∃ε vrai∧ ¬(∃ε vrai)∧ ¬(∃x1y1z x1 = f y1∧ y1 = f z ∧ z = x1)∧ ¬(∃x2y2x2= f y2∧ x2 = f y2∧ y2 = x2) . (2.42)
Enfin, nous pouvons appliquer la règle (1), à la formule (2.42) pour finalement obtenir la formule vrai. Donc la proposition ϕ2 est vraie dans T .
2.5 Discussion et conclusion partielle
Notre algorithme de décision qui est idéal pour décider de la valeur de vérité de très grandes propositions peut également s’appliquer sur des formules ayant des variables libres et produit alors une conjonction de formules résolues facilement transformable en une combinaison booléenne de formules de base ; mais en aucun il est capable de décider si cette conjonction de formules résolues est toujours vraie ou toujours fausse ou ni vraie ni fausse dans T . Il ne donne pas de solutions pour les contraintes qui ont au moins une variable libre et n’est pas capable de détecter si une formule ayant au moins une variable libre est toujours fausse ou toujours vraie dans T . C’est pour toutes ces raisons que notre algorithme est appelé algorithme de décision et non algorithme de résolution de contraintes générales.
D’autre part, nous avons montré l’infini-décomposabilité de quelques théories fondamentales telles que : la théorie équationnelle, la théorie des rationnels ou réels additifs, la théorie des arbres finis ou infinis ainsi que la combinaison des arbres finis ou infinis et des rationnels ou réels additifs [26]. Qu’en est-il de la théorie de l’ordre dense sans extrêmes ? Si l’on se place dans le modèle des rationnels ordonnés, alors pour toute instanciation des variables libres de la formule ∃x z < x ∧ x < y : soit il existe une infinité de valeurs pour x, soit il n’en existe aucune ! En effet, si les variables z et y sont instanciées respectivement par les rationnels 1 et 0, alors il n’existe pas de x tel que 1 < x ∧ x < 0 ! Cette nouvelle donnée ne satisfait donc pas la définition du quantificateur infini. Par conséquent, cette théorie ne peut être infini-décomposable. Il faut alors définir un nouveau quantificateur doté de propriétés plus larges que celles du quantificateur infini. Ceci fera l’objet du chapitre suivant.
Théorie zéro-infini-décomposable
Sommaire
3.1 Quantificateur zéro-infini : ∃Ψ(u)o ∞ . . . . 46 3.2 Théorie zéro-infini-décomposable . . . . 47 3.2.1 Définition . . . . 47 3.2.2 Propriétés . . . . 48 3.2.3 Complétude . . . . 51 3.2.4 Exemple de base . . . . 54 3.3 Résolution de propositions dans les théories zéro-infini-décomposables 57 3.3.1 Formule normalisée . . . . 57 3.3.2 Formule de travail . . . . 58 3.3.3 Règles de réécriture . . . . 61 3.3.4 Algorithme de résolution de propositions . . . . 67 3.4 Application à la construction d’arbres sur un ensemble ordonnéTord 68 3.4.1 Axiomatisation . . . . 68 3.4.2 Le modèle standard deTord . . . . 69 3.4.3 Brique et brique résolue dansTord . . . . 70 3.4.4 Tord est zéro-infini-décomposable . . . . 73 3.4.5 Résolution de propositions dansTord . . . . 78 3.5 Discussion et conclusion partielle . . . . 80
Nous présentons dans ce chapitre la classe des théories zéro-infni-décomposables qui est une extension de la classe des théories infini-décomposables, caractérisée essentiellement par un prin-cipe de décomposition des conjonctions quantifiées de formules atomiques en introduisant un nouveau quantificateur appelé zéro-infini. Nous montrons alors la complétude de ces théories en utilisant la condition suffisante de complétude définie dans le chapitre 1, et donnons un exemple de base de théorie zéro-infini-décomposable qui n’est pas infini-décomposable. Nous donnons également une propriété liant les théories infini-décomposables aux théories zéro-infini-décomposable et montrons que les théories infini-zéro-infini-décomposables Eq, Ra et T sont également zéro-infini-décomposables. Nous présentons ensuite un algorithme de décision de propositions dans toute théorie zéro-infini-décomposable T , sous forme d’un ensemble de six règles de ré-écriture qui transforment une formule ϕ, qui peut éventuellement contenir des variables libres, en une conjonction svls φ de formules résolues équivalente à ϕ dans T et telle que φ est : soit la formule vrai, soit la formule V
et facilement transformable en une combinaison booléenne de conjonctions quantifiées de for-mules atomiques. En particulier, si ϕ n’a pas de variables libres alors φ est, soit la formule vrai, soit la formule ¬vrai. La correction de notre algorithme est une autre preuve de la com-plétude des théories zéro-infini-décomposables. Nous terminons ce chapitre par une application à la construction d’arbres sur un ensemble ordonné Tord. Cette théorie est une axiomatisation complète d’une construction d’arbres sur un ensemble d’individus munis d’une relation d’ordre total, strict, dense et sans extrêmes. Après avoir donné l’axiomatisation de Tord, nous montrons sa zéro-infini-décomposabilité et terminons par un exemple complet de résolution de propositions dans Tord. Notons que ce chapitre a fait l’objet des publications suivantes [23], [24] et [25].
3.1 Quantificateur zéro-infini : ∃
Ψ(u) o∞Soient M un modèle et T une théorie. Soit Ψ(u) un ensemble de formules ayant au plus une variable libre u. Soient ϕ, ϕj des M-formules.
Définition 3.1.0.3 On écrit
M |= ∃Ψ(u)o∞ x ϕ(x), (3.1)
si pour toute instanciation ∃x ϕ′(x) de ∃x ϕ(x) par des individus de M une des propriétés sui-vantes est vérifiée
– l’ensemble des individus i de M tels que M |= ϕ′(i), est infini
– pour tout sous ensemble fini {ψ1(u), .., ψn(u)} d’éléments de Ψ(u), l’ensemble des individus ide M tels que M |= ϕ′(i) ∧Vj∈{1,...,n}¬ψj(i) est infini.
On écrit T |= ∃Ψ(u)o∞x ϕ(x), si pour tout modèle M de T on a M |= ∃Ψ(u)o∞x ϕ(x).
Ce quantificateur est plus général que le quantificateur infini défini dans le chapitre précédent et ne restreint pas le modèle M à être infini. Dans le cas particulier où Ψ(u) = {faux }, la forme (3.1) signifie tout simplement que si M |= ∃x ϕ(x) alors M contient une infinité d’individus i tels que M |= ϕ(i). En revanche ce quantificateur, ne permet pas d’effectuer une élimination complète de quantificateurs, mais uniquement une élimination de sous-formules comme le montre la propriété suivante :
Propriété 3.1.0.4 Soit J un ensemble fini éventuellement vide. Si T |= ∃Ψ(u)o∞x ϕ(x) et si pour chaque ϕj, au moins une des propriétés suivantes est vérifiée
– T |= ∃?x ϕj,
– il existe ψj(u) ∈ Ψ(u) tel que T |= ∀x ϕj → ψj(x), alors
T |= (∃x ϕ(x) ∧Vj∈J¬ϕj) ↔ (∃x ϕ(x)).
Preuve.Soit ∃x ϕ′(x) une instanciation quelconque de ∃x ϕ(x) par des individus de M . Montrons que si les conditions de cette propriété sont satisfaites alors
M |= (∃x ϕ′(x) ∧Vj∈J¬ϕj(x)) ↔ (∃x ϕ′(x)). (3.2)
Soit J′ l’ensemble des j ∈ J tels M |= ∃?x ϕj(x) et soit m sa cardinalité. Du fait que pour tout j∈ J′, M |= ∃?x ϕ′
j(x), alors il suffit que M contienne au moins m + 1 individus, pour garantir l’existence d’un individu i ∈ M tel que
M |= ^
j∈J′
D’autre part, du fait que T |= ∃Ψ(u)o∞x ϕ(x) et du fait de la définition 3.1.0.3 du quantificateur zéro-infini, deux cas sont à étudier :
(1) Soit, M |= ¬(∃x ϕ′(x)), donc M |= ¬(∃¯x ϕ′(x) ∧Vj∈J¬ϕj(x)) et donc l’équivalence (3.2) est vraie dans M.
(2) Soit, pour tout sous-ensemble fini {ψ1(u), ..., ψn(u)} de Ψ(u), l’ensemble des individus i de M tels que M |= ϕ′(i) ∧Vnj=1¬ψj(i) est infini. Donc, du fait que pour tout j ∈ J − J′ on ait M |= ∀x ϕj(x) → ψj(x), alors il existe un ensemble infini ξ d’individus i of M tels M |= ϕ′(i) ∧
V
j∈J−J′¬ϕj(i). Du fait que ξ soit infini, alors il contient au moins m+1 individus et donc d’après (3.3), il existe au moins un individu i ∈ ξ tel que M |= ϕ′(i) ∧ (Vj∈J−J′¬ϕ′
j(i)) ∧ (Vk∈J′¬ϕ′ k(i)) et donc tel que
M |= ∃x ϕ′(x) ∧ ^
j∈J
¬ϕ′j(x).
Du fait qu’ont ait M |= ∃x ϕ′(x) ∧Vj∈J¬ϕj(x), alors nous avons M |= ∃x ϕ′(x) et donc l’équi-valence (3.2) est vraie dans M. ✷
Propriété 3.1.0.5 Si T |= ∃Ψ(u)∞ x ϕ(x) alors T |= ∃Ψ(u)o∞x ϕ(x).
Rappelons également dans cette section quelques propriétés des quantificateurs vectoriels définies dans le chapitre précédent. Nous en auront besoins tout au long de ce chapitre.
Propriété 3.1.0.6 Si T |= ∃?¯yφ et si aucune variable de ¯y n’a d’occurrences libres dans ϕ alors
T |= (∃¯x ϕ∧ ¬(∃¯y φ∧ ψ)) ↔ (∃¯x ϕ∧ ¬(∃¯y φ)) ∨ (∃xy ϕ ∧ φ ∧ ¬ψ) . Corollaire 3.1.0.7 Si T |= ∃?¯x ϕalors T |= (∃¯x ϕ∧^ i∈I ¬φi) ↔ ((∃¯xϕ) ∧^ i∈I ¬(∃¯x ϕ∧ φi)). Corollaire 3.1.0.8 Si T |= ψ → (∃!¯x ϕ) alors T |= (ψ ∧ (∃¯x ϕ∧^ i∈I ¬φi)) ↔ (ψ ∧^ i∈I ¬(∃¯x ϕ∧ φi)).