Du microscopique stochastique au macroscopique déterministe

pour la marche aléatoire de la section 1. Cependant, nous avons vu que d’autres

théorèmes permettent d’obtenir une correspondance locale. Remarquons toutefois

que leur forme diffère de celle du théorème central limite par la nécessité d’anticiper

les positions possibles du marcheur.

Voyons à présent comment se retrouvent ces limitations dans l’autre approche que

nous avons utilisée : celle basée sur l’équation de Chapman-Kolmogorov. Par l’étude

de cette équation, nous avons montré que les modes exp(i/:x) à grande longueur

d’onde décroissent exponentiellement avec un temps caractéristique asymptotique­

ment équivalent à celui donné par la relation de dispersion de l’équation de diffusion.

Appliquons maintenant cette correspondance spectrale en décomposant la condition

initiale localisée en une superpositions de modes de Fourier :

p{x,to) = J exp^iA:(x - xo)^ . (3.64)

En examinant cette expression, nous pouvons constater qu’une condition initiale lo­

calisée se décompose sur toutes les longeurs d’onde possibles avec la même intensité.

Une condition initiale localisée est donc constituée aussi bien de modes diffusifs à

grandes longueurs d’onde que de modes non-diffusifs à petites longeurs d’onde. Pour

observer de la diffusion il est donc nécessaire de filtrer les modes à petites longueurs

d’onde. En faisant abstraction de ces modes, on s’interdit en fait l’accès à certaines

caractéristiques de la distribution de probabilité comme par exemple des détails lo­

caux. Remarquons aussi qu’en filtrant les modes à petites longueurs d’onde, il n’est

pas possible de déterminer si le support d’une distribution est borné ou non. Nous

retrouvons donc par l’approche spectrale certaines limitations du théorème central

limite.

4. Du microscopique stochastique au macroscopique déterministe

Nous avons vu dans la section précédente que la probabilité de présence d’un marcheur

aléatoire est étroitement liée à des solutions de l’équation de diffusion. La question

que nous nous posons maintenant est : comment observer cette diffusion dans des

réalisations particulières d’une marche aléatoire. Autrement dit : peut-on accéder à

la distribution de probabilité de présence en observant des réalisations d’une marche

aléatoire. Nous examinerons tout d’abord le cas de la trajectoire d’un marcheur isolé.

Ensuite, nous analyserons la situation dans laquelle un même marcheur effectue à

plusieurs reprises différentes réalisations d’une même marche aléatoire. Finalement,

nous traiterons le cas où plusieurs marcheurs indépendants effectuent simultanément

une même marche aléatoire. Ce dernier cas est identique au précédent ; toutefois,

les deux situations deviendrons différentes lorsque dans la suite de ce travail nous

envisagerons des systèmes de marcheurs en interaction.

a. Un marcheur, une réalisation

Pour pouvoir observer de la diffusion dans une réalisation particulière d’une marche

aléatoire, il faudrait pouvoir extraire une estimation raisonnable de la distribution

38 ^{I Marches aléatoires et équation de diffusion}

de probabilité de présence à partir d’une seule trajectoire. Essayons de comprendre

pourquoi cela n’est pas possible^^.

Lorsque l’on observe un marcheur aléatoire isolé il est difficile de prévoir sa position

future. Cependant ce qui est certain c’est qu’à tout instant le marcheur se trouve en

un endroit bien précis : un marcheur aléatoire va dans un sens, puis dans un autre, il

erre, mais il reste entier. Ce qui se disperse ce n’est pas le marcheur, c’est l’ensemble

des positions raisonnablement accessibles, ou de façon plus précise la distribution

de probabilité de présence. Il ne faut donc pas s’attendre à voir directement de

la diffusion en observant une réalisation particulière d’une marche aléatoire (voir

section 1, figure 4). En fait ce que l’on observe c’est du mouvement Brownien, et

les caractéristiques de ce type de trajectoire sont en général fort différentes de ce

que l’on pourrait prévoir naiVement à partir de la distribution de probabilité en

appliquant une vague loi des grands nombres.

Pour illustrer ce point, donnons un exemple particulièrement frappant qui montre

que même une propriété simple comme la symétrie de la distribution de probabilité

ne se retrouve pas dans les réalisations particulière d’une marche aléatoire, et cela

même lorsque l’on considère une moyenne sur le temps. En fait, comme nous allons

le voir, ce sont les trajectoires les plus asymétriques qui sont les plus probables. C’est

un résultat surprenant, qui va à l’encontre de l’intuition et que l’on peut énoncer

comme suit :

Théorème 1.5 Considérons la marche aléatoire de la section 1, et supposons, sans

perte de généralité, qu’à l’instant initial t = 0, le marcheur se trouve au point

X = Q. La probabilité a2k,2t pour que durant l’intervalle de temps allant de 1 à 2t, le

marcheur passe au total 2k unités de temps en des points négatifs et 2t — 2k unités

de temps en des points positifs^^ est donnée par

Analysons ce résultat en considérant le comportement asymptotique de la probabilité

ot2k,2t' Quand t —► oo avec

^lim k/t = X Z G (0,1) , (4.2)

on peut montrer que

1

«2fc,2t ~ 7

(4.3)

^^Dans certaines circonstances, il est possible de segmenter la trajectoire en de nombreux tronçons à partir desquels ont peut estimer correctement la probabilité conditionnelle p(x,i\ xo,to) (1.1.8); avec un bon choix des tronçons, cette procédure revient à considérer plusieurs réalisations.

^*Cet énoncé est celui donné dans la 3e édition du livre de Feller [Feller 1968]. Il est très imprécis parce qu’il semble ignorer le fait que le marcheur passe aussi par l’origine. L’énoncé ne dit rien du signe qu’il faut attribuer à ce point. Pour que le théorème soit correct il faut donner à l’origine le signe de la position qui précède le passage par le point z = 0.

4. Du microscopique stochastique au macroscopique déterministe ₃₉

Figure 6: Représentation graphique de la fonction (1.4.5).

Ce développement constitue une excellente approximation que l’on peut sommer sur

la variable t pour obtenir l’expression asymptotique de la probabilité des réalisations

où le marcheur passe une fraction a; € [^, ^ + A^] du temps total d’un coté déterminé

de la condition initiale. Cette probabilité est donnée par

P[e < x < e + . (4.4)

Si nous observons le graphe (figure 6 ) de la fonction

1 1

TT ^X(l — x)

nous pouvons constater qu’il est relativement probable d’observer une réalisation de

la marche aléatoire où le marcheur passe une majeure partie du temps d’un coté

déterminé de la condition initiale. Nous pouvons aussi constater que la situation

de symétrie, où le marcheur passe environ la moitié du temps de chaque coté de la

condition initiale, est la moins probable.

C’est un résultat surprenant que l’on peut toutefois essayer de comprendre en

remarquant qu’un équilibre entre le temps passé à droite et à gauche de la position

initiale ne peut se maintenir au cours du temps que par un passage régulier du

marcheur par cette position initiale. Mais un retour régulier à l’origine n’est pas

compatible avec l’absence de mémoire du marcheur et la divergence de l’écart type

de la position au cours du temps. L’équilibre entre les positions négatives et positives

ne peut donc pas être préservé au cours du temps^®.

(4.5)

40 I Marches aléatoires et équation de diffusion

b. Un marcheur, plusieurs réalisations

Considérons à présent un ensemble constitué de n réalisations mutuellements indé­

pendantes

Jb= l,2,...,n , (4.6)

d’une marche aléatoire dont la condition initiale est donnée par

P[xW(0)]=p(x,0) = po(3^) k = l,2,...,n, (4.7)

et essayons de voir comment il est possible d’extraire^, de cet échantillon, une esti­

mation raisonnable de la probabilité de présence p(x, t) (1.1.12) solution de l’équation

de Chapman-Kolmogorov (I.l.ll) pour le problème aux conditions initiales (1.4.7).

Considérons pour cela l’estimateur p{x,t) donné par la moyenne observée de

l’indicateur de présence /(*')(x,t) :

avec

/(*')(x,0= lsiX(*)(0 = x, (4.9)

= 0 sinon . (4.10)

n est clair que l’espérance de p{x,t) est la probabilité recherchée p(x,t), et que la

dispersion autour de cette espérance mesurée par

Var[p(x,t)] = ■^p(x,t)^l -p(x,t)^ (4.11)

peut être rendue arbitrairement petite en considérant des échantillons d’effectif n

suffisamment grand. Un résultat plus parlant peut être obtenu à partir de cette

relation en appliquant l’inégalité de Chebyshev^* à la variable aléatoire p{x,t) .

Nous obtenons de la sorte la relation suivante :

lim P[|p(x,t) - p(x,f)| > t] = 0 Vc > 0 . (4.12)

n-^oo

C’est une loi faible des grands nombres.

Remarquons que cette inégalité n’exclut pas la possibilité d’écarts importants

entre la valeur estimée p{x,t) et la valeur réelle p(x, t) ; de tels écarts sont simplement

peu probables, et leur probabilité peut être rendue arbitrairement proche de 0 en

considérant un échantillon de taille suffisante. Lorsque nous nous trouverons dans

des conditions particulières où les probabilités p{x,t) sont proches d’une solution de

®°Par extraire, nous entendons obtenir une estimation de la probabilité de présence en trai­ tant directement les donnée sans inférer le résultat (en se fondant sur une étude statistique des déplacements par exemple).

^'L’inégalité de Chebyshev est un résultat général concernant les variables aléatoire possédant un second moment : P[|X| > t] <

4. Du microscopique stochastique au macroscopique déterministe ₄₁

l’équation de diffusion il sera donc possible de voir de la diffusion en calculant la

valeur observée de p(x,t) sur un échantillon sufRsamment grand.

Remarquons, pour conclure, qu’il est possible de déterminer exactement la prob­

abilité d’une erreur particulière dans l’estimation de p{x,t) par p{x,t) car la distri­

bution de probabilité de l’estimateur p{x,t) est connue : np{x,t) est simplement une

binomiale B{n,p).

c. Plusieurs marcheurs

Considèrent à présent la situation où n marcheurs évoluent similtanément et indé-

pendament les uns des autres. Du point de vue mathématique, rien ne distingue

cette situation de celle que nous venons de considérer. Toutefois, l’image physique

que l’on peut s’en faire est différente il ne s’agit plus de la répétition d’un grand

nombre d’expériences aléatoires mais d’une réalisation unique d’une expérience dans

laquelle n marcheurs évoluent simultanément. Bien sur, nous savons que cette

expérience unique se décompose en n expériences mutuellements indépendantes, et

c’est pourquoi le problème est identique au précédent.

Dans la suite de ce travail, nous envisagerons des interactions entre les marcheurs.

Dans une telle situation, la décomposition de l’évolution de l’ensemble des marcheurs

en un grand nombre d’expériences aléatoires indépendantes ne sera plus possible.

La détermination théorique de la probabilité de présence d’un marcheur en un

point donné (x,t) devient alors un problème souvent très difficile . L’observation

de cette probabilité de présence (dont le comportement macroscopique peut rester

de type diffusif) s’effectue comme précédement en considérant un grand nombre

de réalisations mutuellements indépendantes de l’évolution des marcheurs ; on parle

dans ce cas d’une moyenne sur les réalisations, on dit parfois aussi moyenne d’ensem­

ble^^. Bien que l’évolution du système ne se décompose plus en un grand nombre

d’expériences indépendantes, nous pouvons toujours nous demander si il est en­

core possible d’utiliser l’observation d’une réalisation particulière pour déterminer

la probabilité de présence comme nous pouvions le faire dans le

C3is

d’un système

sans interaction ? Dans certains cas, la réponse est oui : il est effectivement possible

d’estimer la probabilité de présence en considérant par exemple des moyennes spa­

tiales sur une image instantanée du système. Cependant, il existe un grand nombre

de situations où le résultat obtenu, par exemple par une moyenne spatiale, est to­

talement différent de celui obtenu par une moyenne sur les réalisation. Nous verrons

des exemples de ce type dans la suite de ce travail. Lorsque cela ce produit, il est

nécessaire de se demander si la réalité des observations expérimentales est du type

moyenne sur les réalisations (répétition à plusieurs reprises d’une même expérience)

où si au contraire une moyenne d’espace reflète mieux la situation expérimentale. Le

même type de problème survient lorsque l’on considère des moyennes temporelles.

L’expression “ moyenne d’ensemble” est un peu abusive dans ce cas car la dynamique des systèmes que nous considérons contient une part d’aléatoire.

»

if

II A

utomates de gaz sur reseau pour la

DIFFUSION

Dans le chapitre introductif, nous avons présenté les objectifs et motivations de ce

travail. De façon simplifiée et concrète, nous pouvons dire que notre objectif est

de construire des modèles microscopiques minimaux dont le comportement macro­

scopique est régi par une équation phénoménologique de la classe des équations

de réaction-diffusion. Dans cet énoncé, le terme minimal est entendu au sens opéra­

tionnel, c’est-à-dire optimal pour la mise en œuvre de simulations numériques. Cette

restriction au côté opérationnel de la démarche masque la diversité de nos motiva-

tivations (nous y reviendrons) mais a l’avantage d’indiquer clairement la ligne de

conduite pratique du travail.

Afin d’atteindre cet objectif, il est nécessaire de considérer le problème intermé­

diaire qui consiste à construire une dynamique microscopique qui donne lieu à un

comportement macroscopique diffusif et qui soit adaptée aux exigences du calcul

numérique. C’est ce problème que nous allons traiter dans ce chapitre^.

Nous pourrions aborder cette question en considérant une modélisation micro­

scopique réaliste à partir de laquelle nous déterminerions les caractéristiques in­

dispensables à l’émergence de la diffusion. Ces propriétés essentielles seraient con­

servées dans notre modébsation optimale, tandis que les caractéristiques jouant un

rôle accessoire fourniraient une flexibilité permettant d’adapter le modèle à diverses

exigences numériques. Cette façon de considérer le problème est intéressante parce

qu’elle met l’accent sur l’idée qui sous-tend notre démarche et qui consiste à ex­

ploiter la très grande stabiUté des formes fonctionnelles des équations de la physique

macroscopique à des fins numériques ou théoriques.

Malheureusement, cette façon de présenter la construction d’un modèle comme

le résultat d’une procédure logique serait peu représentative de la génèse réelle des

systèmes que nous considérons dans ce travail. Nous pourrions bien sûr présenter

un modèle comme s’il avait été obtenu par une construction intellectuelle élégante

mais nous considérons qu’une telle présentation est discutable. En ne présentant

pas les améliorations successives qui ont permis d’obtenir un modèle satisfaisant,

le risque est grand de laisser le lecteur dans l’ignorance des nombreux pièges et

artefacts rencontrés dans les versions successives du modèle. Pour celui qui désire

modifier des modèles ou en construire de nouveaux, la connaissance de ces défauts est

'Des modèles semblables à ceux que nous présentons dans ce chapitre ont été développés indépendamment par B. Chopard et M. Droz [Chopard et Droz, 1991]. Un modèle d’automate de gaz sur réseau déterministe dont le comportement macroscopique est diffusif a aussi été construit [Levermore et Boghosian, 1989],

44 ^{II Automates de gaz sur réseau pour la diffusion}

importante. Pour cette raison, nous avons choisi de présenter un modèle acceptable

mais qui possède encore des faiblesses. Celles-ci seront décrites, et les moyens de

s’en affranchir seront discutés.

1. Principe général

La structure des systèmes microscopiques fictifs que nous allons considérer dans ce

travail s’apparente à celle des automates de gaz sur réseau pour l’hydrodynamique^.

On peut donner de ses systèmes l’image physique suivante : des particules se déplacent

le long des liens d’un réseau régulier avec des vitesses discrètes. L’ensemble des

vitesses possibles est en général petit, et est choisi de telle sorte qu’à intervalles

de temps régulier toutes les particules occupent les nœuds du réseau. En ces in­

stants, les particules d’un même nœud interagissent par des collisions conservant la

masse, l’impulsion, et l’énergie. L’évolution de ces systèmes se décompose donc en

deux étapes se répétant successivement : une étape de propagation durant laque­

lle les particules se déplacent en vol libre de nœud en nœud, une étape de collision

pendant laquelle les particules interagissent en échangeant des grandeurs conservées.

Une simplification suplémentaire est introduite dans ces modèles en interdisant

la présence simultanée de plusieurs particules de même vitesse sur un même nœud.

Cette contrainte additionnelle permet de représenter la présence ou l’absence d’une

particule de vitesse donnée sur un nœud du réseau par une variable d’occupation

booléenne. L’état d’un nœud est donc déterminé par la donnée d’autant de variables

booléennes (de bits) qu’il y a de vitesses différentes dans le modèle et le nombre de

configurations d’occupation possibles pour un nœud est égal à 2^ où 6 est le nom­

bre de vitesses différentes admises dans le modèle. Lorsque le nombre de vitesses

n’est pas trop grand ce nombre reste suffisamment petit pour qu’on puisse envisager

des simulations numériques où l’étape de collision est effectuée par la consultation

d’une table mettant en relation les configurations pré-collisionnelles avec les con­

figurations post-coUisionnelles correspondantes. Cette possibilité accélère de façon

sensible la vitesse d’exécution des programmes car les collisions sont calculées une

fois pour toutes. Un autre avantage numérique apporté par la limitation du nombre

d’états possibles, est que la quantité d’information nécessaire pour décrire la con­

figuration d’un nœud est limitée et connue d’avance. L’allocation de mémoire s’en

trouve simplifiée, et l’utilisation d’ordinateurs à architecture parallèle où la mémoire

est distribuée est donc grandement facilitée^. Enfin, l’utilisation d’un modèle totale­

ment booléen garanti la stabilité des simulations numériques : il n’y a pas d’erreur

d’arrondi, ni d’overflow possible.

Le principe d’exclusion peut également apporter des simplifications dans le traite­

ment théorique des modèles, mais ce sont surtout ses avantages numériques qui

justifient son utilisation. Signalons enfin que l’utilisation de ce principe n’est pas

^Voir références de la note en bas de page 5.

^Plusieurs ordinateurs spécialisés ont étés conçus spécifiquement dans l’intention de simuler des gaz sur réseau [Clouqueur et d’Humières 1987]. Des ordinateurs non-spécialisés à architecture par<dlèle sont également largement utilisés pour ce type de modèle [Somers et Rem 1988].

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