Données récoltées sur le terrain

Conforme Mingoti (2005), as componentes principais através da matriz de correlação Ppxp das variáveis Xi originais, i = 1,2,...,p.

Seja Zi = (Xi - µi)/i, onde E(Xi) = µi e Var (Xi) = i2, i = 1,2,...,p. Com médias µi

e variância i2. A matriz Ppxp, é a matriz de covariâncias das variáveis Zi. A técnica

de componentes principais (CPs) é aplicada à matriz Ppxp, as CPs construídas serão

combinações lineares das variáveis Xi padronizadas.

Os autovalores da matriz por 1  2  ... p e os correspondentes autovetores normalizados por e1, e2 ,..., ep, onde ei = [ei1 ei2 ... eip]’.

Então, a j-ésima componente principal da matriz Ppxp, i = 1,2,...,p é definida

por:

Yj = ej`Z = ej1 Z1 + ej2 Z2 + ... + ejp Zp

Sendo que a variância de Yj é igual a j, j = 1,2,...,p, e a covariância entre Yj e Yk é igual a zero, para qualquer j  k.

Os coeficientes das componentes principais obtidos através da decomposição da matriz Ppxp não são numericamente iguais aos coeficientes obtidos através da

matriz de covariâncias pxp. Em termos de variância total explicada, quando se utiliza

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mesma quantidade de variância total obtida utilizando-se a matriz pxp (MINGOTI,

2005).

A análise de componentes principais pela matriz de correlação produz combinações lineares mais equilibradas entre si relativas a da percentagem de variância explicada. Cada componente tem um significado próprio e relevante, o que faz a variância total seja melhor distribuída entre as componentes, evitando-se a dominância por uma ou outra variável, ao contrário do que ocorreu na análise pela matriz de covariâncias que resultou em componentes menos informativas (MINGOTI, 2005).

Quando a matriz de correlação é utilizada para extração das componentes principais, a variância total é igual ao número de variáveis originais p.

Existem muitos exemplos na literatura que se utilizam da técnica da ACP. A título de ilustração, destacam-se as seguintes:

2.5.2.1 Redução de dimensionalidade

A análise de componentes principais (também conhecida na teoria da comunicação como a transformação de Karhumen-Loève) maximiza a taxa de redução da variância. Da perspectiva de reconhecimento estatístico de padrões, o valor prático da análise de componentes principais é que ela fornece uma técnica efetiva para redução de dimensionalidade. Em particular, podemos reduzir o número de características necessárias para a representação efetiva de dados descartando

aquelas combinações lineares da que têm variâncias pequenas e retendo apenas aqueles termos que têm variâncias grandes (HAYKIN, 2001).

Segundo Zimmerman et al. (2008), a ACP pode ser considerada como uma técnica de compressão, permitindo reduzir a dimensionalidade da matriz de dados que resulta num menor número de componentes principais que explica a maioria das variâncias dos dados de origem, sem perda relevante de informação.

Pinto et al. (2013) afirmam que a utilização de um grande número de indicadores de qualidade de água torna oneroso o monitoramento dos corpos hídricos a longo tempo. Nesse sentido, a Análise de Componentes Principais (ACP) pode ser considerada como uma técnica promissora de grande auxílio na gestão dos

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recursos hídricos, pois permite diminuir a dimensionalidade dos dados, facilitando a sua análise.

Bollmann e Marques (2000) empregaram a ACP para avaliar os resultados analíticos obtidos na associação entre as variáveis e na escolha dos parâmetros ambientais mais significativos.

Pimentel (2011) comparou a utilização ou não da ACP na melhoria da eficiência na modelagem de redes neurais do tipo Perceptron Multicamadas (MLP) e Funções de Base Radial (RBF). Observou que o teste da rede RBF com ACP, com os dados do reservatório Marcela-SE, foi a melhor para representar a inferência da clorofila-a, porém no segundo teste, com os dados dos reservatórios das Bacias de Pernambuco, foi a rede MLP com ACP quem melhor determinou.

2.5.2.2 Seleção de variáveis

Segundo Haykin (2001), um problema comum em reconhecimento de padrões é a seleção das características ou extração de características. A seleção de características se refere a um processo que, em teoria, tem exatamente a mesma dimensão que o espaço original de dados.

Em muitos estudos avaliamos um grande número de variáveis p, mas poderíamos ter mensurado apenas um número k menor delas que teríamos virtualmente a mesma quantidade de informação contida no conjunto todo (FERREIRA, 2011).

Conforme Mingoti (2005), a análise de componentes principais pode também ser utilizada como método de seleção de variáveis. De cada componente Yi, pode

selecionar mi variáveis que aparecem com maiores coeficientes, em valor absoluto.

Ceballos e Bastos (1998) monitoraram três reservatórios nordestinos, no Estado da Paraíba, e aplicaram a técnica de Análise de Componentes Principais (ACP), concluindo que as principais influências antropogênicas deste ecossistema eram despejos de esgotos domésticos e escoamento da agricultura e de pasto, podendo inferir que os sete parâmetros de qualidade utilizados não foram suficientes para delinear o estado trófico e sanitário desses ecossistemas.

Simões (2007) relata que o emprego da ACP distingue quais parâmetros provocam maior impacto em cada ponto de coleta e mostrou-se promissor para escolha das variáveis ambientais.

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2.5.2.3 Classificação

Segundo Mingoti (2005), muitas são as situações que se tem um conjunto de dados e se busca uma divisão desses dados em grupos, de modo que os grupos tenham coesão interna e sejam heterogêneos entre si.

Conforme Liu, Chen e Dong (2011), a ACP tem sido amplamente utilizada como uma técnica de extração de características para aplicações de avaliação da condição.

2.5.2.4 Construção de Índices

De acordo com Mingoti (2005), muitas vezes, coletam-se diversas variáveis que descrevem um fenômeno, com o intuito de construir algum índice específico relativo à sua quantificação. A função básica do índice é de sintetizar em uma única variável a informação de todas as variáveis que foram medidas sobre o fenômeno, sendo que seus valores podem ser analisados por métodos de estatística univariada. As técnicas estatísticas como análise de componentes principais, análise fatorial e análise de correlações canônicas são úteis na construção desses índices. Muitas vezes, os índices representam medidas de qualidade ou desempenho.

Segundo Simões et al. (2007), o índice elaborado a partir da análise estatística multivariada (AEM) é mais restrito do que o índice da "National Sanitation Foundation" (NFS) rotineiramente usado para inferir a qualidade da água.

Segundo Nunes et al. (2003), a aplicação da ACP permitiu caracterizar os diferentes pesos de cada um dos indicadores no cálculo do índice de qualidade de água (IQA), permitindo assim a geração de um IQA específico para as condições do Serra da Mantiqueira.

Mingoti et al. (1998a) construiram um índice de qualidade de água para bacia do rio Piracicaba e parte do médio rio Doce usando informações de variáveis físico- químicas e biológicas como oxigênio dissolvido, pH, condutividade elétrica, clorofila

a, número de espécies distintas, índice de riqueza, densidade de organismos etc.

Várias estações de amostragem são alocadas ao longo da bacia e amostras de água são coletadas em determinados períodos. Através da construção dos índices de qualidade, foi possível avaliar quais regiões da bacia apresentavam águas de melhor qualidade. Além disso, através de métodos de regressão linear multivariada,

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foi possível avaliar a existência de relação dos índices de qualidade com a localização das estações, com a época da coleta de dados, como o mês do ano e a estação de seca e de chuva, com o tipo de atividade desenvolvida nas imediações da estação de amostragem (siderurgia, reflorestamento, esgoto urbano, mineração etc.) e outros fatores de interesse.

Pinto et al. (2013) propuseram um índice de qualidade de água (IQA) para a região das nascentes do Rio Grande, em duas situações de uso do solo (uma sub- bacia sob a Mata Atlântica e outra predominantemente sob pastagem) na Serra da Mantiqueira, Minas Gerais. Os indicadores com maiores pesos, segundo a ACP, foram os Coliformes totais, nitrato, Coliformes termotolerante, demanda química de oxigênio e temperatura. A sub-bacia sob Mata Atlântica apresentou os melhores resultados de IQA, denotando a importância desse tipo de ambiente na manutenção da qualidade da água dos mananciais na região da Serra da Mantiqueira.