CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DISCRÈTE EN ONDELETTES 47
4.3 La transformée en ondelettes 54
4.3.5 DWT dans la compression d’images 68
Pour la conception d’un système de compression d’images à base de la transformée discrète en ondelettes on doit prendre en considération les points suivants :
• Image de test • Fonction ondelette
• Ordre et longueur du filtre • Nombre de décomposition • Complexité de calcul 4.3.5.1 Type d’image pour le test
La qualité des systèmes de compression d’images est influencée par le contenu de l’image ou bien son activité spectrale [51]. Le choix d’une image pour les tests de compression d’images est un problème fondamental [51], [59], [60]. Les images doivent être classées selon leurs caractéristiques fréquentielles et spatiales.
Mesures dans le domaine spatial (spatial frequency measure (SFM))
Cette mesure permet d’avoir une idée globale de l’activité spectrale de l’image [70]:
4.70
Où,
1 , , 1 4.71 et
1 , 1, 4.72
Avec R Fréquences des lignes, C Fréquences des colonnes, M Nombre de lignes, N Nombre de colonnes, et , Coefficient de la matrice d’image.
Mesure dans le domaine fréquentiel (spectral activity measure (SAM))
Cette mesure permet de voir la quantité de l’activité spectrale dans l’image [51] 4.73 Avec
1 | , | 4.74
| , | 4.75 F(j,k) est la transformée de Fourier discrète de l’image.
Si SFM est grand alors l’image contient beaucoup de composantes de haute fréquence et si SAM est petit alors l’image est à très grande activité spectrale. Les images avec beaucoup d’activités spectrales sont difficiles à compresser.
La transformée discrète en cosinus permet aussi de visualiser la distribution de l’activité spectrale et sa fréquence. Dans le chapitre suivant nous allons utiliser la DCT pour le choix des images de test.
4.3.5.2 Choix de la fonction ondelette
Le choix de l’ondelette pour la transformation doit être ajusté au contenu de l’image [51], [59], [60]. Une image avec une haute distribution spectrale est insensible aux choix des ondelettes. Les propriétés de choix de la fonction de base ondelette sont :
• Support compact, pour avoir une implémentation efficace, • Symétrie, pour éviter le déphasage dans la compression, • Orthogonalité, pour avoir un algorithme rapide,
• Régularité et degré de linéarité, en relation avec l’ordre et la longueur du filtre. 4.3.5.3 Ordre et longueur du filtre
La longueur du filtre dépend de l’ordre du filtre, mais la relation entre l’ordre et la longueur du filtre dépend de la famille des ondelettes. Nous avons cinq familles d’ondelettes à support compact, les ondelettes de Haar, les ondelettes de Daubechies, les ondelettes Coiflet, les ondelettes Symlet et les ondelettes biorthogonales.
Tableau 4. 1 : Répartition de la longueur des filtres dans la famille des ondelettes
Filtre/Ondelettes Haar Daubechies Coiflet biothogonal Symlet
Ordre 1 N N Nd Nr N
Longueur 2 2N 6N X 2N
Le tableau.4.1 présente la relation entre l’ordre et la longueur du filtre pour les cinq familles des ondelettes. On peut voir que l’ondelette de Haar est un cas spécial des ondelettes de Daubechies; pour un ordre du filtre N=1, la longueur du filtre est L=2. Pour la famille Daubechies et la famille Symlet, si l’ordre du filtre est N alors la longueur du filtre est 2N. Pour la famille Coiflet, si l’ordre du filtre est N alors la longueur du filtre est L=6N. Pour la famille biortogonale, les ondelettes utilisées dans l’analyse du signal sont différentes des ondelettes utilisées dans la synthèse du même signal.
Aussi, on distingue les ondelettes par un nom qui représente la famille des ondelettes et un numéro qui indique l’ordre du filtre.
Exemple :
Coif3 : est l’ondelette de Coiflet avec l’ordre du filtre N=3 donc sa longueur est L=18, Db2 : est l’ondelette de Daubechies avec l’ordre du filtre N=2 donc sa longueur est L=4.
Pour la famille des ondelettes biorthogonales, le numéro qui accompagne le nom de l’ondelette indique l’ordre du filtre utilisé dans la décomposition du signal (Nd) et l’ordre du filtre utilisé lors
de la reconstruction (Nr) respectivement.
Exemple :
Bior2.2 implique Nd=2, (L(FPB)=5 et L(FPH)=3), Nr=2, (L(FPB)=3 et L(FPH)=5).
Comme on peut le remarquer dans les fonctions des ondelettes biorthogonales, la longueur des filtres passe-bas (FPB) et la longueur des filtres passe-haut (FPH) utilisées dans la décomposition et la reconstruction sont différentes. Elles doivent être déterminées pour chaque type de filtre. Un ordre de filtre élevé permet d’avoir une fonction large dans le domaine temporel et un degré de régularité élevé. Aussi ce type de filtre permet d’avoir une bonne localisation en fréquence avec une bonne régularité de l’ondelette. Par contre, un filtre avec un ordre faible permet d’avoir une très bonne localisation en temps et permet aussi de préserver une bonne quantité de l’information des contours [51].
La régularité étant importante dans la compression d’images par ondelettes, la conception de ces filtres nécessite un ordre élevé, donc une longueur élevée. Mais, ceci fera augmenter la complexité de calcul de DWT, alors un compromis est nécessaire entre la longueur du filtre, le degré de régularité et la complexité de calcul.
Dans la figure 4.19 on peut voir cinq exemples de fonctions d’échelles et d’ondelettes utilisées dans les phases d’analyses et de synthèses de la transformation en ondelettes.
La première colonne représente les fonction d’échelles utilisées en phase d’analyse, la deuxième colonne représente les fonctions d’échelles utilisées en phase de synthèse, la troisième colonne représente les fonctions ondelettes utilisée en phase d’analise et la quatrième colonne représente les fonctions d’ondelettes utilisées en phase de synthèse.
Figure 4. 19 : Fonctions d’ondelettes avec leurs fonctions d’échelles correspondantes utilisées dans la phase d’analyse et la phase de reconstruction des ondelettes Haar, Db2, Sym3, Bior2.2 et
4.3.5.4 Nombre de décompositions
La qualité de compression est déterminée par le nombre de décompositions de l’image. Le nombre optimal de décompositions de l’image permet d’avoir une valeur du PSNR la plus élevée dans une large bande de taux de compression pour un certain ordre de filtre [51]. Après avoir décomposé l’image et récupéré les coefficients de la transformation en ondelettes, la compression peut être achevée par l’élimination des coefficients inférieurs à un seuil donné.
Aussi, plus le nombre d’itérations est grand plus le nombre d’opérations arithmétiques est grand. Dans notre travail nous avons limité le nombre d’itérations à 3.
4.3.5.5 Complexité de calcul
Pour une image de N x N en décomposition dyadique, la complexité de calcul est approximativement [59]:
16 1 4
3 4.76 Où L la longueur du filtre