Dynamique du modèle uide pour un noeud

− µ_n (3.4) Ce modèle a été utilisé pour le contrôle des ux d'entrée ainsi que pour le taux de service, qui peut varier selon les diérents types de trac (CBR, VBR, ABR).

Le modèle retenu se base sur plusieurs critères comme la dynamique, la représentativité, et aussi la facilité à être déployé sur un réseau de type IP/MPLS et ses contraintes de routage et de qualité de service. Ce modèle se base sur la théorie diérentielle de trac présentée ci-dessous, et qui consiste à produire des équations diérentielles exactes gouvernant le trac moyen du système.

3.2.3 Dynamique du modèle uide pour un noeud

3.2.3.1 Cas SISO

Dans ce paragraphe, nous présentons un modèle uide qui constituera la base du modèle dynamique d'état pour le réseau MPLS. Ce modèle a fait l'objet de plusieurs études sur la modélisation des réseaux à commutations de paquets et à commutations de circuits [9][14][38]. Il est basé sur la théorie diérentielle de trac. Il a été développé par Garcia et Legall [34] [35][36][37]. Il permet l'étude du trac au niveau de la le d'attente du routeur d'un réseau d'une manière analytique. En eet, dans les travaux liés à cette théorie [14][36][38], les auteurs dénissent la théorie diérentielle du trac comme une méthodologie de modélisation analytique uide qui permet l'étude du trac des ressources d'un réseau aussi bien en régime stationnaire qu'en régime transitoire. Le modèle est présenté dans [36] de la manière suivante:

de type M/M/1/∞ représenté par la gure 3.1:

Fig. 3.1  Système d'attente élémentaire

Avec x(t) est le nombre de paquets dans le système, et ˙x(t) sa dérivée. Soient FE(t) et FS(t) respectivement les débits instantanés d'entrée et de sortie du système élémentaire. Le trac moyen transitoire est alors donné par la diérence entre les ux instantanés d'entrée FE(t) et de sortie FS(t) selon l'équation diérentielle suivante:

˙x(t) = Flux d'entrée - Flux de sortie = FE(t) - FS(t)

Dans [36], l'auteur exprime que l'idée fondamentale de la théorie dié-rentielle du trac est d'établir l'expression exacte de l'équation diédié-rentielle gouvernant le trac moyen transitoire. Cette expression est obtenue par une analyse du processus markovien ou semi-markovien associé à x(t). Sa forme générale est donnée par l'équation (3.5):

˙x(t) = F E(t) − F S(t) =^X

i

x_i(t).^{dP [xi(t)]}

dt ^{, x(t0) donn´e} (3.5) (avec P[x(t)] est la probabilité de l'état x(t))

Supposons maintenant que le ux d'entrée F E(t) est modélisé par le paramètre λ, le ux de sortie F S(t) est représenté par f, et la le d'attente au niveau du noeud possède un taux de service µ xé par l'administrateur. Alors le système de la gure 3.1 sera représenté par la gure 3.2 :

Fig. 3.2  Paramétrage d'un système d'attente élémentaire

La résolution du processus de Markov associé [36][37] conduit à une ap-proximation dynamique qui dépend de l'état interne de la le d'attente de la forme:

˙x(t) ∼= λ − µ ^x(t)

1 + x(t)^{, x(t0) donn´e} (3.6) L'intégration numérique de l'équation diérentielle (3.6) permet de cal-culer x(t). Cette équation exprime la charge d'un noeud par la diérence entre les ux d'entrée et de sortie et donne une approximation dynamique du nombre de clients (paquets) dans le noeud.

Nous avons vu précédemment les expressions qui régissent le comporte-ment des élécomporte-ments fondacomporte-mentaux du modèle uide à savoir l'état de la le d'attente en nombre de clients, le débit d'entrée et de celui de sortie... En eet, ce modèle est à temps continu qui dispose de composants interagissant par l'intermédiaire de signaux à temps continus. La simulation de modèle continu implique la résolution numérique des ses équations diérentielles en utilisant les techniques usuelles d'intégration, l'état du modèle est alors obtenu par calcul dynamique d'un point xe. Dans un modèle uide, les paquets sont considérés comme un ot de données continu ou "uide" qui s'écoulent dans le réseau. Le nombre de changements d'état est ainsi réduit. Cette technique

permet d'améliorer la simulation en la rendant moins coûteuse en nombre d'événements, donc en temps d'exécution et en espace mémoire.

La simulation analytique permet d'illustrer la validité de l'approche uide du point de vue des résultats obtenus. Nous comparons les résultats de la simulation analytique avec ceux issus des simulations événementielles et des simulations du modèle stochastique de la théorie des les d'attente.

La théorie des les d'attente [19][40] est la plus utilisée dans l'évaluation des systèmes de communications. Elle représente et analyse des systèmes à ressources partagées. Elle permet d'exprimer les valeurs analytiques exactes (taux d'utilisation, nombre de clients, intervalle d'arrivée..) d'un système en traitant une série de probabilités stationnaires. La simulation événementielle (en utilisant dans notre cas le langage Tcl/Tk [89]) reste une estimation qui donne une idée sur l'évolution du système en fonction du temps.

Le tableau (3.3) présente les principaux paramètres d'un noeud élémen-taire, contenant une le d'attente de type M/M/1/∞, un taux de service µ, un débit d'entrée λ.

Fig. 3.3  Les principales valeurs du système élémentaire

Dans le tableau (3.4), on compare le nombre moyen de clients (colonne 2) avec ceux obtenus par intégration du modèle diérentiel (colonne 1) et avec celle obtenue par simulation événementielle (colonne 3). Les résultats montrent la très bonne estimation obtenue avec le modèle diérentiel.

Fig. 3.4  Comparaison des résultats obtenus par les diérentes méthodes modèle uide diérentiel et la simulation événementielle. On remarque que le modèle uide donne une bonne approximation du comportement du noeud, et dans la plupart des cas, il est plus précis que la simulation événementielle.

Fig. 3.5 Comparaison entre les résultats obtenus par intégration du modéle uide et par simulation événementielle

3.2.3.2 Cas MIMO

Un noeud MIMO est composé d'une le d'attente et de plusieurs en-trées/sorties (Fig. 3.6). Les entrées peuvent être directes, provenant de noeuds sources du réseau MPLS ou des interactions entre les noeuds internes du ré-seau. Les sorties sont les interactions entre les noeuds ou des ux livrés aux

destinations correspondantes.

Fig. 3.6  Répresentation d'un système d'attente MIMO

Le modèle uide appliqué sur un noeud SISO (Single Input Single Out-put) reste valable pour un système MIMO (Multiple Input Multiple OutOut-put). L'équation générale du système MIMO est dénie en utilisant le même prin-cipe de la théorie diérentielle de trac, par la diérence entre la somme des débits instantanés d'entrées et ceux des sorties. Supposons qu'on dispose d'un noeud avec n entrées et m sorties. Alors, le modèle uide sera exprimé par la relation (3.7). ˙x(t) = n X i=1 λ_i− m X j=1 f_j = n X i=1 λ_i− µ ∗ ^x 1 + x (3.7) La somme des ux de sorties est approximée par la relation: µ ∗ x

1+x

3.3 Modèle dynamique d'état pour un réseau