Exemplo 11.1 Os dados seguintes dizem respeito ao grau de endurecimento de um certo cimento, Y ,
medido numa certa escala, para diferentes valores de temperatura, x, em o
C:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
Yi 45 52 54 63 62 68 75 76 92 88
Com estes dados constru´ımos um gr´afico dos valores de x contra os valores de Y , do qual verifi- camos parecer existir uma rela¸c˜ao linear entre as duas vari´aveis:
Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario 179 Yi xi 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180
Assumindo ent˜ao o modelo de regress˜ao linear para estes dados, estimamos pelos m´ınimos quadra- dos os parˆametros de regress˜ao:
ˆ β1 = Pn i=1xiYi− n¯x ¯Y Pn i=1x2i − n¯x2 = 100 × 45 + 110 × 52 + . . . − 10¯x ¯Y 1002+ 1102+ . . . − 10¯x2 = 101970 − 10 × 145 × 67.5 218500 − 10 × 1452 = 0.4964 ˆ β0= ¯Y − ˆβ1x = 67.5 − 0.4964 × 145 = −4.4727¯
Assim a recta de regress˜ao estimada, disposta no gr´afico dos dados na figura seguinte, ´e dada por: ˆ
Y = −4.4727 + 0.4964 x
Estando interessados em estimar qual o n´ıvel de endurecimento (m´edio) do cimento para uma temperatura de 105o
C basta fazer: ˆ
Y = −4.4727 + 0.4964 × 105 = 47.65
No entanto, n˜ao podemos fazer an´aloga previs˜ao para uma temperatura de 200o
C, j´a que a recta de regress˜ao s´o ´e v´alida dentro da gama de temperaturas usadas para a estimar.
Vamos avaliar a qualidade do ajuste, determinando o coeficiente de determina¸c˜ao, R2:
R2 = ˆβ12 Sxx SY Y = ˆβ12 Pn i=1x2i − n¯x2 Pn i=1Yi2− n ¯Y2 = (0.4964) 2 218500 − 10 × 1452 47691 − 10 × 67.52 = 0.955
Este valor indica um bom ajuste do modelo de regress˜ao linear aos dados. Estimamos agora o parˆametro variˆancia do erro, σ2:
ˆ σ2= SQR n − 2 = 1 n − 2 SY Y − ˆβ1 2 Sxx = 11.9864
Testamos agora hip´otese de o declive da recta de regress˜ao β1 valer zero, usando um n´ıvel de
Yi xi 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180 X Hip´oteses: H0 : β1 = 0 vs H1: β16= 0 X Estat´ıstica de teste: T = βˆq1− 0 ˆ σ2 Sxx sobH0 ∼ t(n−2)≡ t(10−2)≡ t(8)
X Regi˜ao de rejei¸c˜ao:
R0.05≡ (−∞; −c) ∪ (c; +∞),
c : P (T < c) = 1 − 0.052 ⇔ c = Ft−1(8)(0.975) = 2.306
Ent˜ao R0.05≡ (−∞; −2.306) ∪ (2.306; +∞)
X Regra de decis˜ao do teste:
Rejeitar H0 ao n´ıvel de significˆancia α se tobs ∈ R0.05.
X Decis˜ao:
tobs = q 0.4964
11.9864 218500−10×1452
= 13.0231 ∈ R0.05
Logo rejeitamos a hip´otese de que β1= 0, ao n´ıvel de significˆancia 5%.
Vamos
Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario 181
11.9
Exerc´ıcios Propostos
11.1 Determinada empresa est´a interessada em contabilizar o tempo que o ar condicionado est´a ligado no ver˜ao, por dia, mediante a temperatura exterior (oC). Assim, seleccionaram-se 14 dias ao acaso, para os quais se mediram as temperaturas (x) e se registarem o n´umero de horas de utiliza¸c˜ao do ar condicionado (Y):
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
xi 29 28 29 35 26 25 32 31 34 27 33 33 32 28
Yi 10.5 9.0 10.4 18.6 5.5 5.2 11.6 10.4 17.8 9.9 13.7 14.2 12.3 8.7
(a) Disponha os dados em gr´afico.
(b) Estime a recta de regress˜ao linear simples. Refira quais os pressupostos efectuados. Dese- nhe-a no gr´afico anterior.
(c) Comente a qualidade da estima¸c˜ao efectuada, com base no coeficiente de determina¸c˜ao. (d) Teste a hip´otese de o verdadeiro declive da recta de regress˜ao ser nulo. Comente o resultado
`
a luz da al´ınea anterior.
(e) Para uma temperatura exterior de 30oC qual o n´umero de horas que estima que o ar condicionado esteja a trabalhar? E para uma temperatura de 40oC?
11.2 Pretende-se modelar a velocidade do vento Y , medida em Km/h, com a altitude x a que se faz a medi¸c˜ao (m). Para tal registaram-se, para 9 valores de altitude, os correspondentes valores da velocidade do vento: i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xi 100 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 Yi 4 9 15 16 20 46 54 59 72 X Yi2 = 14675 ¯Y = 32.78 Xxi2 = 12760000 ¯x = 1011.11 XYixi= 427900
(a) Ajuste um modelo de regress˜ao linear simples aos dados. O que pode dizer sobre a qualidade do ajuste?
(b) Determine um intervalo de confian¸ca a 95% para o verdadeiro declive da recta de regress˜ao. (c) Use o resultado da al´ınea anterior para testar a hip´otese de que o verdadeiro declive da
recta de regress˜ao ´e nulo.
11.3 Pretende-se, se poss´ıvel, modelar atrav´es de uma recta de regress˜ao linear simples a quantidade de vidro Y produzido num ecoponto (Kg), usando como vari´avel independente x o n´umero de dias sem despejar o mesmo. Para tal, registaram-se os seguintes dados:
i 1 2 3 4 5 6 7 8
xi 2 3 4 5 10 15 20 25
yi 100 150 250 320 650 810 1040 1480
(a) Escreva a recta de regress˜ao estimada atrav´es do m´etodo dos m´ınimos quadrados. Acha que conseguiu um bom ajuste?
(b) Teste a hip´otese de o declive da recta de regress˜ao ser nulo e construa um intervalo de confian¸ca a 95% para a ordenada na origem da recta de regress˜ao.
(c) Qual o valor da quantidade de vidro produzida no ecoponto que prevˆe ocorrer em 10 dias sem o despejar. Seria poss´ıvel calcular o mesmo para um per´ıodo de 35 dias?
11.4 Em determinada faculdade a associa¸c˜ao de estudantes est´a interessada em modelar a m´edia final de curso dos seus alunos (Y ) com a nota de acesso `a mesma faculdade, x, usando uma recta de regress˜ao linear simples. Para tal seleccionaram ao acaso um conjunto de 10 alunos para os quais registaram os seguintes valores referentes a estas duas vari´aveis:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 12 18 14 16 11 19 20 17 13 15
Yi 11 15 12 14 11 16 19 15 12 13
(a) Estime a referida recta de regress˜ao linear simples e comente a sua qualidade.
(b) Teste, ao n´ıvel de significˆancia 5%, a hip´otese de que as notas de entrada n˜ao tˆem rela¸c˜ao directa com a m´edia final de curso.
(c) Suponha que um caloiro entrou com m´edia de 16 valores nesta faculdade. Preveja o seu valor de m´edia final de curso.
11.5 Determinado agricultor est´a interessado em estudar se a quantidade de milho produzido nas suas terras est´a directamente relacionado com a quantidade de precipita¸c˜ao que ocorre nos meses de Maio a Julho. Assim, registou essa quantidade de precipita¸c˜ao, em litros e por metro quadrado de terreno, por 8 vezes distintas, tendo contabilizado os seguintes valores do milho produzido, tamb´em por metro quadrado de terreno:
i 1 2 3 4 5 6 7 8
xi 45 50 60 30 35 55 52 71
Yi 2.8 3.3 3.6 2.9 3.0 3.5 3.8 3.5
X
Yi2 = 88.04 ¯Y = 3.3 Xxi2 = 21020 ¯x = 49.75 XYixi= 1337.6
Use os dados anteriores para dar uma resposta ao agricultor.
11.6 Estamos interessados em avaliar os custos de manuten¸c˜ao por ano (Y), em e, dos carros POUPEX com a idade dos ve´ıculos (x), em anos. Assim, para se relacionarem estas 2 vari´aveis atrav´es de um modelo de regress˜ao linear, recolheram-se os seguintes dados:
i 1 2 3 4
Yi 200 320 450 490
xi 1 2 4 7
Correspondendo a estes dados temos que:
4 X i=1 Yi2 = 585000 ¯Y = 365 4 X i=1 x2i = 70 ¯x = 3.5 4 X i=1 Yixi = 6070 SQR= 8214.286
Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario 183
(a) Estime os parˆametros de regress˜ao. Em termos pr´aticos o que indica o valor de ˆβ1?
(b) Critique a qualidade do ajuste.
(c) Teste a hip´otese de o verdadeiro declive da recta de regress˜ao ser nulo, a um n´ıvel de significˆancia 5%. Esperava o resultado obtido? Justifique.
(d) Quanto estima que v´a ter de custos de manuten¸c˜ao com o seu carro POUPEX neste ano que se avizinha, agora que o seu carro faz 6 anos?
11.7 Pretende-se averiguar se existe uma rela¸c˜ao directa entre a proximidade com campos de futebol da residˆencia de casais e a taxa de div´orcio. Assim registaram-se, em 5 locais seleccionados ao acaso, o correspondente n´umero de est´adios de futebol num raio de 50Km (x) e a respectiva taxa de div´orcio por 1000 habitantes registada nessas localidades (Y):
No de campos de futebol, xi 0 1 2 5 6
Taxa de div´orcio (por 1000 habitantes), Yi 2.2 2.5 3.5 4.1 4.8 5 X i=1 xi = 14; 5 X i=1 x2i = 66; 5 X i=1 Yi= 17.1; 5 X i=1 Yi2 = 63.19; 5 X i=1 Yixi= 58.8; SQR= 0.2585075.
(a) Ajuste uma recta de regress˜ao linear a estes dados. Que pode dizer da qualidade do ajuste? (b) Diga por suas palavras como interpreta o valor de ˆβ1 obtido.
(c) Teste a hip´otese do verdadeiro valor declive da recta de regress˜ao, β1, ser nulo, a um n´ıvel
de significˆancia 10%. O resultado est´a de acordo com a qualidade do ajuste discutida em (a)?
(d) Numa localidade com 3 est´adios de futebol na sua proximidade (menos de 50Km) quanto prevˆe que valha a correspondente taxa de div´orcio?
(Exerc´ıcio de exame) 11.8 Uma empresa que produz fornos el´ectricos est´a interessada em avaliar se os seus fornos est˜ao bem
calibrados, no sentido em que atingem correctamente as temperaturas para as quais s˜ao progra- mados. Assim seleccionou-se aleatoriamente um conjunto de 12 fornos, que foram programados para diversas temperaturas, x, e para os quais se mediram as correspondentes temperaturas efectivamente alcan¸cadas, Y - valores emoC:
x 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 Y 105 114 142 163 178 205 224 236 258 282 300 319 12 X i=1 Yi = 2526 12 X i=1 Yi2 = 588184 12 X i=1 xi = 2520 12 X i=1 x2i = 586400 12 X i=1 Yixi = 587220 R2 = 0.9976 ˆσ = 3.71
(a) Estime atrav´es de uma recta de regress˜ao linear simples a rela¸c˜ao entre a temperatura efectiva dos fornos e a temperatura para que estes foram programados.
(c) Justifique de forma sucinta se o declive da recta de regress˜ao aqui usada pode ser considerado significativamente distinto de zero e quais as consequˆencias pr´aticas da sua conclus˜ao. (d) Interprete o valor obtido do declive da recta de regress˜ao e justifique se este valor est´a ou
n˜ao de acordo com as expectativas da empresa fabricante dos fornos.
(Exerc´ıcio de exame) 11.9 Diga, justificando, se as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras ou falsas:
(a) Foi efectuado um estudo para modelar o peso ganho pelos adultos em Kg (Y ) com a sua idade em anos (x). Uma amostra aleat´oria de 100 adultos, com idades compreendidas entre 50 e 80 anos, foi seleccionada e a seguinte recta de regress˜ao linear foi estimada:
ˆ
Yi = 75 + 0.5xi. De acordo com este modelo, e assumindo que temos um bom ajuste,
podemos afirmar que um qualquer adulto aumenta 10Kg dos 50 para os 60 anos.
(b) Ainda referente ao estudo do peso descrito na al´ınea anterior podemos afirmar que a recta de regress˜ao linear a´ı estimada permanece aproximadamente v´alida para todos os indiv´ıduos da faixa et´aria dos 5 aos 10 anos.
(c) Em certas locais h´a uma forte associa¸c˜ao entre as concentra¸c˜oes de ozono x (ppm) e a concentra¸c˜ao do chamado carbono secund´ario Y (µg/m3). De forma a estudar esta asso-
cia¸c˜ao recolheram-se, para 16 locais aleatoriamente seleccionados, dados sobre estes dois poluentes, tendo-se estimado por m´ınimos quadrados a seguinte recta de regress˜ao linear:
ˆ Yi = 0.998 + 93.377xi R2 = 0.712, σˆ2 = 15.1, 16 X i=1 x2i − n¯x2 = 0.03
Podemos ent˜ao afirmar, com um n´ıvel de significˆancia de 5%, que o declive da recta ´e significativamente distinto de zero, confirmando as nossas expectativas.
(d) Pensou-se num modelo de regress˜ao linear simples para explicar a temperatura atmosf´erica (Y ), emoC, em fun¸c˜ao da press˜ao atmosf´erica (x), em bar. Assim, seleccionaram-se ao acaso
20 dias e registaram-se os valores destas duas quantidades, tendo-se estimado a seguinte recta de regress˜ao linear:
ˆ Yi = −75 + 100xi (R2= 0.95) Sabendo que s ˆ σ2 Pn i=1x2i − n¯x2 = 5.636, posso ent˜ao afirmar que:
(d1) A um n´ıvel de significˆancia de 5% o declive da recta ´e nulo.
(d2) A conclus˜ao expressa na al´ınea anterior permite-me dizer que o modelo proposto n˜ao ´e razo´avel para os fen´omenos em causa.
Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario 185
(Exerc´ıcio de exame) 11.10 Pretende-se, se poss´ıvel, modelar atrav´es de uma recta de regress˜ao simples o consumo de com-
bust´ıvel, Y , de um autom´ovel em fun¸c˜ao da sua velocidade de circula¸c˜ao, x. Para tal registaram- se os valores de consumo de combust´ıvel para um mesmo percurso de 100Km percorrido a difer- entes velocidades: i 1 2 3 4 5 6 7 8 xi 50 60 70 80 90 100 110 120 yi 5.22 6.25 6.85 8.36 8.09 10.16 11.17 11.57 ¯ x = 85, ¯Y = 8.46, Xx2i = 62000, XYi2 = 610.43, XYixi= 6145.5, SQR= 1.15
(a) Ajuste um modelo de regress˜ao linear simples aos dados. Que pode dizer sobre a qualidade do ajuste?
(b) Diga por suas palavras como interpreta o valor estimado do declive da recta acima consid- erada. O sinal desta estimativa est´a de acordo com as suas expectativas? Porquˆe?
(c) Determine um intervalo de confian¸ca a 95% para o verdadeiro declive da recta de regress˜ao. Comente o resultado face `a qualidade do ajuste conclu´ıda na al´ınea (a).
(Exerc´ıcio de exame) 11.11 Determinado economista est´a interessado em averiguar se os sal´arios se relacionam linearmente
com o grau de educa¸c˜ao das pessoas, medido em anos de escolaridade. Assim ele seleccionou aleatoriamente um certo n´umero de pessoas, tendo registado para cada uma delas o seu sal´ario mensal bruto em e, Y , e o seu correspondente n´umero de anos de escolaridade, x (que na amostra se verificou variar entre 7 e 21 anos).
Com os dados recolhidos o economista procedeu `a estima¸c˜ao, pelo m´etodo dos m´ınimos quadra- dos, da recta de regress˜ao linear Yi = β0+ β1xi+ εi, i = 1, . . . , n, com os habituais pressupostos,
tendo obtido o seguinte:
ˆ β0 = −1003.269 \ V ( ˆβ0) = ˆσ 2P x2 i n(P x2 i−n¯x2) = 1288.738 tobs = ˆ β0−β0 s ˆ σ2P x2i n (P x2i−n¯x2) = −27.95 ˆ β1 = 139.817 \ V ( ˆβ1) = σˆ 2 Pn i=1x2i−n¯x2 = 5.832225 tobs = ˆ β1−β1 r ˆ σ2 Pn i=1x2i−n¯x2 = 2.415 R2 = 0.9716 ˆσ = 83.27 SQR= 693389.29
(a) Comente a qualidade do ajuste obtido.
(b) Teste, a um n´ıvel de significˆancia de 10%, a hip´otese de o declive da recta de regress˜ao ser nulo. Comente.
(c) De acordo com este modelo qual o ganho de mais um ano de educa¸c˜ao?
(d) Quanto prevˆe que ganhe um indiv´ıduo com a escolaridade obrigat´oria (= 9 anos de ed- uca¸c˜ao)? E um licenciado (=17 anos de educa¸c˜ao)?
Exerc´ıcios variados
12.1 Num determinado aqu´ario encontram-se 4 peixinhos dourados e 6 vermelhos para venda. (a) O Sr. Z´e vai comprar 2 desses peixinhos, n˜ao tendo preferˆencia pela cor. Assim, selecciona-
se aleatoriamente um conjunto de 2 peixes. Qual a distribui¸c˜ao da v.a. X que representa o n´umero de peixes dourados que calham a este cliente?
(b) Chegado a casa, os 2 filhos do Sr. Z´e come¸cam a discutir quem escolhe primeiro o seu peixinho, antes mesmo de os verem. Decidem pois que, se pelo menos 1 dos peixes for dourado, o filho mais velho pode escolher primeiro. Caso contr´ario, escolhe primeiro o filho mais novo. Represente Y a v.a. que indica se foi o filho mais velho a escolher (Y = 1) ou n˜ao (Y = 0). Determine a fun¸c˜ao de probabilidade de Y . Identifique esta distribui¸c˜ao. (c) As v.a.’s X e Y s˜ao independentes? Justifique adequadamente.
(Exerc´ıcio de exame) 12.2 O tempo de espera (em minutos) por um autocarro ´e uma v.a. T com a seguinte fun¸c˜ao densidade
de probabilidade: f (t) = 1/2, 0 < t < 1 1/4, 2 < t < 4
0, caso contr´ario
(a) Determine a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao da v.a. T (Sugest˜ao: esboce primeiro o gr´afico de f (t)). (b) Determine o tempo m´edio e o tempo mediano de espera pelo autocarro.
(c) Qual ´e a probabilidade de esperar menos de 1 minuto pelo autocarro, sabendo que j´a estou `
a espera h´a 0.5 minutos?
(d) Durante o ano tenho de apanhar este autocarro 100 vezes. Qual ´e o n´umero m´edio de vezes, nesse ano, em que espero menos de meio minuto?
(Exerc´ıcio de exame) 12.3 A vari´avel aleat´oria X representa o tempo de espera (em horas) num determinado servi¸co p´ublico.
A fun¸c˜ao densidade probabilidade desta vari´avel ´e a seguinte:
f (x) = a, 0 ≤ x ≤ 2 2a, 2 < x ≤ 4 0, caso contr´ario
Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario 187
(a) Determine a constante a, justificando.
(b) Determine a probabilidade de eu esperar mais de duas horas neste servi¸co sabendo que j´a estou `a espera h´a meia hora.
(c) Calcule e interprete o valor esperado do tempo de espera neste servi¸co.
(d) Supondo que eu tenho de ir a este servi¸co umas 10 vezes por ano, em dias aleatoriamente determinados, qual a probabilidade de em metade destes dias eu esperar mais de meia hora de cada vez?
(Exerc´ıcio de exame) 12.4 O tempo (em horas) que o t´ecnico Z´e demora a compor um televisor ´e uma vari´avel aleat´oria X
cuja fun¸c˜ao densidade probabilidade ´e dada por: f (x) = 3x
2, 0 < x < 1
0, c.c.
(a) Diga o que entende por fun¸c˜ao distribui¸c˜ao. Deduza a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao da vari´avel aleat´oria X.
(b) Qual a probabilidade de o t´ecnico Z´e demorar mais de meia hora a compor um televisor, sabendo que j´a o est´a a compor h´a 15 minutos?
(c) Se o t´ecnico Z´e tem 10 televisores para compor qual a probabilidade de ele demorar menos de 15 minutos no arranjo individual de pelo menos 9 desses televisores?
(Exerc´ıcio de exame) 12.5 O tempo (em horas) que os alunos da disciplina de Probabilidades e Estat´ıstica demoram a
resolver um exame desta disciplina ´e uma vari´avel aleat´oria X com a seguinte fun¸c˜ao densidade probabilidade:
f (x) = 0.5x, 0 ≤ x ≤ 2 0, caso contr´ario
(a) Diga o que entende por fun¸c˜ao densidade probabilidade e qual a sua utilidade. (b) Deduza a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao do tempo de resolu¸c˜ao do exame, X.
(c) Sabendo que determinado aluno j´a est´a a resolver o exame h´a mais de uma hora, qual a probabilidade de ele resolver o exame em menos de uma hora e meia?
(d) Qual o tempo m´edio de resolu¸c˜ao dos exames desta disciplina?
(e) Numa sala de 40 alunos qual a probabilidade de que todos eles demorem menos de uma hora e meia a resolver o exame? Refira eventuais pressupostos que tenha de fazer para responder a esta quest˜ao.
(Exerc´ıcio de exame) 12.6 A quantidade de cimento (m3) que determinada betoneira debita por minuto ´e uma vari´avel
aleat´oria X com a seguinte fun¸c˜ao densidade probabilidade:
f (x) = 1
5, 0 ≤ x ≤ 5
(a) Qual a probabilidade desta betoneira debitar mais de 4 m3 de cimento em determinado minuto, sabendo que j´a debitou mais de 2 m3?
(b) Qual a quantidade m´edia e a quantidade mediana de cimento debitado por esta betoneira por minuto? Comente.
(c) Considere que determinado empreiteiro paga o cimento fornecido pela betoneira de acordo com a velocidade a que este ´e depositado - muito r´apido ´e equivalente a ter cimento muito l´ıquido e de pouca qualidade; muito lento ´e equivalente a cimento com muita areia e de pouca qualidade. Assim, se em determinado minuto a betoneira:
• debitar menos de 2m3 de cimento, o empreiteiro paga este cimento a 1.5e por m3;
• debitar entre 2m3 e 4m3 (inclusivamente) de cimento, o empreiteiro paga este cimento
a 2.5e por m3;
• debitar mais de 4m3 de cimento, o empreiteiro paga este cimento a 1e por m3. Determine a fun¸c˜ao de probabilidade da vari´avel aleat´oria Y que representa o pre¸co por m3 de cimento a que o empreiteiro o paga e determine o seu valor esperado e o seu desvio padr˜ao.
(Exerc´ıcio de exame) 12.7 A vari´avel aleat´oria X representa o peso (em dezenas de Kg) dos troncos de eucalipto que chegam
a determinada f´abrica de papel, `a qual corresponde a seguinte fun¸c˜ao densidade probabilidade:
f (x) = (
(x−5)2
18 , 2 ≤ x ≤ 8
0, caso contr´ario (a) Determine a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de X.
(b) Calcule a probabilidade de determinado eucalipto, que se sabe ter mais de 5 dezenas de Kg, pesar mais de 6 dezenas de Kg.
(c) Calcule duas medidas de localiza¸c˜ao do peso dos eucaliptos (como, por exemplo, o peso m´edio dos eucaliptos).
(d) Para uma remessa de 100 eucaliptos calcule a probabilidade de mais de metade pesarem mais de 5 dezenas de Kg cada.
(Exerc´ıcio de exame) 12.8 Diga, justificando, se a seguinte afirma¸c˜ao ´e verdadeira ou falsa:
Moda, m´edia e mediana de uma vari´avel aleat´oria X com distribui¸c˜ao Normal s˜ao medidas sempre iguais.
12.9 O consumo di´ario de ´agua de um laborat´orio, em m3, ´e uma vari´avel aleat´oria com fun¸c˜ao densidade: f (x) = 1 3, 0 < x ≤ 1; 3 2x3, 1 < x ≤ 3; 0, outros valores de x;
Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario 189
(a) Determine a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao desta vari´avel aleat´oria.
(b) Calcule a probabilidade do consumo ser inferior a 0.5m3, num dia em que o consumo ´e
inferior a 1m3.
(c) Define-se a despesa di´aria com ´agua em cˆentimos, Y , atrav´es da f´ormula Y = X3. Calcule o valor m´edio desta despesa di´aria.
(d) Qual a probabilidade de, em 2 dos 5 dias ´uteis duma semana, se registar um consumo di´ario inferior a 1m3?
(Exerc´ıcio de exame) 12.10 Represente a vari´avel aleat´oria X a propor¸c˜ao de reclama¸c˜oes resolvidas por mˆes, em determi-
nado servi¸co p´os-venda, `a qual corresponde a seguinte fun¸c˜ao densidade probabilidade:
f (x) = 2x, 0 ≤ x ≤ 1 0, caso contr´ario
(a) Determine a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de X. (b) Determine P (X ≤ 0.5|X > 0.25).
(c) Considere a vari´avel aleat´oria Y = exp(X). Determine E [X − Y ].
(d) Determine a probabilidade de em todos os meses de determinado ano (=12 meses) se terem conseguido resolver pelo menos 90% de todas as reclama¸c˜oes recebidas.
(Exerc´ıcio de exame) 12.11 Suponha que as vari´aveis aleat´orias X, Y e W tˆem m´edias de 7, 2 e 5, respectivamente, e desvios
padr˜ao de 1 , 2 e 0.5, respectivamente. Sabe-se ainda que cov(X, W ) = 1. (a) Qual a m´edia e a variˆancia da vari´avel aleat´oria T = 2X − W + 1?
(b) Seja V = X + Y + 1. Suponha que sabe que V(V ) = 2. Quanto vale cov(X, Y )? X e Y s˜ao vari´aveis aleat´orias independentes?
(c) Suponha agora que X e Y se distribuem normalmente, sendo independentes. Determine a probabilidade de X ser maior que pelo menos o dobro de Y .
(Exerc´ıcio de exame) 12.12 Certa doen¸ca n˜ao fatal para as ovelhas afecta contudo a sua produ¸c˜ao de leite. Suponha que o
tempo X, em semanas, necess´ario `a recupera¸c˜ao de uma ovelha afectada ´e uma vari´avel aleat´oria com a seguinte fun¸c˜ao densidade de probabilidade:
f (x) = 0 , x ≤ 1 3 x4 , x > 1
A consequente perda desta doen¸ca para o agricultor (em u.m., unidades monet´arias) ´e dada pela vari´avel aleat´oria Y = 10 + 20X.
(b) Suponha que o governo decidiu subsidiar os agricultores com ovelhas afectadas por esta doen¸ca. Para uma ovelha afectada e recuperada no tempo X, o governo paga uma quanti- dade W (em u.m.) dada por: W = 30 se X < 2 e W = 30 + k se X ≥ 2, sendo k ´e uma constante positiva.
i) Determine E [W ], em fun¸c˜ao de k. Qual o valor de k que garante que E[W ] = E[Y ]? Para que nos interessa conhecer este valor de k?
ii) Para o valor de k determinado na al´ınea anterior, deduza a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao da vari´avel aleat´oria W .
(Exerc´ıcio de exame) 12.13 O tempo de vida (em anos) de uma esp´ecie particular de abetos, Abies balsamea, ´e uma vari´avel
aleat´oria X com a seguinte fun¸c˜ao distribui¸c˜ao:
F (x) =
0 , x < 0
1 − e−0.25x , x ≥ 0
(a) Usando a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao dada: (i) Calcule P (1 < X < 2).
(ii) Determine a mediana do tempo de vida desta esp´ecie de ´arvores. (b) Determine a fun¸c˜ao densidade probabilidade de X.
(c) Qual o tempo m´edio de vida destas ´arvores?
(d) Calcule a probabilidade de uma destas ´arvores durar mais de 5 anos, sabendo que j´a ultra- passou os 3 anos.
(e) Numa floresta destas ´arvores, com 150 abetos, qual a probabilidade de apenas 40 delas ultrapassarem os 5 anos de vida?
(Exerc´ıcio de exame) 12.14 Um t´ecnico de seguran¸ca rodovi´aria garante que apenas 60% dos condutores de autom´oveis usam
cinto de seguran¸ca dentro das cidades.
(a) Indique, justificando, a distribui¸c˜ao da vari´avel aleat´oria X que contabiliza o n´umero de condutores que usam cinto de seguran¸ca dentro da cidade, num total de 2 condutores. (b) Calcule a probabilidade de, numa amostra de 2 condutores, haver exactamente 1 que n˜ao
usa o cinto de seguran¸ca.
(c) Como ´e sabido a gravidade dos acidentes rodovi´arios prende-se usualmente com o uso ou n˜ao de cinto de seguran¸ca. Assim, vamos considerar o par aleat´orio constitu´ıdo por X (n´umero de condutores que usam cinto de seguran¸ca dentro da cidade numa amostra de 2 condutores) e Y - n´umero de condutores, nessa amostra de 2, que j´a tiveram acidentes considerados graves. Este par aleat´orio tem a seguinte fun¸c˜ao de probabilidade conjunta:
X \ Y 0 1 2
0 0.01 0.05
1 0.08 0.30
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Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario 191
i. Complete a fun¸c˜ao de probabilidade conjunta, justificando.
ii. Qual a probabilidade de, em dois condutores que se sabe usarem sempre cinto de seguran¸ca, nenhum deles ter tido acidentes considerados graves?
iii. Qual a probabilidade, de em dois condutores que se sabe nunca usarem cinto de segu- ran¸ca, ambos terem tido acidentes considerados graves?
iv. De que forma ´e que as respostas `as duas al´ıneas anteriores lhe permitem concluir se