Dynamique lente d’une barre viscoélastique

Le comportement viscoélastique est un aspect clé de la modélisation de ma-tériaux réels, notamment en vue de reproduire les courbes de résonance [55,

135]. Dans le cadre de l’élasticité linéaire, la littérature comporte de nombreux modèles rhéologiques constitués d’un ensemble de ressorts et d’amortisseurs. Le modèle de solide linéaire standard, aussi appelé modèle de Maxwell ou de Zener généralisé, est utilisé fréquemment pour décrire la propagation d’ondes sismiques [20,89]. Il est composé d’un ensemble d’éléments de Zener, dont les paramètres sont obtenus par optimisation du facteur de qualité sur une bande de fréquence [16].

Le couplage entre un comportement viscoélastique non linéaire et la dyna-mique lente est réalisé par l’utilisation de variables internes adéquates. Ce-faisant, un système raide est obtenu, ce qui nécessite une attention particulière lors du recours aux méthodes numériques. Ici, une stratégie de splitting est adoptée, combinant un schéma volumes finis ADER avec une méthode d’intégration adap-tative d’ordre élevé. Les résultats numériques sont en accord qualitatif avec les observations expérimentales de résonance non linéaire et d’acousto-élasticité dy-namique (travaux publiés dans [3]). Parallèlement, une méthode fréquentielle est développée, en combinant une discrétisation éléments finis mixte, la méthode de l’équilibrage harmonique, et la méthode asymptotique numérique. Les résultats montrent une forte sensibilité de la génération d’harmoniques aux paramètres du modèle. Dès lors, la mesure expérimentale des harmoniques générés est cruciale pour une calibration fine des paramètres.

Pour chaque amplitude de forçage, le calcul d’une courbe de résonance dure environ 35 minutes avec la méthode des volumes finis, pour un faible nombre de points sur la courbe. À titre de comparaison, le calcul dure environ 20 secondes avec la méthode fréquentielle, pour obtenir une courbe de résonance continue. Dans l’optique de calibrerle modèle expérimentalement,cette réduction drastique du temps de calcul est un avantage. Cependant, le régime transitoire n’est pas calculé avec la méthode fréquentielle. Ces résultats préliminaires ont été communiqués dans [5]. Étant donné que la contrainte n’est pas une variable conservée, imposer une condition limite en contrainte est difficile avec les volumes finis. La méthode des éléments finis est plus flexible en termes de conditions limites. En effet, il est possible d’imposer des conditions limites en

déplacement ou en contrainte. Une comparaison directe entre les deux méthodes sur le même cas est à l’étude.

Des modifications de la méthode fréquentielle sont envisagées. Tout d’abord, il serait intéressant de suivre la fréquence de résonance continument par rapport à l’amplitude de forçage (backbone curves). Ensuite, on pourrait envisager l’uti-lisation de la base modale du système linéaire non amorti, au lieu des fonctions de base des éléments finis [18,56,136]. Enfin, les équations du mouvement pourraient être adimensionnées par rapport aux constantes caractéristiques du système.

6. Conclusion

Ce manuscrit traite de la dynamique de solides non linéaires particuliers. Sur le sujet de l’élastodynamique non linéaire, les principales contributions sont la résolution du problème de Riemann (chapitre3) et le développement de méthodes volumes finis (chapitre 2). La suite du document traite de la modélisation de comportements viscoélastiques et de la dynamique lente. La dynamique lente est modélisée à l’aide d’une variable d’état interne, dans le cadre de la théorie des déformations finies (chapitre4). Des méthodes volumes finis ont été développées (1D et 2D). Le même cadre théorique est employé pour décrire le comportement viscoélastique de type Zener généralisé (chapitre 5). Du point de vue numérique, la raideur des équations obtenues nécessite un traitement particulier. Une méthode volumes finis a été développée, et les résultats sont en accord avec la littérature expérimentale. Aussi, une méthode de continuation des solutions périodiques a été utilisée. Son efficacité en fait un outil privilégié pour des validations futures.

Sur le plan de la mécanique des milieux continus,le principal apport concerne la construction de modèles. Les concepts de déformations finies et de variable d’état interne ont été transférés de la mécanique rationnelle à l’acoustique. La sim-plicité, les bonnes propriétés thermodynamiques et l’écriture tri-dimensionnelle du modèle constituent une avancée par rapport aux modèles existants. De plus, l’approche permet d’envisager des améliorations du modèle (conduction de la chaleur, plasticité, endommagement, etc.).

Surle plan des mathématiques appliquées,la propagation d’ondes non linéaire a été étudiée. Une solution analytique est détaillée dans le cas de l’élastody-namique 1D, où les solutions analytiques sont rares. Cette solution a notam-ment permis de tester un ensemble de méthodes volumes finis. Des méthodes analytiques ont aussi été utilisées pour décrire les propriétés qualitatives du modèle à variables internes proposé. Néanmoins, les méthodes numériques permettent de traiter des configurations plus réalistes, telles que des problèmes issus d’expériences de laboratoire. Dans un futur proche, les méthodes vo-lumes finis de ce manuscrit seront implémentées dans le code PROSPERO

http://prospero-software.science/. On peut noter que ces méthodes peuvent être utilisées pour d’autres systèmes similaires. La méthode fréquen-tielle mise en œuvre pour le calcul de solutions périodiques a le même avantage d’être générique.

Dans cette thèse,plusieurs systèmes hyperboliques de lois de conservation ont été présentés. De tels systèmes soulèvent des questions mathématiques théoriques (existence, unicité, régularité des solutions). Répondre à ces questions serait une aide à la construction de modèles et au développement de méthodes numériques. De nombreuses méthodes numériques classiques en acoustique linéaire n’ont pas leur équivalent dans le cas non linéaire. C’est le cas notamment de l’ESIM (Explicit Simplified Interface Method) et des PMLs (Perfectly Matched Layers). Le développement de telles méthodes pour les ondes non linéaires est important dans l’optique d’avoir des outils prédictifs capables de traiter des situations complexes.

L’utilité d’un modèle se mesure à sa capacité à donner des prédictions correctes, ou bien à sa capacité à expliquer un phénomène. Afin de tester les performances de prédiction du modèle, on doit mener des comparaisons quantitatives avec des expériences. La diversité des expériences dynamiques (ré-sonance, acousto-élasticité dynamique, propagation d’onde) permet d’examiner un échantillon sous différents angles. En particulier, les expériences montrant une évolution temporelle logarithmique de la fréquence de résonance [133] n’ont pas encore été reproduites avec ce type de modélisation.

Une faiblesse de l’approche phénoménologique est le manque d’explications physiques. Une approche multi-échelles pourrait conduire à un modèle justifié par la physique, à condition que des hypothèses pertinentes soient faites à l’échelle microscopique. De récents résultats expérimentaux indiquent deux pistes. Un premier scénario, en accord avec la thermographie ultrasonore, stipule que la friction aux interfaces avec des hétérogénéités (grains, fissures) génère un échauffement local, responsable de la dynamique lente. Un second scénario stipule que l’eau présente dans le matériau est aspirée par capillarité lors de la mise en vibration, indiquant l’importance de prendre en compte la porosité du matériau. Une prochaine étape pourrait être le développement d’un modèle de matériau poreux partiellement imprégné d’eau, dans le cadre de la théorie des déformations finies.

As an author

[1] H. Berjamin, N. Favrie, B. Lombard, G. Chiavassa: “Nonlinear waves in solids with slow dynamics: an internal-variable model”, Proc. R. Soc. A

473(2201) (2017), 20170024. doi:10.1098/rspa.2017.0024

[2] H. Berjamin, B. Lombard, G. Chiavassa, N. Favrie: “Analytical solution to 1D nonlinear elastodynamics with general constitutive laws”, Wave Motion 74 (2017), 35–55. doi:10.1016/j.wavemoti.2017.06.006

[3] H. Berjamin, B. Lombard, G. Chiavassa, N. Favrie: “Modeling longitu-dinal wave propagation in nonlinear viscoelastic solids with softening”, Int. J. Solids Struct. 141–142 (2018), 35–44. doi:10.1016/j.ijsolstr. 2018.02.009

[4] H. Berjamin, B. Lombard, G. Chiavassa, N. Favrie: “A finite-volume approach to 1D nonlinear elastic waves: Application to slow dynamics”, Acta Acust. united Ac. 104(4) (2018), 561–570. doi:10.3813/AAA.919197

[5] H. Berjamin, G. Chiavassa, N. Favrie, B. Lombard, E. Sarrouy: “Internal-variable modeling of solids with slow dynamics: Wave propagation and resonance simulations”, Proc. Mtgs. Acoust. 34(1) (2018), 022001. doi:

10.1121/2.0000844

[6] H. Berjamin, G. Chiavassa, N. Favrie, B. Lombard, C. Payan: “A unified treatment of nonlinear viscoelasticity and non-equilibrium dynamics”. In: Nonlinear Ultrasonic and Vibro-Acoustical Techniques for Nondestruc-tive Evaluation. Ed. by T. Kundu. Springer, 2019. Chap. 11, pp. 471–486. doi:10.1007/978-3-319-94476-0_11

[7] H. Berjamin, B. Lombard, G. Chiavassa, N. Favrie: “Plane-strain waves in nonlinear elastic solids with softening”, submitted (2018).