CHAPITRE 4 : ANALYSE ET COLLECTES DES SIGNAUX
4.4 D ISTRIBUTIONS T EMPS -F RÉQUENCES
4.4.1 Distributions linéaires
L’équation 4.7 désigne qu’un signalx t( )peut être décomposé en une somme de composantes oscillatoires dans le temps
x t
n( )
auquel peut s’ajouter du bruit et des erreurs de mesurePrenons par exemple le cas de la transformée de Fourier. Une hypothèse utilisée lors de la transformation de Fourier (FT) est qu’un signal peut être décomposé en une série de termes oscillatoires de fréquences et d’amplitudes constantes (ou cosinus) étant orthogonaux entre eux. Cette représentation suggère que chacune des composantes possède une amplitude fixe qui perdure dans le temps. Bien que mathématiquement valide, physiquement, cette représentation peut cependant n’avoir que peu de valeur. Afin d’ajouter une dimension
‘locale’ à la FT, il est possible de réaliser une convolution temporelle entre le signal analysé et une fenêtre ayant une durée temporelle (et fréquentielle) fixe plus courte que le signal.
RAPPORT GEO-12-2018 | Analyse et collectes des signaux 48 Ce type de transformation est appelé transformé de Fourier courte (STFT) (Hlawatsch et Boudreaux-Bartels, 1992): support temporel limité autour de
t
, la STFT est dite ‘locale’ puisque l’amplitude du signal localisée loin det
est affaiblie par rapport à celle située près det
. L’équation 4.8 permet ainsi d’obtenir une distribution linéaire (DL). Cependant, l’information contenue dans la STFT est souvent analysée dans le domaine TF à l’aide d’une distribution énergétique appelée spectrogramme. Pour les DL comme la STFT, la fenêtre h t( )(équation. 4.8) utilisée lors de l’analyse d’un signal x t( )agi sur ce signal comme un instrument de mesure permettant de connaitre certaines des caractéristiques importantes de ce signal. Cette fenêtre se doit donc d’être bien adaptée au signal analysé afin d’en permettre une analyse optimale en termes de résolution temporelle et fréquentielle. Parmi les fenêtres souvent utilisées afin de réaliser le STFT, la fenêtre gaussienne est certainement digne de mentions dues à ses propriétés lui permettant de maximiser conjointement la résolution temps-fréquence d’une STFT dont la résolution fréquentielle et temporelle est contrôlée par le paramètre
dans l’équation 4.9 (Grochenig, 2001; Mallat, 2008) :2 (Heisenberg/Gabor) voulant qu’une fenêtre ne puisse avoir un support arbitrairement court dans le temps tout en conservant un support arbitrairement court dans le domaine fréquentiel (Papoulis, 1974).
RAPPORT GEO-12-2018 | Analyse et collectes des signaux 49 Figure 4.5. Croquis schématique de la résolution TF de la (a) STFT et de la (b) WT pour le signal:
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) sin(2 ) sin(2 ) x t t t t t f t f t
La résolution TF de la STFT est indépendante de la fréquence (f) tandis que la résolution temporelle de la WT est meilleure à basse fréquence. D’après: Hlawatsch and Boudreaux-Bartels, 1992.
La fenêtre gaussienne (équation. 4.9) est cependant le seul type de fenêtre pour laquelle la relation d’incertitude d’Heisenberg/Gabor est minimale ( t f 1 (4 ) ) (Boahash, 2015).
Bien que le principe d’incertitude ne s’applique pas uniquement à la STFT, ce principe peut s’avérer considérablement restrictif étant donné le type de fenêtre de résolution fixe utilisée pour la STFT.
Les transformations par ondelette (WT) permettent de résoudre en parti le problème de résolution temps-fréquence de la STFT. En effet, contrairement à la STFT qui possède un support fixe dans le temps et la fréquence, les fenêtres utilisées lors de la WT permettent d’obtenir un support variable en temps et en fréquence (Fig. 4.5). Bien que la WT ait originalement été conçue comme une distribution temps-échelle (TÉ), il est possible, en assumant que la FT deh*( )t est essentiellement concentrée autour de la fréquence f0, de formuler la WT de la manière suivante :
0 0
RAPPORT GEO-12-2018 | Analyse et collectes des signaux 50 Bien que la WT soit elle aussi soumise au principe d’incertitude, l’utilisation d’une fenêtre passe bande ayant une bande passante proportionnelle à f permet de changer la résolution de la WT dans le plan TF, contrairement à la STFT qui possède une bande passante fixe dans le plan TF. La WT peut aussi être vue comme une transformation ayant un facteur Q (fréquence/largeur de bande) constant et donc indépendant de la fréquence (Mallat, 2008).
Pour une révision détaillée des propriétés et applications de la WT, le lecteur est référé aux travaux de Rio (1991) et de Mallat (2008). Tout comme la STFT qui est souvent interprétée sous forme de spectrogramme, la WT est souvent interprétée dans le domaine TF sous forme d’échellogramme, ce qui entraine là aussi la perte de certaines propriétés désirables de la DL.
La transformation de Stockwell (ST) offre une alternative intéressante à la WT et la STFT.
Elle fut introduite par Stockwell et coll. (1996) dans le but d’analyser des signaux provenant de séismogrammes.
ST ( , , )xh t f x( ) (h t , )e j2 f d
(4.11)Dans sa formulation originale, la fenêtre h t( ,)de l’équation 4.11 prend la forme d’une gaussienne (équation. 4.9) ayant une résolution variant en fonction de 1 f . La ST est rapidement devenue populaire en géophysique puisqu’elle représente un ‘mélange’ entre la WT et la STFT. La ST est unique en ce sens où elle permet une résolution variable dans le plan TF (contrairement à la STFT) tout en maintenant un lien direct avec le spectre de Fourier (contrairement à la WT). Cette propriété est particulièrement utile lorsqu’il est par exemple question de déterminer la vitesse de phase de certaines ondes comme c’est le cas dans ce projet de recherche. La résolution variable de la ST est obtenue, un peu comme avec la WT, en multipliant une ondelette mère, définie comme une gaussienne, par un facteur de déphasage. L’ondelette mère de la ST ne respecte cependant pas le critère d’une moyenne de 0 et ne peut donc pas être considérée comme une WT. Puisqu’il existe un lien direct entre la ST et le spectre de Fourier, la ST dans le plan TF est facilement réversible et permet aisément de passer du domaine temporel vers le domaine TF et vice-versa. Il est
RAPPORT GEO-12-2018 | Analyse et collectes des signaux 51 aussi possible de modifier l’ondelette mère de la ST de façon à la rendre plus adaptée aux signaux analysés (Assous et Boashash, 2012).
La STFT, la ST et la WT sont des transformations ‘facilement’ réversibles permettant de passer du plan TF vers le plan temporel, ce qui explique, en partie, leur popularité pour diverses applications (Hlawatsch et Boudreaux-Bartels, 1992). En effet, les DL sont souvent préférés aux DQ puisque l’extraction et la reconstruction des différentes composantes d’un signal peuvent s’avérer difficiles lorsque certaines DQ sont utilisées (Iatsenko et coll, 2015c).