Dynamique interne

Pour l’´echantillon de population s´electionn´e et pour chacun des mod`eles, nous avons r´ealis´e les diagrammes (amplitude, p´eriode), que nous appellerons par la suite « diagrammes de complexit´e », de la mani`ere suivante :

– chaque point d’un diagramme repr´esente l’une des s = 1 . . . 100 particules de l’´echantillon ;

– les coordonn´ees de ces points sont en abscisse le rayon apocentrique moyen et en ordonn´ee la p´eriode orbitale moyenne ;

– on attribue `a chaque point une couleur correspondant `a la valeur de la complexit´e.

La figure 10.7 nous montre les diagrammes obtenus pour les mod`eles ´evoluant vers un ´etat de type « cœur effondr´e ». La figure 10.8 nous montre les diagrammes obtenus pour les mod`eles ´evoluant vers un ´etat de type « cœur-halo ». `A la lecture de ces diagrammes, on ne peut que constater que ces diagrammes de complexit´e se r´epartissent en deux classes : les mod`eles « cœur-halo » et les mod`eles « cœur effondr´e » identifi´es pr´ec´edemment par les profils de densit´e radiale.

– Pour les mod`eles M1, M3, M4 et M5, la distribution de la complexit´e se r´epartit continˆument entre des valeurs ´elev´ees (couleur rouge clair `a rouge fonc´ee) au centre (caract´eris´e par de faibles valeurs de l’apocentre) `

a des valeurs faibles (couleur bleu clair `a bleu fonc´e) dans les r´egions externes du syst`eme (caract´eris´e par de grandes valeurs de l’apocentre). La r´epartition des points est une loi de puissance de la p´eriode en fonction de l’apocentre, except´e pour le mod`ele M3. La raison de la singularit´e de ce mod`ele est simple et a d´ej`a ´et´e ´evoqu´ee : la masse contenue dans l’ensemble des grumeaux de M3 repr´esente 50% de la masse du syst`eme complet. Par cons´equent, la dynamique des ´etoiles du syst`eme environnant est tr`es fortement perturb´ee. Il s’agit l`a en d´efinitive d’un cas `a part qu’il faudrait traiter de mani`ere diff´erente.

Figure 10.7 – Diagramme (ra, p´eriode) pour les mod`eles M1 (en haut `a gauche),

M3 ( en haut `a droite), M4 (en bas `a gauche) et M5 (en bas `a droite). La couleur repr´esente la complexit´e.

mais quelque peu diff´erent de celui pour les mod`eles M1, M4 et M5. La r´epartition des points suit une loi de puissance de la p´eriode en fonction de l’apocentre pour de grandes valeurs de ce dernier (particules du halo). Pour les petites valeurs de l’apocentre (particules du cœur), on constate que cette loi de puissance sature. Par ailleurs, la r´epartition des complexit´es est elle aussi quelque peu diff´erente, dans la mesure o`u elle est fortement concentr´ee en valeurs interm´ediaires (couleur vert ou jaune, correspondant `

a une complexit´e de l’ordre de 80) et tr`es faiblement concentr´ee en fortes valeurs.

La dynamique interne des syst`emes « cœur-halo » est donc significativement diff´erente de celle des syst`emes « cœur effondr´e » :

– les r´egions externes sont peupl´ees d’´etoiles dont les orbites sont assez r´eguli`eres et suivent une loi de puissance semblable pour les deux syst`emes ; – cette loi de puissance sature et se concentre sur des valeurs interm´ediaires

Figure10.8 – Diagramme (ra, p´eriode) pour les mod`eles M0 (en haut `a gauche), M2

( en haut `a droite) et M6 (en bas). La couleur repr´esente la valeur de la complexit´e.

de la complexit´e pour les syst`emes « cœur-halo » alors qu’elle perdure pour les syst`emes « cœur effondr´e » dont les orbites des r´egions centrales peuvent atteindre de fortes complexit´es.

La relation en loi de puissance entre l’apocentre moyen (ou toute mesure de l’amplitude de chacune des orbites) et la p´eriode moyenne n’est pas surprenante. Une telle relation est d´efinie pour les mod`eles isochrones et pour les potentiels k´epl´eriens. En effet, pour une particule d’´energie n´egative sur une orbite de demi grand axe a, la troisi`eme loi de K´epler stipule que la p´eriode orbitale τ ∼ a3/2. Pour le mod`ele isochrone, l’´etablissement de la relation (B.2) et la d´efinition de l’apocentre et du p´ericentre (B.1) nous permettent d’´etablir la relation :

τr ∼ √S − 1 (1 + S) avec S = sa+ sp 2 = 1 + 0.5 r 1 +ra b 2 + r 1 +rp b 2!

Pour les grandes valeurs de S (ce qui correspond aux orbites lointaines), la relation entre la p´eriode τr et S devient une loi de puissance d’exposant

3

petites valeurs de S, cette distribution sature, comme le montre la figure 10.9, g´en´er´ee `

a partir de tirages al´eatoires de couples H, L2
et suivant les formules ´etablies dans l’annexe B.

Figure 10.9 – Courbe (p´eriode, ra) pour le mod`ele isochrone en ´echelle

logarithmique. Pour les grandes valeurs de la p´eriode, l’asymptote a pour pente 0.6326, tandis que pour les petites valeurs de la p´eriode, elle a pour pente 0.3556. Cela permet donc de visualiser la saturation de la loi de puissance.

Ainsi, la distribution de la complexit´e et/ou le plan (amplitude, p´eriode) semblent constituer une signature dynamique des syst`emes auto-gravitants. Si la complexit´e semble difficile `a observer, cela n’est pas le cas de l’amplitude et de la p´eriode de quelques ´etoiles tests dans un amas globulaire ou une galaxie donn´ee. Alors, on devrait ˆetre capable de v´erifier si ces deux classes de syst`emes gravitationnels ont une signature dynamique diff´erente. Cela nous donnerait ainsi acc`es `a de pr´ecieuses informations concernant la diff´erence qui existe entre leurs processus de formation.

Pour conclure sur cette ´etude, je ferai une derni`ere remarque. Ce travail a ´et´e soumis `a plusieurs reprises dans deux revues sans toutefois avoir ´et´e accept´e `a ce jour. L’argument qui nous a ´et´e oppos´e concerne l’influence du param`etre d’adoucissement et du nombre de particules sur ces r´esultats. Afin de r´epondre `a cet argument, nous avons dans un premier temps fait varier ces param`etres de ± 50%. Ces nouvelles donn´ees n’ayant toujours pas convaincu en ce qui concerne le nombre de particules, nous avons dans un deuxi`eme temps effectu´e des simulations avec 10 fois plus de particules, soit 3 105 _{particules. Les figures 10.10, 10.11 et 10.12 visualisent ces}

r´esultats. On constate que les diagrammes de complexit´e restent inchang´es, que ce soit dans l’´eventail des valeurs de la complexit´e que dans la relation en loi de puissance entre la p´eriode et l’apocentre, avec saturation de cette loi `a l’int´erieur du cœur pour le mod`ele M0.

M0 ǫ = 0.050 N = 3 104 P er M0 ǫ = 0.075 N = 3 104 P er M0 ǫ = 0.100 N = 3 104 P er Apo M0 ǫ = 0.125 N = 3 104 P er Apo M0 ǫ = 0.150 N = 3 104 P er Apo

M0 ǫ = 0.100 N = 3 104 P er M0 ǫ = 0.100 N = 5 104 P er M0 ǫ = 0.050 N = 3 105 P er Apo

M4 ǫ = 0.050 N = 3 104 P er M4 ǫ = 0.100 N = 3 104 P er M4 ǫ = 0.150 N = 3 104 P er Apo M4 ǫ = 0.100 N = 5 104 P er Apo

11

_{N-corps non isolés}

11.1

Etude pr´´

eliminaire

11.1.1 Pourquoi une force ext´erieure donn´ee de mani`ere