La dispersion en milieu poreux

1.2.1 Dispersion mécanique

Ce phénomène de mélange est lié à l’hétérogénéité des vitesses dans l’écoulement à l’échelle

microscopique. Les trois causes principales de dispersion mécanique sont illustrées en

figure III.2 :

− certains pores ont une ouverture plus grande, ce qui engendre des vitesses plus élevées,

− certains chemins plus longs que d’autres induisent un retard, donc une vitesse plus faible,

− les particules proches des parois se déplacent moins vite que celles situées dans l’axe des

pores, comme l’illustre la formule de Poiseuille pour une conduite cylindrique.

CHAPITRE III : DISPERSION D’UN TRACEUR

Ces phénomènes qui engendrent un mélange dans la direction de l’écoulement induisent une

dispersion longitudinale. Mais un front de traceur peut également s’étaler dans des directions

perpendiculaires à celle de l’écoulement. On parle alors de dispersion transverse (figure III.3).

Cette figure illustre bien que les écoulements passant par des chemins différents se mélangent

et engendrent une dilution de la concentration en soluté.

Fig. III.3 : Illustration de la dispersion transverse, d’après Fetter (1999).

1.2.2 Dispersion hydrodynamique

Les processus de diffusion moléculaire et de dispersion mécanique ne peuvent pas être

clairement distingués dans la réalité. On introduit donc un paramètre appelé coefficient de

dispersion hydrodynamique D, tel que le flux dispersif en milieu poreux s’écrit sous la même

forme que la loi de Fick :

C

d

ra

g

D

f

_D

=−ε

&

(III.4)

D est en fait un tenseur symétrique du deuxième ordre qui a pour directions principales la

direction de l’écoulement et deux directions perpendiculaires à celle-ci. En première

approximation, les coefficients de dispersion longitudinale et transverse D

L

et D

T

sont définis

par :

* L L

U D

D =α +

(III.5)

* T T

U D

D =α +

(III.6)

CHAPITRE III : DISPERSION D’UN TRACEUR

91

où Į

L

et Į

T

sont les dispersivités longitudinale et transverse, <U> est la vitesse moyenne réelle

de l’écoulement et D

^*

le coefficient de diffusion effectif dans le milieu poreux.

La diffusion moléculaire et la dispersion mécanique dues à l’écoulement ont des effets

antagonistes sur la dispersion hydrodynamique (Bruderer, 1999). La convection engendre des

vitesses différentes entre les lignes de courant. La dispersion divergerait donc si la diffusion

moléculaire n’existait pas. La diffusion moléculaire est donc un processus stabilisateur de la

dispersion hydrodynamique puisqu’elle contribue à diminuer l’intensité des gradients de

concentration.

En pratique, la connaissance du coefficient de dispersion longitudinal est suffisante pour

traiter les problèmes rencontrés en hydrologie et en réservoir pétrolier. Cependant, pour des

écoulements très lents, la diffusion moléculaire entraîne un étalement transversal qui peut être

modélisé par un coefficient de dispersion transversal. Par la suite, nous ne considérerons que

la dispersion longitudinale et noterons D le terme de coefficient de dispersion correspondant.

1.2.3 Les différents régimes de dispersion

Le coefficient de dispersion D est une fonction de la nature du milieu poreux et de la vitesse

moyenne d’écoulement. Lorsque la vitesse augmente, on passe progressivement d’un

étalement dominé par la diffusion moléculaire à un étalement dominé par les fluctuations de

vitesses.

L’effet de la vitesse moyenne de l’écoulement sur la dispersion a été étudié par Pfannkuch

(1963) qui a utilisé des milieux granulaires et a exploré une gamme importante de débits. Le

coefficient de dispersion a été déterminé à partir de la mesure des concentrations à la sortie du

massif. En présentant les résultats sous forme adimensionnelle, tous les points expérimentaux

sont groupés autour d’une seule courbe (figure III.4). Le nombre adimensionnel qui permet de

quantifier l’importance relative des effets de diffusion moléculaire et de convection est le

nombre de Péclet moléculaire. Il est défini comme le rapport des temps mis par une molécule

de soluté pour parcourir une distance de référence par diffusion et par convection. Un nombre

de Péclet élevé correspond donc à un phénomène de diffusion lent. Le temps de parcours par

diffusion étant défini par t

diff

= l

²

/D

m

et celui par convection par t

conv

= l/<U>, le nombre de

Péclet moléculaire s’écrit :

CHAPITRE III : DISPERSION D’UN TRACEUR mol mol

D

l

U

Pe =

(III.7)

La définition de la longueur caractéristique l varie selon les auteurs et les milieux étudiés

(Bruderer, 1999).

Fig. III.4 : Les 5 régimes de dispersion d’après Pfannkuch (1963).

Dans les milieux non consolidés, elle est souvent prise égale au diamètre moyen des grains ou

des pores, alors que dans les milieux consolidés, l est parfois prise égale à la racine carrée de

la perméabilité intrinsèque K (Sahimi, 1995).

Sa définition peut aussi dépendre de l’échelle d’observation. A l’échelle macroscopique, c’est

la longueur de corrélation de la perméabilité qui est parfois choisie. Certains auteurs utilisent

le nombre de Péclet à l’échelle locale, comme au niveau de la jonction entre plusieurs

fractures par exemple (Berkowitz et al., 1994). Moreno et Tsang (1994) utilisent eux un

nombre de Péclet macroscopique, lié à l’échelle d’observation, où ils remplacent l par

l’échelle d’observation et D

m

par le coefficient de dispersion D.

Cette diversité peut rendre difficiles les comparaisons entre études, d’autant plus que d’autres

définitions sont utilisées dans les simulations numériques (Bruderer, 1999).

La représentation du coefficient de dispersion hydrodynamique D normalisé par le coefficient

de diffusion moléculaire D

m

en fonction du nombre de Péclet Pe facilite les comparaisons

entre études.

Dans ce cadre, on peut définir cinq régimes pour la dispersion longitudinale, représentés en

figure III.5. Les limites entre les régimes ne sont pas définies précisément et peuvent varier

entre les auteurs (Pfannkuch, 1963 ; Sahimi, 1995).

CHAPITRE III : DISPERSION D’UN TRACEUR

93

Fig. III.5 : Représentation schématique des différents régimes de dispersion (échelle logarithmique), d’après Pfannkuch (1963). Le paramètre m représente la pente de la courbe.

(I) Régime de diffusion moléculaire pure (m=0) : l’écoulement est trop lent pour

contribuer à l’écoulement du traceur et le milieu poreux entraîne une diminution de la

diffusion moléculaire. Le terme D/D

m

, inférieur à l’unité, est lié à la tortuosité.

(II) Régime de transition : c’est la phase où les effets dynamiques commencent à se

manifester.

(III) Régime de dispersion hydrodynamique (m=1.2) : ce régime est caractérisé par une

prépondérance des effets hydrodynamiques. Cependant, la diffusion moléculaire est

toujours présente et explique une pente m de l’ordre de 1.2.

(IV) Régime de dispersion dynamique pure (m=1) : la diffusion moléculaire devient

négligeable. Le coefficient de dispersion est proportionnel à la vitesse :

U

D=α

(III.8)

(V) Régime de dispersion dynamique avec effets inertiels : c’est un régime où la vitesse

est assez élevée pour que les effets d’inertie ne soient pas négligeables devant les

effets de viscosité. Le régime d’écoulement est alors non Darcéen.

CHAPITRE III : DISPERSION D’UN TRACEUR

Dans le document Etude expérimentale et modélisation des écoulements diphasiques et de la dispersion dans des fractures rugueuses réelles (Page 109-114)