2.4 Exemples illustratifs
2.4.3 Discussion
L’étude de stabilité établie dans ce chapitre invoque un choix rigoureux des différents paramètres réduisant ainsi le conservatisme qui peut affecter la précision de la borne obtenue sur le temps de séjour minimum. Dans un premier temps, nous revenons sur le conservatisme et nous montrons numériquement qu’un temps de séjour légérement inférieure à la borne obtenue par l’un des Théorèmes 2.1-2.5 pourrait être valide pour la stabilisation. En second lieu, nous nous intéressons aux deux termes composant le temps de séjour minimum résultant et nous évaluons leur nécessité dans l’analyse de la classe des systèmes hybrides singulièrement perturbés étudiée.
2.4.3.1 Sources de conservatisme
Nous soulignons que les majorations et le choix des patamètres λs, λf, Qi s, Qi
f dans (2.21) fait partie des sources de conservatisme. Nous avons montré à travers les exemples
1et 2que ces paramètres peuvent être calculés à partir des équations (2.47) et (2.48). Pourtant, d’après la simulation des dynamiques de l’exemple2ayant les mêmes valeurs deεetx0 et sous une loi de commutation périodique de périodetk+1−tk = 0.37sec, plus petite que celle énoncée par le Théorème2.1, les trajectoires des dynamiques sont convergentes. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 −3 −2 −1 0 1 2 3 Temps (s) u(t) v(t)
FIGURE2.11: Trajectoires des dynamiques (2.44)-(2.45) avectk+1−tk=τ = 0.37sec
2.4 Exemples illustratifs 65 Or, en atténuant la période des commutations à tk+1 −tk = 0.3 sec, la stabilité des dynamiques n’est plus garantie comme le montre la Figure2.12.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 Temps (s) u(t) v(t)
FIGURE2.12: Trajectoires des dynamiques (2.44)-(2.45) avectk+1−tk=τ = 0.3sec
Cette analyse numérique montre que la borne sur le temps de séjour minimum donnée par les Théorèmes 2.1-2.5, garantit la stabilité asympotique globale des dynamiques hybrides singlièrement perturbées étudiées mais que, dans certains cas, la stabilité peut être assurée pour un temps de séjour légèrement inférieur à cette borne. Cette situation est plus prévisible lorsque les paramètres en question sont choisis aléatoirement.
2.4.3.2 Temps de séjour de l’ordre deO(ε)
Revenons sur l’expression du temps de séjour minimum qui est :
τ∗ >max{O(1) +O(ε),O(ε)}.
Nous avons vu précédemment que le terme en O(1) est nécessaire pour stabiliser les dynamiques du modèle réduit. Cette valeur, non négligeable par rapport àε est essen-tielle pour la stabilisation du système (2.14)-(2.15) et ainsi pour la stabilisation de tout système linéaire impulsif à commutation dont les dynamiques évoluent selon une seule échelle temporelle. D’autres part, les dynamiques rapides à leurs tour, nécessitent un temps de séjour de l’ordre du paramètre des perturbations singulières.
Dans l’exemple qui suit, nous évoquons la nécessité de ce terme infiniment petit dans l’analyse de stabilité de la classe de systèmes étudiée.
66 Chapitre 2. Analyse de stabilité des systèmes hybrides singulièrement perturbés Nous reprenons le système singulièrement perturbé à commutation traité dans [33] :
˙ x(t) εz˙(t) ! =Aσk x(t) z(t) ! , ∀t∈[tk, tk+1), k∈N (2.52)
où le signal de commutation est σk ∈ I = {1,2}et les matrices d’état sont données par : A1 = −1 0 5 −1 ! ; A2 = −1 5 0 −1 !
Pour assurer la conformité à l’exemple du [33], nous admettons que la nature des va-riables est inchangée telle que la matriceJσk−1
νk
→σk =I2et nous nous appuyions sur les résultats de la Section2.3pour en déduire les conditions suffissantes de stabilité asymp-totique globale du système (2.52). En premier lieu, nous nous assurons que l’hypothèse
2.3est valide.
En effet, les matricesA1 0 =A2
0 =−1etA1 22=A2
22=−1. D’autre part, nous supposons que les dynamiques lentes et rapides admettent une fonction de Lyapunov commune donnée par : (
Ws(t) =p
x(t)⊤x(t)
Wf(t) =p
y(t)⊤y(t) , ∀t∈[tk, tk+1), k ∈N. Ceci revient à considérer les paramètresQ1
s =Q2
s = 1etQ1 f =Q2
f = 1dans (2.20) et nous procédons au changement de variable (2.9) avec les matrices de passage suivantes :
P1 = 1 0 −5 1 ! , P2 = 1 0 0 1 ! .
En utilisant la définition (2.13), la dynamique discrète est régie par les matrices de saut :
R1→2 = 1 0 5 1 ! , R2→1 = 1 0 −5 1 ! .
Par conséquent, nous nous retrouvons dans le cas deγ11 = 1etγ12 = 0et l’application du Théorème2.3fournit une condition sur le temps de séjour de l’ordre deε.
Ce résultat est prévisible selon l’analyse de stabilité établie dans la Section 2.3. Ce-pendant, la détermination de la valeur deτ vient renforcer les résultats existants dans la littérature en donnant une valeur plus raffinée du temps requis entre deux commuta-tions. En effet, les auteurs de [33] ont évoqué le fait que la stabilité des sous-systèmes
2.4 Exemples illustratifs 67 n’est pas une condition suffisante pour garantir la stabilité du système commutatif com-plet et ont également établit une condition de temps de séjour minimal de la valeur de τ = 0.7001secpourε= 0.076. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Temps (s) x(t) z(t)
FIGURE2.13: Trajectoires des dynamiques (2.52) avec des commutations périodiques de périodetk+1−tk=τ = 0.7001sec. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 5 10 15x 10 5 Temps (s) x(t) z(t)
FIGURE2.14: Trajectoires des dynamiques (2.52) avec des commutations périodiques de périodetk+1−tk = 0.35secinférieure àτ.
Or, les résultats que nous présentons dans ce travail appréhendent une relation entre la borne sur le temps de séjour et la différence des échelles de temps. Ceci est illustré par les valeurs numériques obtenues par le Théorème2.3pour différentes valeurs deε:
ε 0.076 7.6·10−3 10−3 7.6·10−4 τ (sec) 0.588 0.106 1.43·10−2 1.08·10−2
Remarquons que pourε = 0.076, le Théorème2.3donne une valeur de temps de séjour de0.588sec. En outre, il est claire que plusεest petit plus la valeur du temps de séjour
68 Chapitre 2. Analyse de stabilité des systèmes hybrides singulièrement perturbés minimum est petite. Ceci est en accord avec l’approximation de la borne établie dans le Théorème 2.3 et qui assure la convergence des dynamiques à commutation (2.52). De plus, ceci révèle que tant que les différentes dynamiques du système admettent une fonction de Lyapunov commune et tant que les dynamiques découplées sont stables, la convergence globale au fil des commutations "requiert" un temps de séjour minimum infiniment petit voire négligeable quandεtend vers0.