On a ´etudi´e ce mod`ele `a p-spins mous avec p = 2 en calculant la susceptivit´e dy- namique dans les diff´erentes phases de la dynamique du syst`eme et on a trouv´e une
transition de phase dynamique de second ordre en s = 0 dans la phase `a basse temp´e- rature. Ceci est en accord avec les r´esultats obtenus en applicant le formalisme ther-
modynamique des histoires au mod`ele d’Ising en champ moyen, o`u comme dans notre
mod`ele une transition de phase statique de second ordre a lieu entre une phase ordon- n´ee et une phase d´esordonn´ee, et une transition dynamique a lieu dans la phase `a basse
temp´erature [80]. Cette transition dynamique semble donc une fois de plus caract´eriser
la dynamique vitreuse de la phase `a basse temp´erature de notre mod`ele.
La diff´erence principale avec tous les mod`eles ´etudi´es pr´ec´edemment `a travers ce formalisme est qu’ici la transition dynamique trouv´ee est du second et non du premier ordre. Il faut souligner `a ce propos que le mod`ele `a p = 2-spins n’a pas toutes les
propri´et´es vitreuses classiques qu’ont par exemple les mod`eles `a p-spin avec p≥ 3 (voir
[88, 69]). Le fait que la transition dynamique soit de deuxi`eme ordre pourrait refl´eter
le fait que le s´eparation spatio-temporelle entre diff´erentes r´egions du syst`eme n’est pas si nette que dans les mod`eles consid´er´es jusqu’ici dans cette th`ese. Pour v´erifier
cette hypoth`ese on pourrait calculer la longueur de corr´elation, d´efinie parh|φk|2is, o`u
φk est la transform´ee de Fourier spatiale du champ φµ, dans chaque phase dynamique
du syst`eme. Ceci a ´et´e fait en [111] pour une version en dimension finie du mod`ele
ferromagn´etique d´ecrit en Appendice A, o`u pour β > βc une longueur de corr´elation
qui diverge dans la phase ordonn´ee mais pas dans la phase paramagn´etique non-triviale a ´et´e identifi´ee. Ce travail reste `a faire dans le cas du mod`ele d´esordonn´e.
De mˆeme la transition `a s 6= 0 dans la phase `a haute temp´erature n’a pas d’inter-
pr´etation imm´ediate : le seul ´etat physique du syst`eme, o`u la dynamique non-biais´ee
a lieu, est l’´etat `a s = 0, donc si une transition dynamique advient en s = 0 on peut l’associer `a une coexistence entre plusieurs r´egimes dynamiques explicit´ee, `a l’occasion, par un caract`ere dynamiquement h´et´erog`ene du syst`eme. Si par contre la transition a
lieu `a un s6= 0 pour tout N, on ne peut rien dire sur son interpr´etation physique.
En appendice A on reporte l’analyse de la version non-d´esordonn´ee de ce mod`ele,
on discute ses propri´et´es vitreuses et d´ecrit le diagramme des phases dynamiques du mod`ele.
La ligne directrice de cette th`ese a ´et´e de montrer qu’une dynamique de vitreuse est le reflet d’une discontinuit´e entre deux types de r´ealisations temporelles dans l’espace des configurations que le syst`eme peut suivre. Ces r´ealisations temporelles sont connues `a travers l’application du formalisme thermodynamique des histoires de Ruelle adapt´e aux dynamiques markoviennes en temps continu. En particulier pendant ces trois ans mon travail a ´et´e d’´evaluer, num´eriquement et analytiquement, la fonction de grandes
d´eviations ψK(s) des syst`emes ´etudi´es par rapport `a l’activit´e K des histoires suivies.
Dans le cas des mod`eles cin´etiquement contraints la fonction de grande d´eviation a ´et´e ´evalu´ee num´eriquement via des simulations de dynamique dans l’espace des his- toires. Les r´esultats num´eriques en taille finie ont compl´et´e des r´esultats analytiques existant en champ moyen, en confirmant l’hypoth`ese faite que l’h´et´erog´en´eit´e dyna- mique des mod`eles KCM est le reflet d’une transition dynamique de premier ordre dans l’espace des r´ealisations temporelles que le syst`eme a pu suivre.
Ensuite le passage aux mod`eles de verres avec d´esordre gel´e a montr´e que ces affir- mations sont bien fond´ees : en ´etudiant le mod`ele de pi`eges `a dynamique dirig´ee et la phase `a basse temp´erature du mod`ele `a ´energies al´eatoires on a prouv´e, `a travers une d´emonstration heuristique et la r´esolution num´erique d’´equations aux valeurs propres, que la fonction de grandes d´eviations, ou ´energie libre du syst`eme, pr´esente une discon-
tinuit´e de premier ordre l`a o`u la dynamique du syst`eme est vitreuse. On a remarqu´e que
les caract´eristiques dynamiques d´ependent de la statistique des extrˆemes du d´esordre utilis´ee : pour un mod`ele `a ´energies al´eatoires dont la statistique du d´esordre donne une dynamique non-vitreuse, on a montr´e que la transition de phase dynamique n’est pas pr´esente.
L’´etude du mod`ele `a p = 2-spin a repr´esent´e une difficult´e majeure pour plusieurs raisons. D’abord le formalisme thermodynamique des histoires tel qu’il a ´et´e appliqu´e
aux chaˆınes de Markov ne peut ˆetre utilis´e dans ce cas. Les variables ´etant continues, le calcul de la fonction de grandes d´eviations passe par une formulation proche de la th´eorie des champs, et ne peut se limiter `a ´evaluer la plus grande valeur propre d’un op´erateur, comme il a ´et´e fait pour les KCMs et le mod`ele de pi`eges et `a ´energies al´eatoires. Deuxi`emement la transition n’´etant pas de premier ordre, l’interpr´etation en termes d’h´et´erog´en´eit´es dynamiques n’est pas si imm´ediate. Tout de mˆeme on a r´eussi `a prover que cette transition a lieu `a s = 0 seulement dans la phase ordonn´ee, `a dynamique ralentie, de ce mod`ele.
Donc pour r´esumer on a ´etabli en ´etudiant l’´energie libre dynamique de plusieurs
mod`eles de verres que l`a o`u la dynamique est vitreuse, que ce soit `a cause de la basse
temp´erature, du type de d´esordre, ou d’une contrainte cin´etique, une transition de phase dynamique a lieu `a s = 0, c’est `a dire que la dynamique physique du syst`eme, non biais´ee par le param`etre s, se trouve en un point de coexistence entre deux r´egimes
dynamiques diff´erents : le r´egime `a s < 0 o`u la dynamique est active, et celui `a s >
0 ou la dynamique est inactive. On a montr´e dans chaque cas que quand la cause du ralentissement dynamique disparaˆıt, i.e. quand le syst`eme n’est plus vitreux, la transition de phase dynamique disparaˆıt aussi.