Dynamique de s´ eparation des bulles filles

4.3 Dynamique de s´eparation des bulles filles

Nous ´etudions maintenant ce qui se passe apr`es l’instant du pincement : c’est la dy-namique de relaxation des deux bulles filles nouvellement form´ees qui nous int´eresse.

A H.S. air 2x 0.01 0.1 1 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 R₀=0.5 mm R₀=0.6mm R₀=1mm R₀=1.21mm x (mm) t-t₀ (s) B 1/2

Fig. I.4.5 – A/ Traitement d’image et notations adopt´ees. B/ Mesures de x en fonction de t, le temps ´ecoul´e depuis le pincement. Exp´eriences men´ees avec de l’huile silicone V1000 dans des tubes de rayon vari´es.

4.3.1 Nouvelles notations

Nous appelons 2x la distance entre les apex mutuels des deux nouvelles bulles adja-centes, que nous mesurons grˆace au mˆeme traitement d’image qu’au paragraphe4.1(figure I.4.5-A). Nous la mesurons en fonction du temps ´ecoul´e depuis le pincement t − t0. 4.3.2 R´esultats des exp´eriences

Le graphique B de la figureI.4.5expose en ´echelle logarithmique les mesures que nous faisons de x en fonction de t − t₀. Il fait ressortir un comportement en racine du temps, puisque les points obtenus donnent comme meilleure approximation une ´evolution en loi de puissance d’exposant compris entre 0, 43 et 0, 49.

4.3.3 Mod`ele pour la s´eparation

Le raisonnement en loi d’´echelle que nous appliquons dans ce paragraphe est inspir´e des ´etudes de coalescences men´ees par Eggers [9] et Thoroddsen [31]. Leurs analyses concerne une g´eom´etrie diff´erente puisqu’ils consid`erent l’un et l’autre une coalescence de gouttes sph´eriques. Le d´eveloppement th´eorique de Eggers [9] aboutit `a une loi pour la taille du contact x = σt ln(σt/µR₀)/2πµ. Cette loi n’est pas observ´ee dans les exp´eriences de Thoroddsen [31], peut-ˆetre parce qu’elle n’est valide qu’`a de trop petites ´echelles. Thoroddsen constate en revanche un comportement qui semble lin´eraire ˙x = σ/µ. Aucun

de ces deux r´esultats ne correspond `a notre observation, c’est pourquoi nous d´eveloppons un mod`ele propre `a la g´eom´etrie cylindrique de nos tubes.

Lors de leur relaxation, nous observons que l’extr´emit´e des bulles filles cr´e´ees prennent la forme de cˆone. La hauteur de ce cˆone est assimilable `a la longueur de la bulle et va donc ˆetre proportionnelle `a λ. Le rayon du cercle qui en constitue la base n’est autre que le rayon R₀ du tube. (figure I.4.6) A pr´esent, le volume de fluide qui va participer au

x

R₀ λ

Fig. I.4.6 – Forme de l’interface juste apr`es l’instant du pincement.

mouvement, et donc qui va intervenir dans la dissipation visqueuse est x3. La vitesse de l’apex de la bulle est ˙x, en revanche, `a l’endroit o`u le pincement a eu lieu, le syst`eme est sym´etrique puisqu’on a une bulle de chaque cˆot´e. La vitesse y est donc nulle. C’est pourquoi les gradients de vitesse s’´etablissent aussi sur x. Il vient :

P_visc ∼ µx3 ˙x x

2

(I.4.5) Et la force exerc´ee par la tension de surface est σR₀ puisque c’est en quelque sorte le cercle qui est `a la base du cˆone qui tire la pointe vers elle, et elle travaille `a la vitesse ˙x :

P_σ ∼ −σR₀λ ˙x (I.4.6)

Il reste, en ´equilibrant les deux termes :

x ˙x ∼ ^σR0

µ ^(I.4.7)

Ce qui s’int`egre pour donner le mˆeme scaling que pr´ec´edemment : x ∼

s σR₀

µ ^{(t − t0) (I.4.8)}

4.3.4 Comparaison des r´esultats avec le mod`ele

La droite trac´ee sur la figure I.4.5-B permet de v´erifier l’accord de nos donn´ees avec une loi de puissance en racine du temps : les points s’alignent sur des droite de pente proches de 1/2.

De mˆeme que pour le cas pr´ec´edent (´etude de r), on peut adimensionner les donn´ees exp´erimentales pour v´erifier cette loi (I.4.8). C’est l’objectif de la figure I.4.7qui pr´esente d’une part les donn´ees brutes (A) – dispers´ees – et d’autres part les donn´ees adimen-sionn´ees (B), qui concordent, confirmant ainsi la loiI.4.8dans les premiers instants suivant le pincement.

4.3 Dynamique de s´eparation des bulles filles 55 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 v 1000; R₀=0.5mm v 1000; R₀=0.6mm v 1000; R₀=1mm v 1000; R₀=1.21mm v 100, R₀=0.5mm v 20; R₀=0.5mm v 12500; R₀=0.5mm x/R₀ t-t₀ (s) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 v 1000; R₀=0.5mm v 1000; R₀=0.6mm v 1000; R₀=1mm v 1000; R₀=1.21mm v 100, R₀=0.5mm v 20; R₀=0.5mm v 12500; R₀=0.5mm x/R₀ σ(t-t₀) µR₀

√

Fig. I.4.7 – V´erification du scaling obtenu en I.4.8 pour les instants suivant le pincement en r´egime visqueux.

A/ Donn´ees brutes pour diverses viscosit´es et diff´erents rayons de tube. B/ Les mˆemes donn´ees sont pr´esent´ees dans le plan (x/R0;

q σ(t−t0)

µR0 ).

4.3.5 Parall`ele avec la loi d’impr´egnation d’un poreux

Remarquons que la loi (I.4.8) n’est autre que la loi d’impr´egnation d’un tube capillaire de rayon R₀ mis en contact `a l’instant t = 0 avec un liquide (figure I.4.8). Cette loi porte le nom de Washburn [32]. Si nous appelons x la hauteur de liquide atteinte dans le tube, la loi d’impr´egnation s’´ecrit :

x ∼ s

σR₀

µ ^{t (I.4.9)}

La mont´ee de liquide ob´eit donc `a la mˆeme loi que l’´ecartement des bulles filles (´equation I.4.8). Pourtant s’il est vrai que les deux lois sont similaires, la construction des raison-nements qui y conduisent diff`erent : en effet, dans le cas de l’impr´egnation, le volume de liquide qui est mis en mouvement est celui contenu dans de tube, xR2

0, et les gradients de vitesse s’´etablissent entre le milieu du tube et sa paroi, c’est `a dire sur R₀. Il en r´esulte

µxR²₀  ˙x R₀ 2 ∼ σR₀˙x (I.4.10)

Par ´elimination des R₀ du membre de gauche,l’´equation I.4.10 donne la mˆeme loi qu’en I.4.8, mais plus par une co¨ıncidence math´ematique que grˆace `a une physique comparable. On trouvera en annexe A.1 une ´etude compl´ementaire de l’´etude de l’´ecartement des bulles en r´egime inertiel.

R₀ x

Conclusion de l’´etude sur les

occlusions pulmonaires

A partir de la probl´ematique des occlusions pulmonaires, nous avons ´etudi´e exp´ eri-mentalement l’instabilit´e capillaire d’une couche de liquide visqueux recouvrant la paroi interne d’un tube horizontal, dans la limite des faibles nombres de Bond. Nous avons constat´e que la longueur d’onde de d´estabilisation n’ob´eissait pas toujours `a la loi λ = 2π√

2R_i0attendue d’apr`es le mod`ele classique, et que l’instabilit´e n’avait pas toujours lieu malgr´e les pr´edictions th´eoriques.

Nous avons mis en ´evidence dans notre mod`ele l’influence de la gravit´e sur la relation de dispersion, qui se traduit par

– le d´eveloppement plus rapide des perturbations de l’interface liquide-air dans le bas du tube,

– une augmentation de la longueur d’onde de d´estabilisation de l’interface par rapport `

a la situation sans gravit´e : λ = 2π√

2R_i0/√

1 − Bo2,

– la saturation de l’instabilit´e d`es que le taux de croissance s’annule en haut du tube, c’est-`a dire pour h₀/R_i0≤ 12Bo2/ (1 − Bo²)².

Si les tendances qualitatives sont correctes, ce mod`ele ne pr´edit toutefois pas les bons facteurs num´eriques. Il faudrait pour augmenter la pr´ecision du mod`ele prendre en compte des d´eformations et des excentricit´es qui ne soient pas petites devant le rayon du tube.

La g´eom´etrie cylindrique permet d’atteindre, `a l’issue du d´eveloppement de l’instabi-lit´e, de tr`es faibles rayons d’interfaces. Nous nous sommes int´eress´es `a la dynamique du pincement de l’air, dans ce r´egime domin´e par la tension de surface. Nous d´egageons, `a partir d’un raisonnement en loi d’´echelle, une tendance pour l’approche de la singularit´e en r ∼pσR₀(t₀− t) /µ, que les exp´eriences confirment. L’´equilibre des dissipations vis-queuses et du travail de la tension de surface conduit ´egalement `a une loi pour l’´ecartement des deux bulles nouvellement form´ees x ∼ pσR₀(t − t₀)µ, qui est ´egalement en accord avec les exp´eriences.

Les perspectives sur lesquelles d´ebouche cette partie sont les ´etudes de l’instabilit´e capillaire dans des tubes ramifi´es qui reproduisent mieux la situation pulmonaire r´eelle, et surtout les conditions de rupture des occlusions pulmonaires. Le but ´etant de d´egager quels param`etres sont les plus pertinents pour aider `a d´etruire ces lentilles liquides lorsqu’elles surviennent dans le cadre d’une pathologie.

Deuxi`eme partie

Entropion oculaire : ´etalement et

retournement « visco-´elastique »

1 Entropion et syndrome de l’œil sec : introduction 65

1.1 El´^´ ements d’anatomie oculaire . . . 65

1.1.1 Le film lacrymal isole l’œil du milieu ext´erieur . . . 66

1.1.2 La paupi`ere . . . 68