L’importance de la constante cosmologique est mesur´ee par le rapport (7) entre l’´energie de la constante cosmologique et la masse de la mati`ere. Plus un syst`eme est dense et plus l’importance de la constante cosmolo- gique est faible. A l’´echelle de l’univers qui est homog`ene, ce rapport vaut
4. A partir d’une ´echelle de distance inf´erieure `a 10Mpc, l’univers a une structure fragment´ee en ´el´ements de plus en plus denses en mati`ere. Plus la structure ´etudi´ee est petite et plus l’importance de la constante cos- mologique (qui est r´epartie de mani`ere uniforme) est faible relativement `a la mati`ere. Elle est n´egligeable pour le milieu interstellaire mais doit ˆetre prise en compte pour les structures de galaxies les plus grandes que sont les amas et les superamas.
Conclusions et perspectives
Dans cette th`ese, nous avons ´etudi´e la m´ecanique statistique des sys- t`emes autogravitants comportant plusieurs sortes de particules et la m´e- canique statistique des syst`emes autogravitants en pr´esence de la cons- tante cosmologique. Ces deux contributions sont enti`erement nouvelles. Pour ces deux types de syst`emes autogravitants, nous avons d´evelopp´e l’approche du champ moyen qui d´ecrit exactement les phases gazeuses de ces syst`emes dans leurs limites thermodynamiques pertinentes respectives. Pour les syst`emes autogravitants comportant plusieurs sortes de particules,
cette limite thermodynamique est la limite o`u les nombres de particules Ni
et le volume V tendent vers l’infini et o`u les rapports Ni
V13 sont finis. Pour
les syst`emes autogravitants en pr´esence de la constante cosmologique, cette
limite thermodynamique est la limite o`u le nombre de particules N et le
volume V tendent vers l’infini o`u la constante cosmologique Λ tend vers 0
et o`u les rapports N
V13 et ΛV 2
3 sont finis. Dans leur limite thermodynamique
respective, l’approche du champ moyen montre que ces syst`emes autogra- vitants ob´eissent aux ´equations de l’hydrostatique et `a une ´equation d’´etat qui localement est l’´equation d’´etat des gaz parfaits. Nous avons calcul´e les grandeurs thermodynamiques de ces syst`emes. Nous avons analys´e leur stabilit´e. Nous avons effectu´e des calculs Monte Carlo pour le syst`eme autogravitant en pr´esence de la constante cosmologique dans l’ensemble canonique. Ils montrent que le champ moyen d´ecrit tr`es bien la phase gazeuse et que la transition de la phase gazeuse vers la phase collaps´ee a lieu dans l’ensemble canonique lorsque la compressibilit´e isotherme di- verge. Il serait int´eressant de faire des calculs Monte Carlo dans l’ensemble microcanonique pour v´erifier, conform´ement `a nos pr´evisions que la tran- sition de phase arrive dans cet ensemble lorsque la compressibilit´e adiaba- tique diverge. Il faudrait ´egalement faire des calculs Monte Carlo pour les syst`emes autogravitants comportant plusieurs sortes de particules. Nous
avons montr´e que les syst`emes autogravitants comportant plusieurs sortes de particules ob´eissent `a des lois d’´echelle sur leur masse. Le milieu inter- stellaire qui est compos´e de plusieurs sortes d’atomes et de mol´ecules a donc ses lois d’´echelle sur sa masse reproduites par les syst`emes autogravi- tants comportant plusieurs sortes de particules. Par son action r´epulsive, la constante cosmologique augmente la stabilit´e des syst`emes autogravitants. Nous avons ´etudi´e dans cette th`ese la m´ecanique statistique et l’hydro- statique des syst`emes autogravitants. Il serait int´eressant de d´evelopper l’hydrodynamique des syst`emes autogravitants qui v´erifient les ´equations (B.1) et (B.2). Dans l’annexe B, nous exposons la th´eorie des perturbations par rapport `a un fluide autogravitant homog`ene statique. Il serait utile d’´etudier la th´eorie des perturbations avec comme ordre z´ero un gaz au- togravitant en ´equilibre hydrostatique. Ce serait un autre moyen d’´etudier la stabilit´e des gaz autogravitants en ´equilibre hydrostatique ; ce serait aussi un moyen d’´etudier leur collapse. L’hydrodynamique des syst`emes autogravitants est actuellement ´etudi´ee en cosmologie pour montrer com- ment se forment les structures `a partir d’un fond homog`ene de mati`ere dans l’univers en expansion. La th´eorie des perturbations par rapport au mod`ele d’Einstein-de Sitter [26] qui est le mod`ele d’univers plat en expan- sion domin´e par la mati`ere a ´et´e ´etudi´ee [41, 42]. Pour les temps infinis, cette th´eorie des perturbations diverge, il serait int´eressant d’appliquer le groupe de renormalisation dynamique [43] pour explorer le comportement de la th´eorie pour les temps infinis et pr´evoir ainsi l’´evolution des structures dans l’univers.
Annexe A
Gaz autogravitants polytropiques
Nous allons pr´esenter bri`evement les gaz autogravitants polytropiques qui jouent un rˆole important dans la compr´ehension de la physique des ´etoiles [4, 5, 26, 44, 45, 46]. Nous allons tout d’abord pr´esenter les trans- formations polytropiques que subissent ces syst`emes.
A.1
Les transformations polytropiques
Une transformation polytropique [4] est un transformation thermody-
namique o`u la variation de chaleur est proportionnelle `a la variation de
temp´erature. En consid´erant une transformation polytropique infinit´esi- male, les variations de chaleur et de temp´erature dQ et dT sont li´ees par la relation suivante
dQ = c dT
o`u c est une constante appel´ee chaleur sp´ecifique de la transformation po- lytropique. On voit que les transformations adiabatiques sont des cas par- ticuliers de transformations polytropiques avec c = 0.
Les gaz parfaits ob´eissent `a l’´equation d’´etat (1) P(~q) = T
mρm(~q)
qui relie la pression P , la temp´erature T , la densit´e de masse ρm et la masse
m d’une particule du gaz. Pour un gaz parfait subissant une transformation
polytropique, la relation entre la pression P et la densit´e de masse ρm est
P = K ρmγ (A.1)
o`u K est une constante et o`u le coefficient polytropique γ est
γ = cp − c
cv − c