Prob
abilité de tr
ans
iti
on
(a) (c) (d) (b) |f,p> |e,p+hkeff> |e,p−hkeff>Figure 1.8 – Simulation des oscillations de Rabi en double et simple diffraction
dans le cas d’une source monochromatique. La ligne du haut ((a) et (c)) présente les
résultats de la double diffraction pour une population atomique initialement dans |f, pi (a) et
|e, p+ ~keffi (c) La ligne du bas ((b) et (d)) présente les résultats dans le cas de la simple diffraction pour les mêmes états initiaux. La durée de l’impulsion π est√2-fois plus longue en
double diffraction.
Cas d’un distribution en vitesse non nulle Notre code permet également de résoudre numériquement le système d’équations couplées dans le cas d’une distribution en vitesse
CHAP 1. INTERFÉROMÉTRIE ATOMIQUE EN MICROGRAVITÉ : ÉLÉMENTS THÉORIQUES40
du nuage atomique non nulle, grâce à une méthode de Monte Carlo7. En particulier nous sommes en mesure de simuler les spectres Raman attendus en double diffraction dont des exemples sont tracés sur la Figure 1.9.a, pour différentes températures correspondant à des distributions en vitesse allant de 0,4ωr à 3ωr. On observe bien le creux en δrf = −ωr lorsque la distribution en vitesse est suffisamment grande devant Ωr (ici nous avons fixé Ωr = 0,7ωr). Bien entendu, le spectre devient plus piqué lorsque la température diminue, l’impulsion adressant une plus grande gamme de classes de vitesse, et le creux tend à disparaître puisque la résolution spectrale fixée par Ωr n’est plus suffisante. Sur la Figure 1.9.b, sont représentés les spectres pour une distribution en vitesse fixée (σv = 0, 4ωr) et une pulsation Ωr variable. En diminuant Ωr (ce qui revient à augmenter la durée de l’impulsion), on retrouve bien le creux en plus d’une baisse logique de l’efficacité de transition. 0 0,2 0,4 0,6 Prob abilité de tr ans iti on -4 -2 0 2 4 0 0,2 0,4 0,6 Prob abilité de tr ans iti on δRF/ωR (b) (a) Ω r = 0,7ωR σv = 0,4ωR
Figure 1.9 – Simulation de spectres Raman en microgravité. (a) Pulsation de Rabi
fixée (Ωr = 0, 7ωr), spectres pour différentes distributions en vitesse : σv = 0, 4ωr (noir), σv= 0, 75ωr(bleu), σv= 1, 7ωr(magenta), σv= 3ωr (jaune). (b) Distribution en vitesse fixée (σv= 0, 4ωr), spectres pour différentes pulsations de Rabi : Ωr= 0, 7ωr (traits pleins), Ωr= 0, 35ωr (traits pointillés) et Ωr= 0, 18ωr (tirets). Les spectres sont centrés sur la fréquence de recul et présentent un creux en ce point.
Le temps nous a manqué pour aller plus loin, notamment pour intégrer les ordres de diffraction supérieurs mais le lecteur pourra trouver dans [Lévèque, 2010] une étude plus détaillée du régime de double diffraction en particulier sur l’efficacité des séparatrices et des
7. Tirage aléatoire d’une classe de vitesse selon une loi de probabilité gaussienne et résolution du système pour chaque particule. Le formalisme matriciel de Matlab se prête parfaitement à ce type de calculs.
41 1.4. L’interféromètre de Mach-Zehnder en microgravité
miroirs ainsi que sur l’évolution du contraste de l’interféromètre en fonction de différents paramètres expérimentaux. Ce qu’il faut retenir de cette étude est que la distribution en vitesse fait bien sûr chuter l’efficacité de diffraction, influant directement sur la valeur du contraste des franges, mais surtout qu’elle induit un peuplement non négligeable des états |f, p ±2~keffi limitant encore davantage l’efficacité des impulsions Raman. Si la puissance laser disponible est insuffisante, il devient alors primordial d’abaisser la température de la source atomique.
1.4.2.4 Calcul du déphasage interférométrique d’un interféromètre de Mach-Zehnder
L’interféromètre de Mach-Zehnder en double diffraction est composé de trois impul-sions séparées d’un temps d’interrogation T et de durées respectives τs− τm− τs, que l’on assimile aux impulsions π/2 − π − π/2 dans le cas de la simple diffraction. La première impulsion sépare symétriquement le paquet d’ondes dans l’état initial |f, pi entre les deux états |e, p ± ~keffi. La deuxième impulsion équivalente à un miroir transfert ensuite les deux paquets d’ondes dans son état d’impulsion opposée |e, p ∓ ~keffi avant que la der-nière impulsion ne les recombine pour former un interféromètre symétrique. Le déphasage interférométrique se lit alors sur une des trois voies de sortie par mesure des populations des états internes. A partir du système d’équations couplées (1.69), on peut identifier les termes de phase imprimés sur la fonction d’onde lors des changements d’état interne et externe des atomes, et ainsi en déduire le déphasage total en sortie de l’interféromètre :
• Lors d’une transition |f, pi → |e, p ± ~keffi, la phase totale imprimée est
φ±f →e = ωefft+ ϕeff± ϕe,eff (1.76) • Lors d’une transition opposée |e, pi → |f, p ± ~keffi, la phase totale imprimée est
φ±e→f = −ωefft − ϕeff± ϕe,eff (1.77)
• Pour une impulsion miroir pour laquelle la transition réalisée est |e, p ± ~keffi → |e, p ∓~keffi, la phase totale imprimée est alors :
φ±e→e = φ−
e→f+ φ−
f →e (1.78)
= ∓2ϕe,eff (1.79)
Ainsi, les phases accumulées par le paquet d’onde voyageant dans les bras du haut et du bas sont respectivement :
Φup= φ+
f →e(0) + φ+
e→e(T ) + φ+
e→f(2T ) (1.80)
= ϕeff(0) + ϕe,eff(0) − 2ϕe,eff(T ) − 2ωeffT − ϕeff(2T ) + ϕe,eff(2T ) (1.81) et
Φdown = φ−
f →e(0) + φ−
e→e(T ) + φ−
e→f(2T ) (1.82)
CHAP 1. INTERFÉROMÉTRIE ATOMIQUE EN MICROGRAVITÉ : ÉLÉMENTS THÉORIQUES42
D’où un déphasage total en sortie de l’interféromètre de :
Φ0,dd= Φup−Φdown (1.84)
= 2ϕe,eff(0) − 4ϕe,eff(T ) + 2ϕe,eff(2T ) (1.85)
= 2Φ0,sd (1.86) |e, p + !keff> |f , p > |e, p − !keff> T T |e, p + !keff> |e, p − !keff> Temps Es pa ce
Figure 1.10 – Schéma d’un interféromètre atomique de Mach-Zehnder en double
diffraction. Une première séparatrice transfert symétriquement les atomes dans les états
|e, p ±~keffi, puis une impulsion miroir inverse les populations avant une dernière impul-sion π/2 recombinant les deux paquets d’onde sur les trois ports de sortie.
Le facteur d’échelle est donc doublé par rapport à l’interféromètre en simple diffraction, d’où une sensibilité deux fois plus grande aux effets inertiels. Le résultat important ici est le fait que le terme de phase laser n’intervienne pas dans l’expression du déphasage interférométrique du fait que les atomes voyagent dans le même état interne tout le long de l’interféromètre. Il n’est donc pas possible de balayer les franges en faisant varier la phase laser relative entre les trois impulsions. Seuls des champs inertiels fluctuants le peuvent. Ainsi, le bruit de phase des lasers utilisés est totalement rejeté en régime de double diffraction. Par ailleurs, la géométrie parfaitement symétrique de l’interféromètre a pour effet de rejeter d’autres effets systématiques : ceux affectant de la même façon les deux bras de l’interféromètre. Par exemple, la mesure est insensible aux fluctuations temporelles de l’effet Zeeman ainsi qu’au gradient de champ magnétique le long de la direction de propagation des atomes, mais aussi aux déplacements lumineux. Enfin, l’efficacité limitée des impulsions lumineuses induit un peuplement résiduel de l’état interne |fi ce qui a pour effet non seulement de faire chuter le contraste, mais également d’introduire des interféromètres parasites si les atomes en question ne sont pas éliminés. Dans ce but, après chaque impulsion Raman ,est généralement utilisé un faisceau pousseur.
1.4.3 De la nécessité des atomes ultra-froids
Nous l’avons vu, le recours à une source atomique ultra-froide est essentiel afin d’aug-menter le contraste des franges d’interférences à puissance laser donnée, l’efficacité des miroirs et séparatrices étant fondamentalement limitée. Ceci est encore plus vrai si l’on souhaite augmenter le temps d’interrogation et donc la sensibilité de la mesure puisqu’une
43 1.4. L’interféromètre de Mach-Zehnder en microgravité
température réduite permet de limiter l’expansion spatiale du nuage au cours de l’inter-féromètre et donc de conserver l’efficacité des impulsions lumineuses. En effet, à cause du caractère inhomogène de l’intensité des faisceaux laser utilisés (généralement des fais-ceaux gaussiens), chaque atome voit une zone du faisceau différente de ses homologues et l’oscillation de Rabi associée à chaque classe de vitesse possède alors également une dépen-dance spatiale résultant en une forte perte d’efficacité des impulsions lumineuses. Le but de la microgravité étant justement d’augmenter le temps d’interrogation, il est naturel de s’orienter vers une source ultra-froide. Le régime de double diffraction inhérent à la micro-gravité impose d’ailleurs une contrainte sur la sélectivité en vitesse des impulsions du fait de la proximité entre les transitions contra-propageantes à 2 photons, contra-propageantes à 4 photons et co-propageantes (séparées deux à deux de ωr), obligeant à réduire autant que possible la température. Outre cette problématique liée à la sélectivité en vitesse des miroirs et séparatrices en interférométrie atomique, abaisser la température est dans tous les cas essentiel à l’obtention d’un système de franges lisible. Il est en effet technique-ment d’autant plus difficile de faire interférer les atomes avec eux-mêmes que leur vitesse est grande et le temps d’interrogation est long, car la longueur d’onde de de Broglie est inversement proportionnelle à la vitesse de chaque atome. Aussi, la présence de l’effet Co-riolis sur Terre induit un déphasage dépendant de la vitesse de l’atome et entraîne donc un rapide brouillage des franges si la dispersion en vitesse est trop importante (chaque système de franges créé par un atome interférant avec lui-même se sommant pour créer l’interferogramme).
En interférométrie, plus que le contraste d’un système de franges, c’est le rapport signal à bruit (SNR) qui importe. Bien sûr les deux notions sont liées puisque à nombre d’atomes constant, une amélioration du SNR passe en partie par une augmentation du contraste. En plus d’une faible température, et d’un faible étalement spatial, un interféromètre requiert donc également un nombre d’atomes le plus important possible. La source atomique idéale tend donc vers le condensat de Bose-Einstein. Si ces sources sont parfois utilisées pour leurs propriétés de cohérence uniques leur proférant la capacité d’interférer avec eux-mêmes en tant que fonction d’onde macroscopique [Andrews, 1997], dans notre cas nous profitons simplement du fait qu’elles présentent toutes les caractéristiques nécessaires à l’interférométrie à long temps de vol. En contrepartie, la forte densité associée à ce type de source peut induire des effets systématiques supplémentaires dûs aux fortes interactions entre atomes [Jannin et al., 2015].