Donn´ ees stage

Un bref r´esum´e : un ´echantillon de 66 arbres ont ´et´e s´electionn´es dans les forˆets nationales dans le nord et le centre de l’Idaho. Conform´ement `a Stage (comm. pers. 2003), les arbres ont ´et´e s´electionn´es dans un but pr´ecis plutˆot que de mani`ere al´eatoire. Stage notait (1963) que les arbres s´electionn´es«. . . semblent avoir ´et´e dominants tout au long de leur vie»et «. . . n’ont montr´e aucun signe visible de dommages en couronne, de fourches, de cime bris´ee, etc.» Le type d’habitat et le diam`etre `a 4’6” ont ´egalement ´et´e enregistr´es pour chaque arbre, comme la forˆet d’o`u elle proviennent. Chaque arbre a ´et´e ensuite d´ecoup´e, et des mesures d´ecennales ont ´et´e faites de la hauteur et du diam`etre int´erieur `a l’´ecorce `a 4’6”. D’abord, un coup d’œil aux donn´ees dans la feuille de calcul de votre choix. Puis import des donn´ees comme suit :

> rm(list = ls())

> stage <- read.csv("../data/stage.csv")

> dim(stage) [1] 542 7

> names(stage)

[1] "Tree.ID" "Forest" "HabType" "Decade" "Dbhib" "Height" "Age"

> sapply(stage, class)

Tree.ID Forest HabType Decade Dbhib Height Age

"integer" "integer" "integer" "integer" "numeric" "numeric" "integer"

Du m´enage est n´ecessaire. Commen¸cons avec les facteurs.

> stage$Tree.ID <- factor(stage$Tree.ID)

> stage$Forest.ID <- factor(stage$Forest, labels = c("Kan", "Cd’A", + "StJoe", "Cw", "NP", "CF", "Uma", "Wall", "Ptte"))

> stage$HabType.ID <- factor(stage$HabType, labels = c("Ts/Pach", + "Ts/Op", "Th/Pach", "AG/Pach", "PA/Pach"))

Les mesures sont toutes imp´eriales (c’´etait `a peu pr`es en 1960 !).

> stage$dbhib.cm <- stage$Dbhib * 2.54

> stage$height.m <- stage$Height/3.2808399

> str(stage)

'data.frame': 542 obs. of 11 variables:

$ Tree.ID : Factor w/ 66 levels "1","2","3","4",..: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ...

$ Forest : int 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ...

$ HabType : int 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...

$ Decade : int 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 ...

$ Dbhib : num 14.6 12.4 8.8 7 4 20 18.8 17 15.9 14 ...

$ Height : num 71.4 61.4 40.1 28.6 19.6 ...

$ Age : int 55 45 35 25 15 107 97 87 77 67 ...

$ Forest.ID : Factor w/ 9 levels "Kan","Cd’A","StJoe",..: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ...

$ HabType.ID: Factor w/ 5 levels "Ts/Pach","Ts/Op",..: 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...

$ dbhib.cm : num 37.1 31.5 22.4 17.8 10.2 ...

$ height.m : num 21.76 18.71 12.22 8.72 5.97 ...

Hauteur `a partir du diam`etre

La pr´evision de la hauteur `a partir du diam`etre fournit des informations utiles et peu coˆuteuses. Il se peut que la relation hauteur–diam`etre diff`ere entre les types d’habitat, les zones de climat, ou l’ˆage des arbres. Nous allons examiner le mod`ele hauteur–diam`etre des arbres en utilisant un mod`ele `a effets mixtes. Commen¸cons par un cas simple, en utilisant seulement la plus ancienne mesure de chaque arbre qui fournit une.

> stage.old <- stage[stage$Decade == 0, ]

Notez que ce code oublie en fait un arbre, mais nous pouvons nous permettre de laisser aller pour cette d´emonstration.

Pour ´etablir une ligne de base de normalit´e, adaptons d’abord le mod`ele en utilisant des moindres carr´es ordinaires.

Nous ˆotons la seule observation de type d’habitat TS/Op. Cela causerait des probl`emes autrement (l’effet de levier se trouverait tr`es ´elev´e).

> hd.lm.1 <- lm(height.m ~ dbhib.cm * HabType.ID, data = stage.old, + subset = HabType.ID != "Ts/Op")

Formellement, je pense qu’il est bon d’examiner les diagnostics du probl`eme sur lequel le mod`ele repose, avant d’exa-miner le mod`ele lui-mˆeme, agissant ainsi d`es que possible, donc en regardant la figure 11.9. Le graphique des r´esidus en fonction des valeurs ajust´ees (en haut `a gauche) semble bon. Il n’y a pas de suggestion d’h´et´erosc´edasticit´e. Le trac´e Quantile-Quantile normal, s’il est un peu tortill´e, semble raisonnablement droit. Il semble y avoir aucun point d’influence marqu´ee (en bas `a gauche ; toutes les distances de Cook sont<1).

> opar <- par(mfrow = c(2, 2), mar = c(4, 4, 4, 1))

> plot(hd.lm.1)

> par(opar)

11.4. ´ETUDE DE CAS 97

20 30 40 50 60

−10−50510

Fitted values

Residuals

Residuals vs Fitted

91

Theoretical Quantiles

Standardized residuals

Normal Q−Q

91

390

468

20 30 40 50 60

0.00.51.01.5

Fitted values

Standardized residuals

●

Standardized residuals

●

Cook's distance

1 0.5 0.5 1

Residuals vs Leverage

91

148 390

Figure 11.9 – Diagnostics de r´egression pour l’ajustement aux moindres carr´es ordinaires du mod`ele hauteur–diam`etre avec les types d’habitat sur les donn´ees Stage.

Bon, apr`es avoir ´et´e jusqu’ici, nous devrions examiner le r´ecapitul´e du mod`ele.

> summary(hd.lm.1) Call:

lm(formula = height.m ~ dbhib.cm * HabType.ID, data = stage.old, subset = HabType.ID != "Ts/Op")

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-10.3210 -2.1942 0.2218 1.7992 7.9437 Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 8.33840 4.64118 1.797 0.0778 .

dbhib.cm 0.58995 0.08959 6.585 1.67e-08 ***

HabType.IDTh/Pach 2.42652 5.78392 0.420 0.6764 HabType.IDAG/Pach 0.29582 5.13564 0.058 0.9543 HabType.IDPA/Pach 0.02604 5.96275 0.004 0.9965 dbhib.cm:HabType.IDTh/Pach -0.03224 0.10670 -0.302 0.7637 dbhib.cm:HabType.IDAG/Pach -0.08594 0.10116 -0.850 0.3992 dbhib.cm:HabType.IDPA/Pach -0.10322 0.11794 -0.875 0.3852

---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 3.551 on 56 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.8748, Adjusted R-squared: 0.8591 F-statistic: 55.89 on 7 and 56 DF, p-value: < 2.2e-16

Par comparaison : les quantit´ezs suivantes sont en m`etres. La premi`ere est l’´ecart-type des mesures de hauteur. La seconde est l’´ecart-type des mesures de hauteur conditionn´ees par les mesures de diam`etreet le mod`ele.

> sd(stage.old$height.m) [1] 9.468042

> summary(hd.lm.1)$sigma [1] 3.551062

Il est ´egalement int´eressant de savoir la quantit´e de variation expliqu´ee par l’information «type d’habitat». Nous pouvons l’´evaluer de la mˆeme mani`ere. Ici nous ne nous inqui´eterons pas des diagnostics, bien que cela dusse ˆetre fait.

> summary(lm(height.m ~ dbhib.cm, data = stage.old, subset = HabType.ID !=

+ "Ts/Op"))$sigma [1] 4.101350

Pas plus ? Effets mixtes

Sur la base de notre connaissance de l’emplacement de forˆets nationales, il est raisonnable de penser qu’il y aura des similitudes entre les arbres qui poussent dans la mˆeme forˆetrelativement `a la la population des arbres.

Toutefois, nous aimerions cr´eer un mod`ele qui ne se fonde pas sur la connaissance de la forˆet, c’est-`a-dire un mod`ele qui puisse raisonnablement ˆetre utilis´e pour les arbres d’autres forˆets. Ceci est acceptable pour autant que nous soyons dispos´es `a croire que l’´echantillon d’arbres que nous utilisons est repr´esentatif des conditions pour lesquelles nous souhaitons appliquer le mod`ele. En l’absence d’autre information, il s’agit d’une question de jugement. Supposons-le pour le moment.

Ensuite, en se fondant sur l’information ci-dessus, la forˆet nationale sera un effet al´eatoire, et le type d’habitat un effet fixe. C’est-`a-dire que nous tenons `a construire un mod`ele qui peut ˆetre utilis´e pour toute forˆet, qui pourrait ˆetre plus pr´ecis s’il est correctement utilis´e dans une forˆet nationale particuli`ere et fournit des estimations uniques pour le type d’habitat. Nous pourrons nous inqui´eter plus tard de l’utilit´e de la connaissance du type d’habitat et si nous voulons l’inclure dans le mod`ele.

Donc, nous avons deux effets al´eatoires : les forˆets nationales et les arbres dans les forˆets nationales. Nous avons un effet fixe de base : diam`etre `a hauteur de poitrine `a l’int´erieur de l’´ecorce, avec d’´eventuels ajouts : l’ˆage et le type d’habitat. Le plus bas niveau d’unit´e dans l’´echantillonnage sera l’arbre, imbriqu´e dans la forˆet nationale.

Il convient de fournir une structure de base `aR. La structure permettra `a Rde cr´eer des diagnostics graphiques utiles plus tard dans l’analyse. Notez qu’il vous suffit d’unrequire() d’un paquetage une fois par session, mais ce ne serait pas de mal de le faire plus souvent. Ici nous les disperserons de fa¸con lib´erale pour vous rappeler quels paquetages vous devriez utiliser.

> require(nlme)

> stage.old <- groupedData(height.m ~ dbhib.cm | Forest.ID, data = stage.old) Maintenant regardons notre mod`ele.

yij =β0+b0i+β1×xij+εij (11.11)

y_ij est la hauteur de l’arbrej de la forˆeti,x_ij est le diam`etre du mˆeme arbre.β<sub>0</sub> etβ<sub>1</sub> sont des param`etres fixes mais inconnus etβ1 sont les ordonn´ees `a l’origine al´eatoires et inconnues. Plus tard nous aimerions savoir si la pente varie aussi avec la forˆet. Ainsi, sous forme matricielle,

Y=βX+bZ+ (11.12)

Yest la colonne des hauteurs d’arbre,Xcelle des diam`etres avec une matrice de 0 et de 1 pour affecter les observations aux diff´erents types d’habitat, `a cˆot´e d’une colonne pour les ˆages, si n´ecessaire.β sera le vecteur des estimations de param`etres.Zsera une matrice de 0 et de 1 pour affecter les observations des diff´erentes forˆets. bsera un vecteur de moyennes pour les forˆets et les arbres dans les forˆets. Enfin, construisonsDcomme matrice identit´e 9×9 multipli´ee par une constanteσ²_h etRcomme matrice identit´e 66×66 multipli´ee par une constanteσ².

11.4. ´ETUDE DE CAS 99

> hd.lme.1 <- lme(height.m ~ dbhib.cm, random = ~1 | Forest.ID, + data = stage.old)

Des fonctions automatiques sont disponibles pour extraire et tracer les diff´erentes pi`eces du mod`ele. Je pr´ef`ere les extraire et choisir mes propres m´ethodes de tra¸cage. Je vous recommande de faire la mˆeme chose. Pour les versions pr´e-programm´ees voir Pinheiro et Bates (2000)[15]. Une rapide rafale de jargon : pour les mod`eles hi´erarchiques il y a plusieurs niveaux de valeurs ajust´ees et de r´esidus. Pinheiro et Bates (2000)[15] adoptent l’approche suivante : les r´esidus et les valeurs ajust´ees les plus externes sont conditionn´es seulement sur les effets fixes, les r´esidus et les valeurs ajust´ees les plus internes sont conditionn´es sur tous les effets, fixes et al´eatoires, et il y a autant de niveaux entre ces deux extrˆemes qui sont n´ecessaire. Ainsi, dans un mod`ele `a deux niveaux comme celui-ci,

– Les r´esidus les plus externes sont ceux calcul´es `a partir des valeurs ajust´ees les plus externes, celles qui sont calcul´ees avec les seuls effets fixes. On y fait r´ef´erence commer₀.

r0=yij−βˆ0−βˆ1×xij (11.13)

– Les r´esidus les plus internes sont ceux calcul´es `a partir des valeurs ajust´ees les plus internes, celles qui sont calcul´ees avec les effets fixes et al´eatoires. On y fait r´ef´erence commer₁.

r1=yij−βˆ0−ˆb0i−βˆ1×xij (11.14) En outre, les effets mixtes nous offrent trois types de r´esidus les plus internes et les plus externes :

1. r´esidushabituels, diff´erence entre observation et pr´ediction ,

2. r´esidusde Pearson, qui sont les r´esidus habituels norm´es par l’´ecart type et

3. r´esidusnormalis´es, qui sont les r´esidus de Pearson pr´e-multipli´es par l’inverse de la racine carr´ee de la matrice de corr´elation estim´ee du mod`ele.

Les hypoth`eses clefs que nous faisons pour notre mod`ele sont que : 1. la structure du mod`ele est correctement sp´ecifi´ee ;

2. les effets al´eatoires sont normalement distribu´es ;

3. les r´esidus les plus internes sont normalement distribu´es ;

4. les r´esidus les plus internes sont homosc´edastiques intra et inter groupes et 5. les r´esidus les plus internes sont ind´ependants intra groupes.

Notez que nous ne faisons aucune hypoth`ese sur les r´esidus les plus externes. Cependant, ils sont utiles pour r´ecapituler les ´el´ements de performance du mod`ele.

Nous devrions construire des graphiques diagnostiques pour v´erifier ces hypoth`eses. Notez que dans certains cas, les hypoth`eses sont ´enonc´ees de fa¸con largement ind´efendable. Par cons´equent, la strat´egie raisonnable est de v´erifier les conditions qui peuvent ˆetre interpr´et´ees dans le contexte du plan d’exp´erience, des donn´ees, et du mod`ele. Par exemple, il existe une infinit´e de fa¸cons o`u les r´esidus les plus internes pourraient ˆetre h´et´erosc´edastiques. Quelles sont les fa¸cons importantes ? La situation la plus susceptible de conduire `a des probl`emes si la variance des r´esidus est une fonction de quelque chose, qu’il s’agisse d’un effet fixe ou al´eatoire.

Plutˆot que de faire confiance `a ma capacit´e d’anticiper ce que les programmeurs entendent par les ´etiquettes, etc., je veux savoir ce qui se passe dans chacun de mes trac´es. La meilleure fa¸con de le faire est de les montrer ici moi-mˆeme.

Pour examiner chacune des hypoth`eses, `a la suite, j’ai construit bloc de graphiques ci-apr`es. Ils sont pr´esent´es dans la figure11.10.

1. Un trac´e des valeurs ajust´ees les plus externes en fonction des valeurs observ´ees de la variable r´eponse. Ce graphique permet un r´ecapitulatif g´en´eral du pouvoir explicatif du mod`ele.

(a) Quelle est la quantit´e de variation expliqu´ee ? (b) Qu’est-ce qui reste ?

(c) Existe t’il un manque d’ajustement quelque part ?

2. Un trac´e des valeurs ajust´ees les plus internes en fonction des r´esidus de Pearson les plus internes. Ce graphique permet un contrˆole de l’hypoth`ese d’une structure de mod`ele correcte.

(a) Y a t’il une courbure ?

(b) Est-ce que les r´esidus sont ventil´es ?

3. Un trac´e quantile-quantile des effets al´eatoires estim´es, pour contrˆoler s’ils sont normalement distribu´es avec une variance constante.

(a) Les points suivent-ils une ligne droite, ou montrent-ils une asym´etrie ou un aplatissement ? (b) Est-ce que les valeurs aberrantes sont ´evidentes ?

4. Un trac´e quantile-quantile des r´esidus de Pearson pour contrˆoler s’ils sont normalement distribu´es avec une variance constante.

(a) Les points suivent-ils une ligne droite, ou montrent-ils une asym´etrie ou un aplatissement ? (b) Est-ce que les valeurs aberrantes sont ´evidentes ?

5. Un trac´e de boˆıtes `a moustaches crant´ees des r´esidus de Pearson les plus internes en fonction de la variable de groupe, pour voir l’aspect de la distribution intra-groupe.

(a) Les crans coupent-ils l’axe horizontal ?

(b) Y-a t’il une direction marqu´ee entre les m´edianes des r´esidus intra-groupes et l’effet al´eatoire estim´e ? 6. Un diagramme de dispersion de la variance des r´esidus de Pearson intra-forˆet en fonction des effets al´eatoires de

forˆet.

(a) Y-a t’il une tendance positive ou n´egative ?

NB :Je n’ai pas tendance `a utiliser toutes les possibilit´es des tests statistiques disponibles pour l’homosc´edasticit´e, la normalit´e, etc., pour les diagnostics. J’aime (Box, 1953)[2] :«... faire des tests pr´eliminaires sur les ´ecarts est un peu comme une mise `a la mer d’un bateau `a rames pour savoir si les conditions sont suffisamment calme pour qu’un paquebot quitte le port».

Nous utilisons le code suivant `a produire figure11.10. Bien sˆur, il n’est pas n´ecessaire de laisser tous les graphiques de diagnostic sur la mˆeme figure.

> opar <- par(mfrow = c(3, 2), mar = c(4, 4, 3, 1), las = 1, cex.axis = 0.9)

> #### Trac´e 1

> plot(fitted(hd.lme.1, level = 0), stage.old$height.m, xlab = "Valeurs ajust´ees (hauteur m)", + ylab = "Valeurs observ´ees (hauteur m)", main = "Structure du mod`ele (I)")

> abline(0, 1, col = "blue")

> #### Trac´e 2

> scatter.smooth(fitted(hd.lme.1), residuals(hd.lme.1, type = "pearson"), + xlab = "Valeurs ajust´ees", ylab = "R´esidus les plus internes", + main = "Structure du mod`ele (II)")

> abline(h = 0, col = "red")

> #### Trac´e 3

> ref.forest <- ranef(hd.lme.1)[[1]]

> ref.var.forest <- tapply(residuals(hd.lme.1, type = "pearson", + level = 1), stage.old$Forest.ID, var)

> qqnorm(ref.forest, main = "Q-Q Normal - Effets al´eatoires de for^et")

> qqline(ref.forest, col = "red")

> #### Trac´e 4

> qqnorm(residuals(hd.lme.1, type = "pearson"), main = "Q-Q Normal - R´esidus")

> qqline(residuals(hd.lme.1, type = "pearson"), col = "red")

> #### Trac´e 5

> boxplot(residuals(hd.lme.1, type = "pearson", level = 1) ~ stage.old$Forest.ID, + ylab = "R´esidus les plus internes", xlab = "For^et nationale",

+ notch = T, varwidth = T, at = rank(ref.forest))

> axis(3, labels = format(ref.forest, dig = 2), cex.axis = 0.8, + at = rank(ref.forest))

> abline(h = 0, col = "darkgreen")

> #### Trac´e 6

> plot(ref.forest, ref.var.forest, xlab = "Effets al´eatoires de for^et", + ylab = "Variance des r´esidus intra-for^et")

> abline(lm(ref.var.forest ~ ref.forest), col = "purple")

> par(opar)

11.4. ´ETUDE DE CAS 101

Structure du modèle (I)

Valeurs ajustées (hauteur m)

Valeurs observées (hauteur m)

●

Structure du modèle (II)

Valeurs ajustées

Résidus les plus internes

●

Q−Q Normal − Effets aléatoires de forêt

Theoretical Quantiles

Sample Quantiles

●

Q−Q Normal − Résidus

Theoretical Quantiles

Sample Quantiles

●

●

Uma Ptte Wall Cd’A Cw Kan StJoe CF NP

−2

−1 0 1 2

Forêt nationale

Résidus les plus internes

−1.030 −0.678 −0.466 −0.308 −0.027 0.327 0.544 0.778 0.858

Effets aléatoires de forêt

Variance des résidus intra−forêt

Figure 11.10 – Diagnostics s´electionn´es pour l’ajustement en effets mixtes du rapport hauteur/diam`etre selon le type d’habitat et la forˆet nationale sur les donn´ees Stage.

Tous les les diagnostics de r´esidus semblent bons.

Acceptons le mod`ele tel qu’il est pour le moment et examinons le r´ecapitulatif num´erique (cf. section11.3pour les d´etails de ce qui suit).

> summary(hd.lme.1)

Linear mixed-effects model fit by REML Data: stage.old

AIC BIC logLik

376.6805 385.2530 -184.3403 Random effects:

Formula: ~1 | Forest.ID (Intercept) Residual StdDev: 1.151405 3.937486

Fixed effects: height.m ~ dbhib.cm

Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) 6.58239 1.7763571 55 3.705556 5e-04 dbhib.cm 0.57036 0.0335347 55 17.008062 0e+00

Correlation:

(Intr) dbhib.cm -0.931

Standardized Within-Group Residuals:

Min Q1 Med Q3 Max

-1.91215622 -0.70233393 0.04308139 0.81189065 1.99133843 Number of Observations: 65

Number of Groups: 9

1. Ici, nous avons l’ensemble des param`etres d’ajustement du mod`ele, y compris la log-vraisemblance (on se souvient que c’est la quantit´e `a maximiser pour obtenir l’ajustement), et les statistiques AIC et BIC. Les effets fixes sont d´etermin´es par la log-vraisemblance, de sorte que cette derni`ere n’est fonction que des donn´ees et de deux param`etres :σ_h² etσ².

2. La formule nous rappelle ce que nous avons demand´e : que la forˆet est un effet al´eatoire, et qu’une unique ordonn´ee `a l’origine doit ˆetre ajust´ee pour chaque niveau de forˆet. Les racines carr´ees des estimations des deux param`etres sont ´egalement pr´esentes.

3. Une autre mesure de qualit´e du mod`ele est la RMSE, qui est l’estimation de la d´eviation standard des r´esidus de la r´eponse subordonn´es aux seuls effets fixes. Notez que 3.94 n’est pas la RMSE, c’est plutˆot une estimation de l’´ecart-type des r´esidus de la r´eponse subordonn´es aux effets fixes et al´eatoires. L’obtention d’une RMSE est relativement facile parce que les effets al´eatoires et les r´esidus sont suppos´es ˆetre ind´ependants.

RMSE = q

σ_h²+σ²= 4.1

La derni`ere mesure de qualit´e du mod`ele que l’on peut obtenir ici est la corr´elation intra-classe. C’est la variance de l’effet al´eatoire divis´ee par la somme des variances des effets al´eatoires et des r´esidus.

ρ= σ²_h

σ²_h+σ² = 0.0788

ainsi environ 7,9% de la variation en hauteur (celle qui n’est pas expliqu´ee par le diam`etre) est expliqu´ee par la forˆet. C’est pas beaucoup.

4. On a maintenant un rappel du mod`ele `a effets fixes et leur estimation. Plusieurs colonnes donnent : (a) la valeur de l’estimation,

(b) son erreur standard (non identique ici `a cause du manque d’´equilibrage), (c) le degr´e de libert´e (simplement myst´erieux pour de multiples raisons),

(d) la valeur de t associ´ee au test de significativit´e de l’hypoth`ese nulle contre l’hypoth`ese alternative (non nulle), qui ne veut pas dire grand chose pour ce mod`ele et

(e) la valeur p associ´ee `a ce test d´eraisonnable.

5. La matrice de corr´elation des estimations des effets fixes. Elle est estim´ee `a partir de la matrice du plan d’exp´ e-rience. Elle est issuede la matrice de covariance des effets fixes qui peut ˆetre estim´ee par

(X⁰V⁻¹X)⁻¹

6. Information sur les r´esidus intra-groupe. Sont-ils sym´etriques ? Y-a t’il des valeurs aberrantes ´evidentes ? Ces valeurs sont `a comparer avec ce que l’on sait d’une distribution normale standard, avec une m´ediane autour de 0, le premier quartile `a -0.674 et le troisi`eme `a 0.674.

7. Et enfin, la confirmation que l’on a le nombre correct d’observations et de groupes. C’est une conclusion utile `a tirer ; elle nous confirme d’avoir ajust´e le mod`ele que nous pensions !

Un r´ecapitul´e explicatif de la puissance du mod`ele peut ˆetre obtenu par :

> anova(hd.lme.1)

numDF denDF F-value p-value (Intercept) 1 55 2848.4436 <.0001 dbhib.cm 1 55 289.2742 <.0001

11.4. ´ETUDE DE CAS 103 Conception plus pouss´ee

Nous allons maintenant traiter les donn´ees hauteur/diam`etre du Grand fir de Stage (1963) d’une mani`ere diff´erente.

Nous avons en fait de nombreuses mesures de hauteur et diam`etre pour chaque arbre. Cela semble du gaspillage d’utiliser seulement le plus grand. Nous allons toujours supposer que les forˆets nationales repr´esentent diff´erentes sources s´electionn´ees pour leurs variations climatiques, et que le type d’habitat repr´esente un traitement choisi au

Nous avons en fait de nombreuses mesures de hauteur et diam`etre pour chaque arbre. Cela semble du gaspillage d’utiliser seulement le plus grand. Nous allons toujours supposer que les forˆets nationales repr´esentent diff´erentes sources s´electionn´ees pour leurs variations climatiques, et que le type d’habitat repr´esente un traitement choisi au

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