Données non binaires

2.1.3.1 Ensemble étendu d’attributs

Depuis l’adoption des treillis de concepts comme un outil d’analyse de données, leur cadre théorique a fait l’objet de nombreuses extensions dont l’intérêt consiste à remplacer les descriptions binaires des individus (conjonction d’attributs binaires) par d’autres formes de descriptions plus expressives. Le but est de pouvoir traiter des données concrêtes telles que celles de type objet-attribut-valeurs issues des bases de données et de la modélisation des problèmes concrets.

Ainsi, beaucoup de travaux (Diday et Emillion, 1997; Girard, 1997; Kent, 1996) ont émergé explorant les possibilités de traduire les différents types de données en variables binaires, notamment ceux basés sur les échelles conceptuelles (Ganter et Wille, 1999). D’autres travaux ont reconsidéré la définition même de certaines constructions fondamentales de la théorie des treillis, telles que la correspondance de Galois, dans le cas où les objets admettent des

structures complexes, éventuellement floues (Girard, 1997), probabilistes (Diday et Emillion, 1997) ou ensembles bruts (Kent, 1996). En AFC, les attributs non binaires (e.g., numériques, ordinaux, catégoriques, etc.) sont formulés à travers des contextes pluri-valués (Ganter et Wille, 1999).

Définition 22 (contexte pluri-valué) Un contexte pluri-valué est un quadrupletK = (O,A,V,I) où O et A sont des ensembles d’objets et d’attributs respectivement, V est un ensemble de valeurs, et I ⊆ O × A ×V est une relation ternaire ayant des tuples sous la forme (o,a,v) qui signifie “l’objet o a la valeur v pour l’attribut a”.

La Table 2.1 montre un contexte pluri-valué, appelé Humain. Il est composé de six objets (1, 2, . . ., 6) représentant des individus et deux propriétés, âge et travail exprimant, respectivement, l’âge et le nombre d’années d’expérience de chaque individu.

o1 o2 o3 o4 o5 o6

âge 25 28 22 26 33 35

travail 4 2 1 8 4 10

Tableau 2.1: Contexte pluri-valué Humain.

Dans le but de traiter un contexte pluri-valuéK = (O,A,V,I), celui-ci est d’abord transformé en un contexte mono-valué (binaire) équivalentK d _{appelé aussi le contexte dérivé. Pour ce}

faire, l’AFC possède une technique, appelée “scaling”, que nous allons décrire dans la section suivante.

2.1.3.2 Scaling conceptuel

D’une manière générale, il n’y a pas un moyen “automatique” pour dériver des structures conceptuelles à partir de contextes pluri-valués. La première approche qui consiste à dériver

des treillis à partir de ce genre de contextes a été proposée par Ganter et al. dans (Ganter et al., 1986). Dès lors, une grande variété d’applications s’est appuyée sur cette méthode notamment

celles qui traitent des données brutes en provenance des bases de données (Prediger, 1997). Le scaling conceptuel (Ganter et Wille, 1999) fournit un cadre théorique complet pour la transformation de n’importe quel contexte pluri-valué en un contexte binaire équivalent. En effet, le processus de scaling associe à chaque attribut pluri-valué un contexte binaire appelé échelle conceptuelle.

Échelle

Définition 23 (Échelle) Une échelle pour un attribut a d’un contexte pluri-valué donné est un contexte mono-valuéKa= (Va,Pa,Ia)où les objets formels Vasont les valeurs de l’attribut

a tandis que les attributs formels Pasont des propriétés distinguées de ces valeurs. Les objets

de l’échelle sont appelés valeurs de l’échelle alors que les attributs sont appelés attributs de l’échelle.

Quelques contextes élémentaires sont souvent utilisés comme des échelles. Nous citons à titre illustratif l’échelle nominale, ordinale, biordinale et dichotomique (Ganter et Wille, 1999). Par exemple, l’échelle nominale, notéeNn= (n,n,=), est utilisée avec les attributs pluri-valués

dont les valeurs s’excluent mutuellement. Un attribut pluri-valué pouvant avoir les valeurs masculin, féminin ou neutre doit subir un scaling nominal. Ainsi les extensions des concepts définissent une partition de l’ensemble d’objets de l’échelle tel que illustré à droite de la Figure 2.2.

Contextes dérivés par des échelles conceptuelles À chaque échelle correspondant à un attribut a est associé un contexteKa= (Va,Pa,Ja)où les valeurs vi de l’attribut a sont les

24 1 2 3 4 1 X 2 X 3 X 4 X

1.1. FONDEMENTS DE L’AFC

17

≤ 1 ≤ 2 ≤ 3 ≤ 4 ≥ 5 ≥ 6

1

X

X

X

X

2

X

X

X

3

X

X

4

X

5

X

X

X

6

X

X

X

Tab. 1.4 – ´Echelle biordinale

_M

4,2

.

 †    ƒ  … E† > >ƒ  … † ) ) ) ) )  ) ) ) ) ) ƒ ) ) ) ) ) … ) ) ) ) )  †    ƒ  …  € n‚ † ) ) ) )  ) ) ) ƒ ) ) … ) € ) ) ) ‚ ) ) ) ˆ "Š‰Š‹ ‰ Œ * ,-.0/%132 ‘ 4A@ 5CBEDFDGBSLFNeBI?H0IKJMLFNO"DGB y T98;: <=K> 132 ‘ 4 @ 5BEDFDGBELZHMIKJ0LFNO"DGB yw T

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ilxmh^€~ ^Gakg–ol+e(lrbfkgh{ˆ^Ga}d(l# _gsl ^Gaci _ux Q d` bF‹l:tk_:mhfkl+asdA~jfkd(fkl+mnmhlF~xlFa}d‹ l?s  `f_g
sl gn~xqkmhg/|sfl _g
sl ‹ lns  `f _ux Q d` gn~xqkmhgh|}fkl _u
x Q d` ‰]lAekwl+b(fkmnd<^ˆdul+bdfka /93< .U!)Š$E›* ikl{@^7mnl+fke?bT^@{sl+_ '(1"99" $E›* ‰  § '.¨›1U1" UU'<¨! .!%$ -2 p ' H W m  L 1 n Lm  L 1 n Y L H 2 #m–‡wl_?klFmhmhlig/_?k`Gd<`7~xgh|}fkl€l+bdrfa‘_F^sbjq^7ed<gh_Ffkmhgnl+eLif†~r`s~xlFa}d `of l+mnmhl-lbdrghb(`7~x`7e<qkkg/|}fkl-^Gfkt l_?klFmhmnlbw & l:d h i  l:d lFd(e<`7gnd(l+~rl+a}djmngFww l+l•o^ ^  ‰…Rmhmnll+bd+‹4b(`7f{7lFa}d‹fd<gnmhghbkwl+l qc`sfkejm/^

d(e?^Gacb‚„`se(~ ^ˆd<gn`sa€ilbp^ˆd(d(e<gnkfkd<bpqkmhfke<g {ˆ^GmhfuwlbTikf ’slFake<l

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_:`se(e<l+b(qC`7aik^7a}dxo^Nfka ^ˆd(d(e<gnfdNbXlbdj^sb(b(`_:g:wljfkaƒ_F`7a}d(lFtBd(l F ± H WKO ± L´ ± L65 ± Y0`ofmnlb{ˆ^GmhlFfke?b

d87Žil m–‡^ˆdd<e(ghkfd b†b`sa}dxmhl+b-`7vlFd<br‚„`7e<~xlFm/bxd<^7aig/b |}fkl mnlb qke<`7qke<g:wl:dkwl+bjl+b<bl+asd<gnl+mnmhl+bilX_:lbx{@^7mnl+fke?b ilF{BghlFakakl+a}d-mnlb

^ˆd(d(e<gnfd<bu‚„`se(~xl+mhbb:9

;

‰

o

 d<gd<e(lLi‡lFtlF~xqkmhl7‹ik^7abumhl+b l_?ol+mnlby`se<ikgna^7mnlbF‹Bmhl+bpqe(`sqke(gFww lFdkwlbyb(`7a}dil+bqkekwl+ig/_F^Gd<buqClFe<~rlFdd?^Ga}d

ilŽ_F`7~xq^Ge<lFeumhl+bu{ˆ^GmhlFfe<bŽo^rfkaklŽ_F`7abd<^7a}d(lAik^Gab#i`7~ ^Gghakl W„lFtlF~xqkmhl7‹j™<^G’7lc (

š

Y…‰

]l+brwl+_?kl+mnmhl+b[_F`7e<e(lbqC`7acilFa}dR^Gft ig^#wlFe<lFa}d(lb[ign~xl+abgh`7acbRilm/^Žilb(_Fe(ghqd(gh`7a il#m‡`7vlFd[‚„`7e<~xlFm–‰# b<b(lFa}d(ghlFmhmnl+~xlFa}d+‹Gfakl

w

l_?klFmhmnlriTwl_:e<gdAi‡faklL~ ^7akgolFe<ljkg:wlFe?^Ge?_?kg/|}fklŽil+bA^7bd<e<^s_…d<gn`sab#fkd(ghmnlb0i‡fkalxikgn~xlFacbgh`7aŒi`7akauwl7‹ ^GqkqClFmFwl+l+b

a[g
hai`kjl?ftv`

Fig. 1.6 –

De gauche `a droite : les treillis d´eriv´es `a partir de

_N

4

,

O

n

,

I

4

,

M

4,2

.

ordinales, les propri´et´es sont des pr´edicats permettant de comparer les valeurs `a une

constante dans domaine (exemple, “age

_{≥ 20”).}

Les ´echelles correspondent aux diff´erentes dimensions de la description de l’objet

formel. Essentiellement, une ´echelle d´ecrit d’une mani`ere hi´erarchique des abstrac-

tions utiles d’une dimension donn´e, appel´ees concepts de l’´echelle. Ces abstractions

correspondent `a des sous-ensembles de valeurs du co-domaine de l’attribut a (par

exemple,“age

_{≥ 20 et ≤ 27”), not´es cod(a) = V}

a

. Par la suite, nous allons noter

l’extension de l’attribut de l’´echelle a

s_j

, en terme de valeurs, par a

s_j0

.

1.1.3.2.9

Treillis de l’´echelle : Le treillis de l’´echelle

_L

a

qui correspond au

contexte

_K

a

permet un regroupement des valeurs de l’attributs en sous-ensembles

significatifs. Les concepts ´echelle dans

_L

a

repr´esentent les sous-ensembles de valeurs

de a. Dans le cas ou la cardinalit´e de l’ensemble cod(a) est ´elev´ee (cas des valeurs

d’une colonne dans une base de donn´ees), le treillis

_L

a

peut ˆetre difficile `a obtenir

d’une mani`ere directe, c’est `a dire, `a partir de

_K

a

. Toutefois, la relation d’inclusion

entre les extensions des diff´erents attributs de l’´echelle peut ˆetre utilis´e pour restaurer

la structure de

_L

a

. Dans ce cas particulier, le contexte formel utilis´e est

K

_af

=

(P

a

, P

a

,≤

f

), o`u a

s_j

≤

f

a

s_l

si et seulement si a

s_j0

⊆

f

a

s_l0

.

Exemple : La Figure 1.7 pr´esente des treillis ´echelles pour les attributs pluri-

valu´es ˆage et experience de travail correspondant au contexte Humain. Les seuils 27

Tableau 2.2: Gauche : Échelle nominaleN4. Droite : Le treillis associé (Adapté de (Ganter et

Wille, 1999)).

objets formels tandis que les propriétés essentielles de ces valeurs deviennent les attributs formels ad

j. À titre d’exemple, dans les échelles ordinales, les propriétés sont des prédicats

permettant de comparer les valeurs à une constante dans un domaine (exemple, “age ≥ 20”). Les échelles correspondent aux différentes dimensions de la description de l’objet formel. Essentiellement, une échelle décrit d’une manière hiérarchique des abstractions utiles d’une dimension donnée, appelées concepts de l’échelle. Ces abstractions correspondent à des sous- ensembles de valeurs du co-domaine de l’attribut a (par exemple,“âge ≥ 20 et ≤ 27”), notés cod(a) = Va. Par la suite, nous allons noter l’extension de l’attribut de l’échelle ad_j, en terme

de valeurs, par ad j0.

Treillis de l’échelle Le treillis de l’échelleL_aqui correspond au contexteK_apermet un regroupement des valeurs de l’attribut en sous-ensembles significatifs pour l’utilisateur. Les concepts échelle dansLa représentent les sous-ensembles de valeurs de a. Dans le cas où

la cardinalité de l’ensemble cod(a) est élevée (cas des valeurs d’une colonne dans une base de données), le treillis La peut être difficile à obtenir d’une manière directe, c’est à dire, à

partir deKa. Toutefois, la relation d’inclusion entre les extensions des différents attributs de

l’échelle peut être utilisée pour restaurer la structure deLa. Dans ce cas particulier, le contexte

25

Exemple :La Figure 2.4 présente des treillis échelles pour les attributs pluri-valués âge et ex- perience de travail correspondant au contexte Humain. Les seuils 27 et 5 ont été arbitrairement choisis pour les attributs âge et travail respectivement.

dhg

_

`ba[c`ded `

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F H

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š

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š

‚ ^Ggnd

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7 ‰‘aŒ`7kvl:d²ail F `sd(ghlFa}d²b 9 7 _?^7|}fklL‚„`7g/bA|}fkl

Figure 2.4: Échelles pour âge et expérience de travail suivant la Table 2.1.

Scaling Le but de tout processus de scaling en AFC est l’obtention, à partir d’un contexte pluri-valuéK = (O,A,V,I), le contexte formel dérivé Kd _{ayant les mêmes objets que le}

contexte de départ et des attributs en provenance de différentes échelles représentant des propriétés “significatives”. Le mot “significatives” fait référence à l’interprétation des données qui ne peut être établie que par un expert du domaine. Cette interprétation est toujours faite dans un but et fondée sur des considérations théoriques (Prediger, 1997).

Le principe du scaling conceptuel consiste à affecter à chaque attribut pluri-valué a ∈ A une échelle conceptuelleKaqui est un contexte formel mono-valuéKa= (Va,Pa,Ia). Ainsi, pour

chaque objet, la valeur de l’attribut non binaire a est remplacée par un ensemble de valeurs binaires, ad_i. Un objet o deK obtient ad

i chaque fois que adi inclut la valeur de a dans o. Le

résultat est un contexte dérivéK d _{qui peut être considéré comme étant une concaténation}

(une apposition comme dans (Ganter et Wille, 1999)) d’un ensemble de contextesK d

a , un par

attribut pluri-valué. À partir du contexte dérivé, on peut construire le treillis de concepts de manière classique comme en (Wille, 1982). Le treillis du contexte dérivé est considéré comme étant la structure conceptuelle du contexte pluri-valué.

du contexte Humain de la Table 2.1 en utilisant les échelles conceptuelles présentées dans la Figure 2.4.

Construction du treillis par scaling Le treillis Ld associé au contexte dérivéK d peut être obtenu directement à partir de ce contexte en utilisant n’importe quelle procédure usuelle de construction de treillis. Il est évident que la forme exacte du treillisLd_{dépend des échelles}

choisies pour les différents attributs muti-valués. Par exemple, le treillis du contexte dérivé Humand _{est donné à droite de la Figure 2.2.}

Un autre intérêt des échelles conceptuelles réside dans la possibilité de les utiliser pour la visualisation des treillis, en particulier ceux de grande taille (comme dans le système TOSCANA (Vogt et Wille, 1994)). De plus, le treillis Ld peut être obtenu directement à partir des treillisLd

a associés aux différents attributs pluri-valués du contexte initialK en

utilisant une version légèrement modifiée de l’algorithme ASSEMBLERdécrit dans (Valtchev et Missaoui, 2000). Par exemple, dans le cas du contexte dérivé Humaind_{, les correspondances}

entre les treillis échelles de ses attributs pluri-valués age et travail (voir Figure 2.4) et le treillisLd_{qui lui correspond (voir Figure 2.2, à droite) sont faciles à établir.}

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