Discussion

α = 1, alors w  α1ϕmais w 2 αϕ, ce qui implique que w 2 (C4α).



3.8 Discussion

L'analyse de la question de la pondération des axiomes et de leur correspondance séman-tique présentée dans ce chapitre permet d'établir l'ensemble des formules que le tableau 3.2, p. 45, récapitule en leur associant la contrainte correspondante sur la relation ainsi que leur type.

Cette étude a été eectuée en considérant chaque axiome individuellement, indépen-damment des autres. Nous ébauchons ici l'examen de leur prise en compte simultanée, et les conséquences qu'elle provoque sur d'éventuelles versions pondérées des systèmes mo-daux classiques : fondés sur un sous-ensemble d'axiomes (cf. section 1.1.5, page 13) : on peut constater que dans les cas où la correspondance classique est modiée, les systèmes modaux le sont également.

C'est par exemple le cas du système classique S4, qui regroupe les axiomes K, D, T et 4. Nous avons établi que l'axiome 4 n'est pondérable qu'à condition d'ajouter la contrainte d'euclidianité à la transitivité qui lui est classiquement associée. Considérer l'euclidianité impose d'avoir également l'axiome 5 ajouté au système. Même si ce dernier est impondérable, cette observation conduit à s'interroger sur la dénition d'un éventuel système S4 pondéré, d'autant plus que la correspondance n'est pas établie pour l'axiome 4α : la question des propriétés des modèles dans une axiomatique l'incluant est à traiter avec rigueur.

Selon des principes similaires, on peut noter que tout système modal pondéré inclut d'oce l'axiome CDα, car celui-ci n'est conditionné par aucune contrainte sur la relation. Le passage entre ♦ et  permis par l'axiome CD classique est sémantiquement très ex-pressif, mais associé à une contrainte forte sur la relation, qui réduit le nombre de mondes accessibles à un seul. CDα, qui permet le passage entre ♦αet 1−α, a un pouvoir d'inférence moins riche mais il est intégré à tous les systèmes modaux, dont la richesse d'expression doit être considérée globalement.

Ainsi, plus généralement, ces axiomes ouvrent la voie à l'étude de systèmes modaux pondérés, notamment sous l'angle de leur expressivité.

3.9 Bilan

Ce chapitre a présenté l'étude approfondie que nous avons faite des axiomes de la logique modale an d'en proposer des variantes pondérées, vis-à-vis de la sémantique proposée dans le chapitre précédent. En eet, il est indispensable de tenir compte de cette sémantique pour dénir des valeurs pertinentes des poids, ouvrant à la voie à l'examen des répercussions de cette sémantique sur la théorie de la correspondance.

Nous avons organisé ces axiomes pondérés dans une typologie dénissant quatre catégo-ries, autour de trois axes de comparaison : la possibilité ou non d'eectuer la pondération, l'éventuelle modication de la propriété de la relation classiquement associée à l'axiome, que la pondération nécessite ou autorise et, réciproquement, l'éventuelle équivalence entre tout modèle respectant la ou les contraintes et l'axiome.

Nous avons eectué cette analyse dans le cadre des logiques modales pondérées géné-rales, sans nous restreindre à une lecture spécique de la modalité. Dans la partie suivante, nous nous concentrons sur le cas d'une modalité de croyances an de dénir et manipuler formellement des croyances graduelles.

Deuxième partie

Logique doxastique graduelle

Introduction

Alors que la première partie a considéré la question des logiques modales pondérées de façon générale, nous nous intéressons, dans cette seconde partie, au cas particulier de la manipulation de croyances pondérées : nous considérons la question de la dénition d'une logique des croyances dont nous voulons proposer une extension graduelle, en nous inspirant de la logique doxastique. En eet, celle-ci ne permet que de distinguer les deux cas  croire que  et  ne pas croire que . La formalisation de croyances pondérées doit permettre de représenter  croire à un degré α  où α est une valeur numérique, permettant de moduler nement les croyances et d'accroître l'expressivité du modèle, à la fois en termes de représentation et de raisonnement.

Le modèle de représentation que nous proposons repose sur une sémantique ensem-bliste des croyances, qui se situe dans le courant représentationaliste de l'épistémologie, en considérant le cadre pondéré de la théorie des sous-ensembles ous : les degrés de croyance sont interprétés comme des degrés d'appartenance à l'ensemble des croyances de l'agent, déni sur l'ensemble des formules bien formées de la logique propositionnelle.

Nous examinons ensuite les règles de manipulation des croyances graduelles qui dé-coulent de cette représentation, à la fois en donnant une lecture doxastique des propriétés issues de la théorie des sous-ensembles ous et en étudiant l'expression, dans le formalisme ou, d'une extension graduelle du raisonnement doxastique, en particulier les axiomes nor-maux ainsi que K, D, 4 et 5.

De plus, nous mettons en regard les formules ainsi obtenues avec les variantes pon-dérées d'axiomes établies dans le chapitre 3, en particulier (KD45)α : nous comparons ainsi une approche dédiée au cas de la manipulation de croyances graduelles et une ap-proche consistant à particulariser les dénitions associées aux logiques modales pondérées générales.

Cette partie est organisée comme suit : le chapitre 4 enrichit l'état de l'art de la partie précédente en détaillant les formalismes existants pour la représentation et la manipulation de croyances non binaires, à la fois de points de vue philosophiques et logiques. Le chapitre 5 formalise le modèle ensembliste ou que nous proposons pour représenter des croyances

graduelles et de discuter l'aspect doxastique des propriétés qui en découlent

Le chapitre 6 examine les conséquences de l'interprétation proposée pour la construction du raisonnement doxastique graduel : il propose un ensemble de règles de manipulation pour les croyances graduelles dans le formalisme ou, en considérant la conjonction, la disjonction, l'implication et l'introspection, c'est-à-dire en étudiant les axiomes classiques de la logique doxastique (les axiomes normaux et K, D, 4 et 5) dans le cadre ou et en les comparant à leurs variantes pondérés (KD45)α. Enn, le chapitre 7 étudie le cas particulier de la négation appliquée à des croyances graduelles.

Chapitre 4

État de l'art : formalisation de la

croyance

La seconde partie de ces travaux étant centrée sur la formalisation de croyances gra-duelles, nous proposons d'enrichir l'état de l'art présenté dans le chapitre 1 : nous nous intéressons à la notion même de croyance et à la façon dont les croyances sont conçues et représentées en épistémologie et en logique. Nous examinons également les diérents mécanismes de graduation des croyances, en passant en revue les principaux formalismes qui permettent de représenter des degrés de croyance.

Ce chapitre est organisé en trois sections. La première présente un aperçu des travaux épistémologiques consacrés à la représentation des croyances binaires et non binaires. Le section 4.2 décrit des modèles formels, logiques, pour la modélisation des croyances binaires et la section 4.3 présente ceux pour la modélisation des croyances non-binaires.