Como sistema teste escolheu-se um de sete barras e cinco máquinas que repre- senta um modelo equivalente do sistema Sul/Sudeste brasileiro. Os geradores síncronos são representados por um modelo de quinta ordem. O regulador de tensão é representado por um modelo de primeira ordem com limitadores utilizados por todos os geradores. Este
Tabela 5.10 – Modos de oscilação inter-área
Modo Autovalor Frequência (HZ) Amort. (%)
1 0.64 ± 5.39 0,86 -11.9
2 −0.22 ± 5.87 0.93 3.84
3 −0.33 ± 5.20 0.82 6.39
Figura 5.20 – Equivalente do Sistema Sul-Sudeste (Brasil).
sistema é apresentado na figura 5.20 e os dados completos podem ser obtidos de (MAR- TINS; LIMA, 1989), esse sistema apresenta no total 37 modos de vibrar. A análise modal deste sistema foi realizada com o Pacdyn. O sistema apresenta dois modos inter-área: Modo 1 é devido ao sistema sudeste oscilando contra Itaipu e Modo 2 associado com a oscilação do Sistema Sul (Salto Santiago, Salto Segredo e Foz de Areia) contra o sistema Sudeste e Itaipu. Estes modos são apresentados na tabela 5.10.
Para avaliar os algoritmos baseados em subespaços o sistema teste foi excitado com uma entrada de 1.0 pu na potência mecânica de Itaipu sendo o sinal acrescido de um ruído branco com 0.3 pu de intensidade. O sinal de saída considerado foi o de velocidade da máquina de Itaipu.
No caso do método MOESP só foi necessário usar uma janela de 150 dados (entradas e saídas) para estimar todos os modos. Entretanto o N4SID precisou de uma janela de 300 dados para estimar os 37 modos. Na figura 5.21 mostram-se os modos reais e estimados para cada método usando 150 dados. Verifica-se que com o N4SID só é possível estimar 25 modos. Na figura 5.22 são apresentados os resultados com janelas de 300 dados. Nota-se desta figura que todos os modos foram encontrados para esse número de dados
Capítulo 5. Resultados 74
(a) N4SID
(b) MOESP
Figura 5.21 – Modos de oscilação reais do sistema (estrelas azuis) e modos de oscilação estimados pelos dois métodos de subespaços (círculos vermelhos), para o sistema com 37 modos, 𝐴 ∈ R37𝑋37 e usando uma janela de 150 dados.
Tabela 5.11 – Erro de Estimação
Erro
dos modos com amortecimento baixo (<10%) MOESP 0.12𝑥10−10
N4SID 0.28𝑥10−10 N4SID Matlab 0.21𝑥10−10
(a) N4SID
(b) MOESP
Figura 5.22 – Modos de oscilação reais do sistema (estrelas azuis) e modos de oscilação estimados pelos dois métodos de subespaços (círculos vermelhos), para o sistema com 37 modos, 𝐴 ∈ R37𝑋37 e usando uma janela de 300 dados.
Para comparação entre a exatidão dos métodos, o erro é definido como a dis- tância euclidiana entre os modos do sistema e os modos estimados.Pode-se observar nas figuras e também baseado nos erros obtidos tabela 5.11 que o MOESP apresenta desem- penho superior na estimação dos modos do sistema. Verifica-se também que o N4SID precisa de uma maior quantidade de dados para estimar todos os modos de oscilação do sistema. Então também o tempo de execução computacional do MOESP é menor. Para sistemas reais donde as entradas do sistema podem ser aproximadas a ruídos brancos os métodos podem chegar a ter uma eficiência apreciável. Tendo em conta que os modos mais importantes são os que têm uma parte real menos negativa, os que estão mais próximos do eixo imaginário, e que podem gerar oscilações pouco amortecidas. Foram comparados também o N4SID do Matlab (toolbox) com N4SID nesta dissertação e os resultados foram
Capítulo 5. Resultados 76
(a) MOESP
(b) N4SID
Figura 5.23 – Saídas reais do sistema e saídas estimadas do modelo geradas a partir da mesma entrada (ruído branco).
6 Conclusões
Nesta dissertação, o tema principal foi desenvolver métodos de subespaços e evolutivos para identificar sistemas MIMO lineares variantes no tempo. Foi discutido o enfoque de transformar o problema de identificação em um problema de otimização, o qual foi fundamental para a proposição de soluções pertencentes ao campo dos AEs.
A partir dos resultados obtidos foi verificado que, para o benchmark proposto, o método determinístico N4SID-VAR proposto nesta dissertação tem um erro quadrático menor em comparação ao MOESP-VAR. O algoritmo também é computacionalmente menos custoso e apresenta um tempo de execução menor, porque utiliza as respostas ao impulso (parâmetros de Markov) e não o método dos mínimos quadrados. Pode-se verificar também que quando o sistema tem uma variação maior o erro de estimação aumenta consideravelmente, isso levou a propor novas técnicas descritas também na dissertação.
Nesta dissertação também foram definidos os passos para identificar sistemas variantes lentamente no tempo por meio do ACOE. O objetivo principal do algoritmo foi encontrar uma quádrupla de matrizes ^𝐴, ^𝐵, ^𝐶, ^𝐷, dentro do espaço de busca que minimiza o erro de estimação por meio da solução de um problema de otimização. Baseado nos resultados obtidos, foi demostrado que esse tipo de algoritmo tem resultado superior ao de métodos puramente determinísticos como o MOESP-VAR, e que é possível estimar modelos com boa acurácia, os quais representam o sistema em uma janela ou intervalo de tempo. O ACOE recursivo desenvolvido melhorou ainda mais a estimação do modelo, diminuindo o erro entre as saídas reais e estimadas. O tempo de compilação também foi reduzido usando a informação da janela anterior e uma quantidade menor de dados.
No capítulo de resultados, seção 6.4, foram tratados e comparados os métodos mais empregados para identificar sistemas por subespaços para um sistema dinâmico real. Com os resultados foi demostrado que o algoritmo MOESP precisa de uma menor quanti- dade de amostras (entradas e saídas) para estimar os modos de vibração eletromecânicos de sistemas de energia elétrica, tendo ainda um erro menor comparado com o N4SID.
Outras técnicas evolutivas podem ser implementadas para encontrar qual é a melhor alternativa para resolver o problema de otimização definido. Cabe notar que as populações envolvidas no ACOE, podem apresentar cada uma outro tipo de abordagem ou evolução, em outras palavras, uma delas pode evoluir usando estrategias evolutivas, outra usando programação genética e interagir com as outras populações na co-evolução. Além disso, o método proposto pode ser aplicado para modelar séries temporais e comparar resultados com o algoritmo imuno-inspirado (GIESBRECHT; BOTTURA, 2015).
Capítulo 6. Conclusões 78
Para trabalhos futuros na área de métodos de identificação aplicados aos SEE, podem ser implementadas versões menos custosas computacionalmente, tendo em conta a vantagem bem notória do MOESP, pode ser possível desenvolver um algoritmo recursivo para estimar os modos de oscilação para cada janela de dados, além de poder diminuir também os passos do algoritmo, o que pode ser útil em sistemas que tenham uma or- dem superior. Além disso podem ser comparados métodos heurísticos de identificação de sistemas multivariáveis variantes no tempo, como os propostos em (GIESBRECHT; BOTTURA, 2015) e (ROBLES; GIESBRECHT, 2017), sempre que os sistemas sejam considerados variantes no tempo.
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