Discussion

3 z (µm) 0 200 400 600 800 1000 1200 b 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 (a) (b)

Figure 2.8  Évolution de l'exposant β en fonction de la distance de propagation z (a) : sans pertes, (b) : avec pertes (correspondantes aux images de la Fig.2.7: E0 = 350, t = 2.8τ).

Nous pouvons nous demander comment cet exposant évolue au cours de la propagation, avec la possibilité de peut être passer en deçà de 1 à un stade de la propagation. La gure2.8représente l'évolution de l'exposant β en fonction de la distance de propagation pour les deux cas présentés sur la Fig.2.7. Dans tous les cas, l'exposant reste supérieur à 1.5 au cours de la propagation.

2.5.3 Discussion

Les simulations numériques exhibent dans tous les cas des prols en forme de  cloche , similaires à ceux trouvés dans la littérature [105, 109, 14, 120]. Or, expérimentalement, nous avons obtenu des prols d'intensité  piqués . Il est donc évident que le modèle (Eqs.2.2et2.3) ne permet pas de reproduire les prols expérimentaux. Il n'est donc pas adapté dans le cas de forte non-localité. Peut être que la forme de la réponse non locale n'est pas adaptée ou que le modèle dérivé de la minimisation de l'énergie libre du système n'est pas le plus adapté ? Nous laissons aux théoriciens le soin de répondre à cette problématique.

CHAPITRE 3

La trajectoire de la structure localisée

est tout sauf stationnaire

Nous venons de voir les conséquences de la non-localité lorsqu'elle est forte sur la nature de la structure localisée. Toujours dans ce même régime, nous allons maintenant explorer l'inuence de deux autres spécicités propres aux cristaux liquides nématiques ancrés, à savoir le caractère ultra-lent de la non-linéarité Kerr ainsi que le caractère intrinsèquement stochastique. Nous allons voir que leurs eets conjugués, induisent une dynamique de la trajectoire de l'onde solitaire du type  marche au hasard .

3.1 Contexte

Les uctuations sont omniprésentes dans le monde qui nous entoure. Dans les systèmes phy- siques, le bruit provient aussi bien de la variabilité environnementale que des eets thermiques [122]. Plus spéciquement, le concept de transitions induites par le bruit dans des systèmes spa- tialement homogènes ou étendus joue un rôle important dans la dynamique hors équilibre [122]. L'interaction entre le bruit et la non-linéarité de ces systèmes aboutit dans certains cas à des eets contre-intuitifs, comme par exemple : l'augmentation du niveau de bruit qui conduit à des comportements plus réguliers (plus d'ordre dans le système). L'article de revue [122] présente une grande variété de milieux dans lesquels ce type de comportements contre-intuitifs apparaissent

3. La trajectoire de la structure localisée est tout sauf stationnaire

(en hydrodynamique, chimie, électronique, optique...). Dans un de ces domaines d'étude, en op- tique non linéaire, la stabilité des solitons attire une attention considérable aussi bien du point de vue fondamental qu'appliqué [123].

Comme exposé dans le Chap.1, les cristaux liquides sont sujet à un bruit intrinsèque d'origine thermique. Cette particularité n'est pas toujours considérée dans la littérature [13, 3, 101, 11]. De plus, lorsque cette dernière est prise en compte, seuls les états stationnaires sont étudiés [98,124,77]1_{. Notre but ici est d'étudier si des comportements dynamiques sont présents.}

En l'absence de dépendance temporelle, il est par exemple prévu analytiquement et numé- riquement que la non-localité induit une longueur de corrélation nie pour le bruit [98]. Cette longueur de corrélation inue sur la stabilité de l'onde solitaire. Et son augmentation se traduit par un gain drastique de la stabilité de la structure localisée. Une autre étude numérique analyse l'inuence de la longueur de corrélation du bruit sur la destruction des solitons pour de grandes distances de propagation [120].

Une étude expérimentale récente2 _{menée dans la valve à cristaux liquides étudie les solitons}

propagatifs non locaux dans un potentiel aléatoire [77]. Le système de valve permet aux auteurs d'appliquer un potentiel aléatoire où la longueur de corrélation du bruit peut être maîtrisée. Des uctuations sur la trajectoire de la structure localisée sont obtenues. Les auteurs montrent que les uctuations de la trajectoire du nematicon suivent une tendance  super-diusive  plutôt que diusive (Brownienne) pour les diérentes longueurs de corrélation du bruit [77].

Rappelons que les cristaux liquides constituent un milieu où la réponse temporelle de la non-linéarité est beaucoup plus lente que le temps de propagation du champ dans le milieu. Ainsi nous observons le comportement à l'échelle de temps du milieu non linéaire et non pas à celle du champ optique. Cette situation rend les calculs analytiques impossibles (contrairement au cas d'une réponse non linéaire beaucoup plus rapide que celle du champ optique qui permet d'aboutir à NLSE). Dans la littérature pratiquement aucune étude ne prend en compte l'évolution dynamique (spatio-temporelle) du faisceau (comparé aux études  stationnaires ). Nous pouvons citer les refs. [86,85] et un chapitre du livre  Nematicons  ([14]). Dans [85] ainsi que dans le chapitre 13 de [14], il s'agit de l'étude du régime transitoire correspondant à l'établissement du nematicon. Dans [86], des respirations ainsi que de la convection sont prédits. Cependant, dans aucune de ces trois références le bruit n'est pris en compte et donc aucune dynamique induite par le couplage entre le caractère ultra-lent de la non-linéarité et le bruit n'est abordée.

Le but de ce chapitre est de montrer que l'eet couplé de la réponse ultra-lente de la non- linéarité et du bruit intrinsèque est d'induire dans tous les cas une dynamique du nematicon.

1. Une étude numérique prend en compte le caractère lent et stochastique [120] mais ne considère au nal que les états stationnaires.

3.2. Observations expérimentales