Effets des rugosités sur la structure de la turbulence

2 Cf  lisse −  2 Cf  rugueux . (1.56)

Cette définition, illustrée graphiquement sur la figure 1.5, est valable à condition que les profils de vitesse sur parois lisse et rugueuse soient régis par la loi de vitesse déficitaire dans les régions inertielle et externe (Flack et al.,2005). Par identification des relations(1.49)et(1.51), on montre que la fonction de rugosité Δu⁺ s’écrit :

Δu⁺ = ¹

κ ^lnks

++B− A . (1.57)

Nikuradse(1937) a proposé, à partir de ses travaux, la représentation suivante pour le coefficient

A : 1 <ks⁺< 3.5 A =B+ ¹ κ^lnks + 3.5 <ks⁺< 7 A = 6.59 + 1.52 lnks⁺ 7 <ks⁺< 14 A = 9.58 (1.58) 14 <ks⁺< 68 A = 11.5− 0.7 lnks⁺ 68 <ks⁺ A = 8.48

On remarque notamment que le décalage vertical Δu⁺ est uniquement dépendant de la hauteur de grain de sable adimensionnéeks⁺, et comme illustré sur la figure1.6, que ce décalage augmente linéairement, en échelle semi-logarithmique, avec cette hauteur dans le régime rugueux établi.

1.3.3. Effets des rugosités sur la structure de la turbulence

Comme détaillé dans la section précédente et rappelé par Jiménez (2004), la présence de ru-gosités est susceptible d’influencer un écoulement turbulent dès lors que la hauteur des éléments rugueux est supérieure à quelques longueurs visqueuses l^∗. Le principal effet sur le profil de vi-tesse moyen est l’apparition d’un décalage vertical de la région logarithmique. Néanmoins, comme

Chapitre 1. Écoulements turbulents sur paroi rugueuse y+ (log) u + Δu⁺ Lisse Rugueux

Figure 1.5. – Décalage de la loi logarithmique Δu⁺ sur un profil de vitesse lon-gitudinale moyenne. 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ ks+ 0 5 10 15 20 Δ u +

Figure1.6. – Évolution du décalage de la loi lo-garithmiqueΔu+ en fonction du grain de sable équivalentks⁺.

Similitude de la région externe

L’hypothèse de similitude de paroi, introduite par Townsend (1976) sur paroi lisse et étendue sur paroi rugueuse parRaupach et al.(1991), affirme que, en dehors de la sous-couche rugueuse (ou visqueuse pour une paroi lisse), la structure de la turbulence dans uneCLTest indépendante de la topologie de la surface et de la viscosité, à condition que le nombre de Reynolds soit suffisamment élevé. Les échelles de longueur et de vitesse sont donc indépendantes de la surface et de la viscosité, la paroi influençant uniquement la vitesse de frottementuτ.

La première conséquence de l’hypothèse de similitude concerne le profil de vitesse dans la région externe, qui suit de fait la même loi de vitesse déficitaire, donnée par la relation (1.22), que sur paroi lisse. Cette hypothèse de similitude s’étend également aux tensions turbulentes u^_iu^_j et aux moments d’ordres supérieurs qui, adimensionnés par la vitesse de frottementuτ, présentent des profils analogues à ceux obtenus sur paroi lisse et qui se recouvrent indépendamment de la topologie de la surface lorsque l’altitude y est normalisée par δ.

Le concept de similitude a fait l’objet de nombreuses contributions dans la littérature. Il a par-fois été remis en cause, notamment parKrogstad et al.(1992), qui ont observé une forte influence des rugosités sur les profils des contraintes de Reynolds, en particulierv^2, qui se recouvrent dans la région externe.Jiménez (2004) explique cette observation par le fait que les écoulements étu-diés par Krogstad et al. (1992) présentent un rapport k/δ trop élevé pour assurer la similitude. Il estime que ce rapport doit être inférieur à 2.5 % pour observer un tel comportement et que tout écoulement présentant un rapport d’échelle plus grand doit plutôt être considéré comme un écoulement autour d’obstacles. Flack et al. (2007) ont quant à eux observé ce phénomène de similitude jusqu’à k/δ ∼ 5 % pour des rugosités uniformes de type grain de sable et mailles

tissées.

Suite à l’étude deKrogstad et al.(1992), de nombreux travaux ont été effectués afin de valider cette hypothèse de Townsend. On peut par exemple citerSchultz et Flack(2005) qui ont analysé des écoulements de CLT (4000 ≤ Reθ ≤ 15 000) sur des parois constituées de sphères collées

entre elles,Flack et Schultz(2014) qui ont étudié des écoulements deCLT(5000≤Reθ≤ 30 000,

k/δ ≤ 4 %) sur des surfaces composées de rugosités bi- et tridimensionnelles académiques et

aléatoires ou encoreSquire et al. (2016) qui se sont intéressés à des écoulements de CLT à haut nombre de Reynolds (3000 ≤δ⁺ ≤ 30 000,ks/δ ≤ 2 %) sur des parois de type papier de verre.

Ces contributions ont balayé les régimes rugueux de transition et rugueux établi, et ont fourni des résultats venant appuyer l’existence de la similitude de paroi sur surface rugueuse.

1.3. Effets dynamiques des rugosités

Écoulement dans la sous-couche rugueuse

Comme mentionné précédemment, la présence de rugosités entraîne dans le régime pleinement rugueux une disparition de la sous-couche visqueuse et une modification de la structure de l’écou-lement en proche paroi. Cette zone fortement influencée par la présence des rugosités est appelée sous-couche rugueuse, qui est généralement assez épaisse.Raupach et al.(1991) estime l’épaisseur de cette sous-couche entre deux et cinq fois la hauteur de rugosité. Flack et al. (2007) exprime cette épaisseur plutôt en fonction du grain de sable équivalent ks et l’estime à 3ks.Squire et al. (2016) considère que cette hauteur dépend plutôt de √

δ+.

Pour des altitudes inférieures à la hauteur des rugosités, l’influence des éléments rugueux se manifeste notamment par un blocage de l’écoulement, qui se traduit par un contournement des rugosités et l’apparition de zones décollées en aval des éléments rugueux. Une forte variation spatiale du champ de vitesse est ainsi observée dans cette région. Comme le rappelle Jiménez (2004), la structure du champ de vitesse est très dépendante de la topologie de la surface dans cette région, et n’est donc pas décrit plus en détails dans cet état de l’art. Les chapitres 4 et5 détailleront, pour les éléments rugueux étudiés dans le cadre de cette thèse, les variations du champ de vitesse dans la sous-couche rugueuse.

Comme détaillé précédemment, les profils de variance de vitesseu^2_i ⁺ présentent une similitude dans la région externe (poury/δ ≥ 0.1−0.4 selon les études) en présence de rugosités. La présence

d’une région logarithmique dans le profil de u^2+ est notamment constatée, conformément à l’hypothèse des tourbillons attachés à la paroi de Townsend (1976). En revanche, les rugosités exercent une influence sur ces variances, notamment u^2+, dans la région interne. En effet, une diminution progressive de l’amplitude du pic de u^2+, présent sur paroi lisse pour y⁺ ∼ 15 du

fait du fort gradient de vitesse existant en proche paroi, est observée lorsque le grain de sable équivalent ks⁺ augmente. Ce pic disparaît totalement en régime rugueux établi et un maximum apparaît alors dans la région logarithmique.

Chapitre 1. Écoulements turbulents sur paroi rugueuse

Bilan

Cet état de l’art a tout d’abord permis d’effectuer des rappels sur les écoulements turbulents se développant sur paroi lisse, notamment les écoulements de couche limite turbulente et de canal turbulent pleinement développé. Les équations et le comportement de ces deux types d’écoulement ont été détaillés. Ces propriétés servent de référence pour quantifier les effets d’une paroi rugueuse sur de tels écoulements.

Dans la seconde partie, nous avons introduit de nombreux paramètres géométriques et statistiques permettant de caractériser tout type de surface rugueuse tridimensionnelle, aca-démique ou aléatoire. Ces paramètres, notamment utilisés comme argument d’entrée de corré-lations géométriques dans le cadre de l’approche par grain de sable équivalent introduite dans le chapitre 2, seront également mis à profit dans le chapitre 6 afin de dessiner des tendances d’évolution des effets rugueux.

Enfin, nous avons décrit les effets dynamiques induits par une paroi rugueuse sur un écou-lement turbulent. Ces effets se traduisent notamment, pour le profil de vitesse longitudinal moyen, par un décalage vertical de la zone logarithmique d’une quantité Δu⁺, appelée fonc-tion de rugosité. Ce décalage est quasi-nul dans le régime aérodynamiquement lisse, où les éléments rugueux ne perturbent pas la structure de la sous-couche visqueuse, et évolue linéai-rement avec le grain de sable équivalentks⁺en régime rugueux établi, où cette sous-couche est totalement détruite et où la perte de charge est indépendante du nombre de Reynolds pour un écoulement de canal ou de conduite. Entre ces deux régimes d’écoulement, la perte de charge dépend à la fois des effets visqueux et des efforts de pression appliqués sur les rugosités. La présence de rugosités sur la paroi entraîne également une disparition du pic d’intensité tur-bulente longitudinale, qui apparaît sur paroi lisse à une altitudey+≈ 15, et une modification

profonde de la structure de l’écoulement dans la sous-couche rugueuse.

Comme l’a montréPatel (1998), la prise en compte des effets des rugosités sur un écoule-ment est un point délicat en CFD. Celle-ci nécessite en effet une résolution importante afin de capturer les gradients de vitesse et des quantités turbulentes au plus près des rugosités. Plusieurs stratégies de modélisation existent dans la littérature ; elles sont détaillées dans le chapitre2.

Chapitre

2

Modélisation des écoulements turbulents sur

paroi rugueuse

Dans le chapitre précédent, l’influence des rugosités sur la structure d’un écoulement tur-bulent a été mis en avant. Ce deuxième chapitre a pour objectif de proposer un état de l’art des principales méthodes de modélisation des effets rugueux sur un écoulement turbulent. Ce chapitre aborde tout d’abord quelques rappels sur la modélisation de la turbulence. Ensuite, différentes approches de modélisation des effets rugueux sont présentées en fonction de leur niveau de modélisation, en allant de la prise en compte la plus grossière des effets des rugosités à la plus fine. L’approche par grain de sable équivalent, consistant à ramener une surface ru-gueuse quelconque à une surface de référence via des corrélations empiriques, est détaillée en premier. La méthode par éléments discrets rugueux, dont l’objectif est de prendre en compte les effets des rugosités de façon moyennée, est ensuite présentée. Enfin, ce chapitre décrit le calcul, notamment par DNS ou LES, d’écoulement autour de rugosités. Les avantages et les limites de chacune de ces approches sont présentés afin de permettre de justifier l’intérêt de la méthode choisie et approfondie dans cette thèse.

Sommaire

2.1. Rappels sur la modélisation de la turbulence . . . 22