’´equation (5.9). Insert : autocorr´elation pour diff´erentes temp´eratures ; de gauche `a droite : T /Tg = 0.75, 0.6, 0.5, 0.4, 0 (tw = 103). La droite en pointill´es est proportionnelle `a t−1.
Fig.5.2 – Comportement `a temps courts de l’autocorr´elation de spins C(tw, tw+t) montrant la singularit´e avec un exposant (1− µ)/µ (droites) pour 1
2 < µ < 1, exposant identique `a celui de l’´equation (5.10).
sont caract´eristiques de la nature entropique ou activ´ee de la dynamique [48], i.e. T < T g/2 et T g/2 < T < Tg respectivement.
Dans la limite t≫ tw, le comportement caract´eristique du BMM est donn´e [43, 48] par :
C(tw, tw+ t)∼ttw (5.8)
En fait, en reprenant les calculs de [48] ´etablis pour une dynamique de Glauber, il est possible de calculer le comportement exact dans le cas des taux M´etropolis :
C(tw, tw+ t)≈ (1 − µ)twt (5.9)
o`u µ = T /Tgest la temp´erature r´eduite. Nous voyons d’apr`es la Fig. (5.1) que les simulations num´eriques du NPP concordent tr`es bien avec ce comportement.
A temps courts (t≪ tw), une analyse asymptotique de la fonction de corr´elation dans le BMM montre l’apparition d’une singularit´e [48] pour des temp´eratures Tg/2 < T < Tg :
1− C(tw, tw+ t)∼ ³ t tw ´(1−µ)/µ 1 2 < µ < 1 t tw µ <1 2 (5.10)
Ces comportements sont en fait les comportements asymptotiques t/tw → 0. Cependant, cette diff´erence de comportement apparaˆıt quantitativement dans le NPP totalement redis-tribu´e (Fig.5.2). Les ´ecarts `a temps tr`es courts viennent d’une part de l’exploration d’´etats non exponentiellement distribu´es (cette exploration devenant n´egligeable `a temps longs) et, d’autre part, des effets de temps finis puisque les relations (5.10) sont obtenues seulement dans la limite asymptotique des temps twinfinis.
10
410
610
8t
-20
0
E
10
410
610
8t
-20
0
E
10
410
610
8t
-20
0
E
Fig. 5.3 – Evolution temporelle de l’´energie pour des r´ealisations uniques du BMM : de gauche `a droite : T /Tg = 0.35, 0.5 et 0.65. Tg = 1. Les retours `a hautes ´energies sont fr´equents lorsque T > Tg/2. A cette temp´erature, la dynamique est similaire `a celle du BTM, avec le fameux paradoxe de la r´eversibilit´e lorsque l’´echelle des temps est lin´eaire.
5.3.3 R´egime entropique et r´egime activ´e
Cette singularit´e dans les fonctions de corr´elation est la signature d’une transition entre un r´egime activ´e et un r´egime entropique [48]. En effet, le BMM (par d´efinition, la densit´e en ´energie est exponentielle et est donn´ee par (5.2)) pr´esente une telle transition `a Tg/2 en-dessous de laquelle la dynamique proc`ede essentiellement `a une descente monotone en ´energie, et au-dessus de laquelle des ´ev´enements de type activ´es rentrent en jeu (voir Fig. (5.3)). La pr´esence de cette transition dans les fonctions de corr´elations `a la fois du BMM et du NPP totalement redistribu´e confirme bien la r´ealisation microscopique du premier par le dernier.
Cette transition entre un r´egime entropique et un r´egime activ´e peut ˆetre vue sous un angle diff´erent, mais ´evidemment non d´econnect´e du point de vue des corr´elations. Elle peut ˆetre comprise, comme l’a propos´e Bertin [48], en calculant l’´energie moyenne atteinte lors d’une transition. En-dessous de Tg/2, l’´energie d´ecroˆıt en moyenne `a chaque change-ment d’´etats alors qu’au-dessus elle augchange-mente. Visuellechange-ment, le ph´enom`ene est spectaculaire. En effet, Fig. (5.3) montre trois r´ealisations de l’´evolution ´energ´etique du BMM pour des temp´eratures plus grandes, ´egales et plus petites que Tg/2. Nous voyons clairement sur cette figure la tendance du syst`eme `a diminuer son ´energie lorsque T < Tg/2 et un comportement plutˆot du type BTM au-dessus, mˆeme si la notion d’horizon n’est pas tangible. Quantitati-vement, l’´energie moyenne atteinte apr`es un saut `a partir de l’´energie E est donn´ee par :
hE′iE= R0
−∞dE′E′W (E→ E′)ρ(E′)
R0
−∞dE′W (E→ E′)ρ(E′) (5.11)
Dans la limite des basses ´energies (E→ −∞), nous trouvons pour une dynamique de type M´etropolis :
hE′iE= E +2µ− 1
1− µ Tg (5.12)
En-dessous de Tg/2, l’´energie diminue en moyenne `a chaque saut. Le r´egime est entropique. D’un autre cˆot´e, lorsque T > Tg/2, l’´energie augmente en moyenne `a chaque saut. Ainsi, le syst`eme suit une marche al´eatoire dans l’espace des ´energies avec un biais vers les hautes ´energies, la condition de bord r´eflexive en E = 0 empˆechant le syst`eme de s’´egarer dans les
´energies positives. Si le temps ´etait compt´e en nombre de sauts, le syst`eme serait dans un ´etat stationnaire pr`es de l’´energie E = 0. Cependant, plus l’´energie visit´ee est basse, plus le s´ejour dans l’´etat est long. Temporellement, la dynamique est domin´ee par l’acc`es `a ces basses ´energies et plus le temps passe, plus grande est la probabilit´e de rencontrer des ´etats de basses ´energies. Nous voyons donc que la ph´enom´enologie de ce r´egime est tr`es similaire au BTM. Le paradoxe de r´eversibilit´e et la tendance `a descendre vers l’´etat fondamental sont de nouveau les caract´eristiques de l’´evolution ´energ´etique. La comp´etition entre le biais vers les hautes ´energies et des temps de pi`egeage de plus en plus grand est responsable de la singularit´e de la fonction de corr´elation (5.10).
Cette transition est d’une importance capitale car nous verrons que la temp´erature Tg/2 joue un rˆole crucial dans la r´eponse du syst`eme et que d’une fa¸con g´en´erale cette transition entropique-activ´ee peut donner un ensemble de ph´enom`enes tout `a fait int´eressant `a ´etudier (voir dernier chapitre).