Dynamique granulaire

Résolution de l'équation de mouvement

La méthode aux éléments discrets proposée résout les équations du mouvement de chaque grain. La rotation ~ωi et la vitesse ~vi d'un grain sphérique de masse mi présentant un moment

d'inertie ci est calculée en fonction de la résultante des forces ~Fi et des couples ou moments

~_{Γi qui s'appliquent sur lui avec :}

mi d~vi dt = ~Fi (2.2) ci d~ωi dt = ~Γi (2.3)

Pour être résolues, les équations du mouvement sont discrétisées en temps et l'on fait appel à un schéma prédicteur-correcteur d'ordre 3. Connaissant les propriétés mi et ci des

grains et vue l'absence de couple dans le système la question qui se pose désormais concerne la détermination des forces et des moments. On va donc tenter de décrire les interactions à partir de modèles pour les forces au contact et à distance.

Dans les systèmes proposés on attend :

 Une réaction normale du contact, issue de la déexion (h < 0) entre les grains,  une réaction tangentielle, qui intervient pour des grains en déexion lorsqu'un petit

incrément de déplacement relatif entre les grains survient,

 Une interaction capillaire qui résulte de l'existence d'un pont en dépression entre deux grains.

Description du contact

Dans le cas des sphères lisses, le modèle de Hertz est adapté à la description de l'interac- tion normale élastique [51]. L'extension vers le modèle de Hertz-Mindlin permet à son tour le calcul des interactions tangentielles élastiques [84]. La gure 2.5 illustre l'interaction de contact (h < 0) entre deux grains implémentée dans les simulations, il s'agit d'une implé- mentation simpliée, et néanmoins classique, dudit modèle d'interaction de Hertz-Mindlin [1, 72] pour lequel nous avons rajouté un amortissement normal. L'interaction se décompose donc selon :

 une force normale N avec une contribution élastique Neet une contribution visqueuse

Nv

 une force tangentielle T résultant du frottement avec ou sans glissement entre les grains.

friction

Raideur _Amorti

Figure 2.5  Schéma du contact : Elasticité de Hertz-Mindlin avec un frottement intergra- nulaire et amortissement normal.

Avec le modèle proposé, la raideur normale KN est dénie avec :

KN = dN dh = ˜ E 2(ah) (1/2) _(2.4) KT = 2 − 2ν 2 − ν KN = 1 − ν 2 − νE(ah)˜ (1/2) _(2.5)

Le calcul de la force normale élastique s'opère donc directement avec la valeur de déexion h selon : Ne = ˜ E 3(ah 3₎(_{1/2) (2.6)}

amortissement à cette interaction élastique. S'il est censé traduire une certaine dissipation d'énergie lors du choc, l'amortissement est surtout une manière pratique en DEM d'approcher plus aisément des états stationnaires surtout dans la limite µ → 0. Dans le modèle proposé, la force d'amortissement Nv est calculée avec :

Nv = −ξ

p

2m∗_E(ah)˜ 1/4_{˙h (2.7)}

Où le coecient d'amortissement ξ est inférieur à 1 de sorte à avoir un oscillateur sous- amorti. Lorsque l'amorti du contact est déni de la sorte, le coecient de restitution des chocs est directement tributaire de la valeur de ξ, et non de la vitesse desdits chocs [16], comme en atteste la gure 2.6. Pour des systèmes frottants µ 6= 0 (voir Eq. 2.11) ou pour I < 0, 1, il a été montré que la valeur du coecient de restitution n'a que peu d'importance sur le comportement macroscopique du matériau en écoulement (comme expliqué en section 1.6.1) [94, 112]. L'amortissement joue cependant un rôle lors des procédures d'assemblage des matériaux granulaires [28].

̀

Figure 2.6  relation χ - ξ. Extrait de [94].

La réaction tangentielle du contact traduit le frottement entre les grain. Dans un premier temps elle se calcule comme une force élastique à mémoire de chargement, c'est-à-dire que l'on a :

T (t + dt) = T (t) + ∆T, (2.8)

où ∆T est un petit incrément de force résultant de l'étirement d'un ressort de raideur KT selon un petit déplacement d'ampleur ∆uT. Avec le modèle proposé on a :

KT = 2 − 2ν 2 − ν KN = 1 − ν 2 − ν ˜ E(ah)(1/2), (2.9)

Au temps t + dt, la résolution des équations de mouvement amène ∆uT et on en déduit

grâce aux deux équations précédentes :

Ce choix d'élasticité tangentielle permet d'approximer assez dèlement les eorts entre deux sphères frottantes [1]. Cependant, comme illustré par la gure 2.7, il faut noter que le frottement intergranulaire impose à la réaction élastique ~R = ~Ne+ ~T du contact de demeurer

dans le cône de frottement. Cette condition impose :

|T | ≤ µN (2.11)

La valeur de µ est importante et est connue pour avoir une forte inuence sur le com- portement macroscopique des matériaux granulaires. Lors d'une comparaison expérience- simulation la question de la valeur que l'on doit attribuer à µ est soulevée. Nous discutons de cette question en section 2.4.

T

u

u

N

Figure 2.7  Illustration du glissement : Il n'y a pas de glissement dès lors que l'on vérie uT < uT m. µN dénit la valeur maximale de force tangentielle admissible dans le contact.

Enn, pour éviter toute création d'énergie lorsque Ne décroit, la force tangentielle décroît

dans la même proportion que la raideur tangentielle KT.

On pourrait aussi implémenter la capacité des contacts en déexion à soutenir des mo- ments de roulement ΓR et de pivot ΓP (illustrés par la gure 2.8). Dans notre cas, ces

résistances sont ignorées. Une bonne concordance entre simulation et expérience dont nous discutons en section 2.4 semble indiquer que cette approximation est tout à fait raisonnable dans la modélisation du comportement granulaire.

Description de la capillarité

Les interactions capillaires sont implémentées selon le modèle de Maugis décrit en section 1.2.5. Dans notre cas le uide n'est pas redistribué entre les particules ni lors de la formation, ni lors de la rupture d'un pont. Ce choix de non redistribution entraîne des variations de quantités de liquides dans le temps à mesures que les ponts se forment et disparaissent. Il s'agit donc d'un choix physiquement questionnable, quoiqu'en réalité peut inuant sur le comportement. En eet, les variations de ΦL/ΦS induites sont très faibles et, de ce fait,

insusantes pour modier substantiellement le comportement dans le temps et dans des systèmes homogènes [59, 58]. Certaines études montrent cependant que l'implémentation

̀

̀ N

̀

̀

̀

N

Figure 2.8  Illustration des mouvements relatifs : pivot et roulement ainsi que leur moments associés.

d'une redistribution est nécessaire dans le cadre d'écoulements hétérogènes (en présence de bandes de cisaillement par exemple) puisque la distribution géographique du uide n'est pas correctement reproduite autrement [76].