Domaine de validité

Afin de présenter un domaine de validité pour chacune des deux hypothèses utilisées pour le calcul des champs propagés, nous nous intéressons au rayonnement d’une distribu- tion gaussienne définie dans le plan z = 0, c’est-à-dire à la propagation d’un faisceau gaus- sien dont l’expression exacte est donnée par la relation intégrale (1.34). Cette expression est évaluée numériquement et est comparée avec les expressions analytiques (1.41) et (1.49). L’erreur entre la méthode de référence numérique et une formulation analytique est définie par :

∆(r) = kEref(r) − Etest(r)k (1.58)

On jugera que cette erreur est satisfaisante à la distance r = r∆lorsque∆ sera inférieur à −60

dB avec MaxkErefk = 0 dB :

r_∆ tel que ∆(r) < −60dB (1.59)

Afin de présenter des conclusions indépendantes de la fréquence, on normalise les ré- sultats par rapport à la longueur d’ondeλ. Plusieurs types de faisceaux sont définis par des ceintures circulaires "étroites" formant des faisceaux très divergents (telles que kW0< 2π)

jusqu’à des ceintures "larges" et peu divergents (telles que kW0> 2π). Les ceintures sont dé-

finies sans perte de généralité sur le plan initial en z = 0 par zW0,x= zW0,y= 0.

Sur les figures (1.10à1.16), nous avons représenté la composante principale d’un faisceau gaussien circulaire avec différentes demi-largeurs de ceinture telles que kW0= π, 2π, 4π, 8π

et introduites dans la matrice de courbure suivante :

Q(0) =   2 j kW2 0 0 0 _{j kW}2 2 0   (1.60)

On représente pour chacune de ces figures les erreurs entre le calcul numérique et les formu- lations analytiques paraxiale et champ lointain.

FIG. 1.10: Amplitude d’un faisceau gaussien propagé dans le plan xOz. Référence calculée numériquement à partir de l’équation intégrale du spectre d’ondes planes

(1.34). Faisceau circulaire, kW0= π.

FIG. 1.11: Différence absolue (en dB) entre la référence et la formulation paraxiale (1.41) (à gauche) et entre la référence et la formulation champ lointain (1.49) (à droite).

Faisceau circulaire, kW0= π.

Lorsque la demi-largeur du faisceau est faible, on constate que le faisceau est très di- vergent. La formulation analytique paraxiale donne de bons résultats uniquement dans le cône de paraxialité. La formulation analytique champ lointain correspond au champ exact à quelques longueurs d’ondes du centre du faisceau.

FIG. 1.12: Amplitude d’un faisceau gaussien propagé dans le plan xOz. Référence calculée numériquement à partir de l’équation intégrale du spectre d’ondes planes

(1.34). Faisceau circulaire, kW0= 2π.

FIG. 1.13: Différence absolue (en dB) entre la référence et la formulation paraxiale (1.41) (à gauche) et entre la référence et la formulation champ lointain (1.49) (à droite).

Faisceau circulaire, kW0= 2π.

À mesure que l’on augmente la taille du faisceau, l’approximation paraxiale donne de meilleurs résultats, contrairement à l’approximation champ lointain dont le domaine de va- lidité s’éloigne du centre du faisceau.

FIG. 1.14: Amplitude d’un faisceau gaussien propagé dans le plan xOz. Référence calculée numériquement à partir de l’équation intégrale du spectre d’ondes planes

(1.34). Faisceau circulaire, kW0= 4π.

FIG. 1.15: Différence absolue (en dB) entre la référence et la formulation paraxiale (1.41) (à gauche) et entre la référence et la formulation champ lointain (1.49) (à droite).

FIG. 1.16: Amplitude d’un faisceau gaussien propagé dans le plan xOz. Référence calculée numériquement à partir de l’équation intégrale du spectre d’ondes planes

(1.34). Faisceau circulaire, kW0= 8π.

FIG. 1.17: Différence absolue (en dB) entre la référence et la formulation paraxiale (1.41) (à gauche) et entre la référence et la formulation champ lointain (1.49) (à droite).

Faisceau circulaire, kW0= 8π.

Lorsque la demi-largeur du faisceau est grande, le faisceau est très peu divergent. Dans ce cas de figure, l’erreur avec l’expression analytique paraxiale est très faible. Au contraire, plus le faisceau est large, plus le domaine de validité de la formulation champ lointain est éloigné.

Synthèse. Les formulations des faisceaux gaussiens généralisés offrent une écriture plus compacte des champs ainsi que la description de tous les faisceaux gaussiens classiques. La validité de chacune des deux formulations généralisées dépend essentiellement de la demi- largeur du faisceau au niveau de la ceinture. Pour des faisceaux étroits (kW0< 2π), la for-

mulation champ lointain donne de très bons résultats au-delà d’une vingtaine de longueur d’ondes. À mesure que la largeur du faisceau augmente, la distance r_∆nécessaire pour que l’approximation champ lointain soit justifiée augmente également. En se basant sur le critère

de justification de l’approximation champ lointain pour des ouvertures (zone de FRAUNHO-

FER), la distance minimale d’observation doit être supérieure de 2D2/λ où D représente le diamètre de l’ouverture. Par conséquent, la distance minimale pour un faisceau gaussien de demi-largeur W0doit être supérieure à 5

kW2 0

2 , soit 5z0.

La formulation paraxiale donne de meilleurs résultats à mesure que la taille de la ceinture augmente. Il est généralement admis que la formulation paraxiale donne de bons résultats au voisinage de l’axe de propagation pour kW0> 2π (soit une largeur W0= λ ou angle de diver-

gence d’environ 20 degrés)[64]. D’une manière générale, la zone de validité de l’approxima- tion paraxiale est contenue dans le cône d’angle arctan(2/(kW0)).

Ces résultats sont illustrés schématiquement sous la forme d’une abaque sur la figure (1.18).

FIG. 1.18: Abaque schématique des zones de validité des formulations paraxiales (1.41) (rouge) et champ lointain (1.49) (bleu).

Enfin, les fronts d’onde des faisceaux ne sont pas équivalents selon les formulations uti- lisées. Le front d’onde d’un faisceau gaussien dans la formulation paraxiale est quadratique tandis qu’il est sphérique pour la formulation champ lointain. Par conséquent, à grande dis- tance (zone en rose), l’utilisation de la formulation paraxiale peut engendrer des erreurs de phase importantes dès que l’on s’éloigne de l’axe de propagation.

III Faisceaux gaussiens conformes

Dans cette section, nous rappelons les principales caractéristiques des faisceaux gaus- siens conformes introduit dans [64].

Comme nous le verrons au chapitre 3, il existe plusieurs techniques permettant de dé- composer une distribution de champ en un ensemble de faisceaux gaussiens. Parmi ces tech- niques, la décomposition multi-faisceaux gaussiens introduite par [64] permet de décompo- ser des champs électromagnétiques définis sur des surfaces modérément courbes à l’aide des faisceaux gaussiens généralisés de la section précédente. Le domaine d’application de la dé- composition multi-faisceaux gaussiens est limité à une incidence modérée du champ sur la surface courbe initiale, typiquement de l’ordre de 30 degrés et ne convient également pas à des surfaces trop courbes (cf. Figure1.19).

FIG. 1.19: Illustration d’une problématique liée à des radômes de pointe effilés. P est le vecteur de Poynting du champ émis par l’antenne au point M et ˆnla normale locale sortante à la surface au point M . La décomposition multi-faisceaux gaussiens est valide

lorsque l’angle entre ces deux vecteurs reste modéré, c’est-à-dire inférieur à 30 degrés.

Un nouveau type de faisceau gaussien a été défini pour surmonter cette limitation. Contrai- rement aux faisceaux gaussiens généralisés qui sont définis à partir d’un champ gaussien sur un plan, les faisceaux gaussiens conformes sont définis à partir de densités surfaciques gaus- siennes de courant circulant sur une surface courbe quadratique. Le rayonnement de ces courants est appelé faisceau gaussien conforme. Grâce à cette définition, les faisceaux gaus- siens conformes prennent en compte la courbure de la surface dont ils sont issus.

en une somme de faisceaux gaussiens conformes, à partir de la décomposition des courants équivalents sur la surface en un ensemble de courants élémentaires gaussiens. On utilisera dans les sections qui suivent le terme de "courant" pour désigner une densité surfacique de courant. Les courants électriques seront notés J et les courants magnétiques M.