Tabela 2.1 – Representa¸c˜ao do funcionamento da mem´oria harm´onica.
i x1 x2 x3 f (X)
1 0 5 3 22
2 1 4 2 10
3 2 2 2 2
4 3 2 1 0
2.8.3
Aplica¸c˜oes em Engenharia do HS
Na seguinte lista, apresentam-se algumas aplica¸c˜oes mais recentes do HS em algumas ´
areas cient´ıficas:
Na ´area de otimiza¸c˜ao de estruturas/constru¸c˜oes: em (Akin e Saka, 2015) ´e aplicado o HS na otimiza¸c˜ao da estrutura do bet˜ao armado e que devem seguir determinadas normas;
Na ´area de otimiza¸c˜ao energ´etica: (Yi et al.,2015) apresenta uma variante do HS como uma ferramenta para a otimiza¸c˜ao de um sistema h´ıbrido, composto por fontes renov´aveis solares e e´olicas;
No escalonamento de tarefas e opera¸c˜oes: Guo et al. (2015) aplica o HS de modo a otimizar o desempenho de uma linha de produ¸c˜ao, mais precisamente na sua produ¸c˜ao e transporte.
Uma revis˜ao mais aprofundada das aplica¸c˜oes pode ser consultada nos trabalhos desenvolvidos por Manjarres et al. (2013) ,Yoo et al. (2014) e Geem (2009).
2.9
Algoritmo dos Pirilampos
O algoritmo dos Pirilampos (Firefly Algorithm, FA) foi desenvolvido por Xin-She Yang na Universidade de Cambridge (Yang, 2008) e teve como alicerce o comporta- mento dos pirilampos.
2.9.1
Inspira¸c˜ao Natural do FA
A principal caracter´ıstica que se pode observar nos pirilampos ´e a capacidade que estes possuem de produzir luz. O FA ´e inspirado nos padr˜oes da luz e no comporta- mento dos pirilampos. Estes s˜ao conhecidos por serem organismos bioluminescentes, ou seja, capazes de emitir luz a partir de uma rea¸c˜ao qu´ımica. At´e agora sabe-se que este mecanismo est´a associado principalmente a trˆes fatores: defesa contra predado- res, atrair presas e para acasalamento. Existem in´umeras esp´ecies de pirilampos e cada esp´ecie tem o seu pr´oprio padr˜ao e tonalidade de luz. Assim sendo, a frequˆencia com que piscam, a intensidade da luz e a propor¸c˜ao entre o tempo que esta se en- contra ligada ou desligada ´e diferente e funciona como um c´odigo, para que o macho e a fˆemea dessa esp´ecie se possam reconhecer.
Yang(2009a) baseou-se no comportamento dos pirilampos, numa perspetiva em que
utilizam a bioluminescˆencia como um meio de comunica¸c˜ao para se reconhecerem e escolherem o melhor parceiro dependendo da intensidade da luz emitida pelo mesmo.
2.9.2
Descri¸c˜ao do Algoritmo FA
No algoritmo 2.9 ´e fornecida a estrutura fundamental do algoritmo FA para um problema de minimiza¸c˜ao.
Com vista a realizar a implementa¸c˜ao pr´atica, o FA original baseia-se num conjunto de regras em analogia `a sua inspira¸c˜ao natural (Yang, 2010):
1. Um pirilampo pode ser atra´ıdo por qualquer outro, independentemente do sexo;
2. Atratividade ´e proporcional ao brilho. Assim, o pirilampo menos brilhante move-se em dire¸c˜ao ao mais brilhante;
3. Quanto maior for a distˆancia entre dois pirilampos, menor ser´a o brilho e, consequentemente, a atratividade;
2.9. ALGORITMO DOS PIRILAMPOS (FA) 47
in´ıcio t = 0;
gerar uma popula¸c˜ao inicial X; inicializar intensidade de luz Ii;
definir coeficiente de absor¸c˜ao de luz γ; repetir
para cada pirilampo i fazer para cada pirilampo j fazer
se Ii < Ij ent˜ao
xi = xj;
mover o pirilampo j em dire¸c˜ao a i; sen˜ao
variar a atratividade com a distˆancia r;
avaliar as novas solu¸c˜oes e atualizar a intensidade de luz; fim
fim fim
ordenar os pirilampos e encontrar a melhor posi¸c˜ao global; t = t + 1;
at´e condi¸c˜ao de conclus˜ao verificada; fim
Algoritmo 2.9: Algoritmo dos Pirilampos.
4. Caso n˜ao exista nenhum outro pirilampo mais brilhante, o pirilampo move-se aleatoriamente;
5. O brilho de um pirilampo ´e determinado/dependente pela fun¸c˜ao objetivo.
No FA, inicialmente, ´e criada uma popula¸c˜ao de potenciais solu¸c˜oes para o pro- blema PX = (X1, X2, . . . , XN), composta por N pirilampos de dimens˜ao d, que ´e
distribu´ıda aleatoriamente pelo espa¸co de pesquisa. De seguida, s˜ao definidas a va- ria¸c˜ao da intensidade da luz, I, e a atratividade, β. Os pirilampos/solu¸c˜oes s˜ao atra´ıdos/movem-se em dire¸c˜ao a outros que apresentam um brilho/valor de aptid˜ao maior. A intensidade de luz I, varia com a distˆancia relativamente `a sua fonte de
origem Is, sendo esta rela¸c˜ao regida pela express˜ao: I(rij) = Is r2 ij (2.61)
onde rij representa a distˆancia entre o pirilampo i e um outro j.
Por sua vez, para um determinado meio que apresenta um ´ındice de absor¸c˜ao γ, a varia¸c˜ao da intensidade de luz rege-se pela equa¸c˜ao (2.62).
I(rij) = I0· eγr
2
ij (2.62)
onde I0 representa a intensidade de luz inicial ou original.
Segundo uma das regras fundamentais do FA, a atratividade ´e proporcional `a in- tensidade de luz observada pelos pirilampos adjacentes, β ≡ I, podendo-se ent˜ao definir a atratividade segundo a equa¸c˜ao:
β(rij) = β0· eγr
2
ij (2.63)
onde β ´e a atratividade em r = 0. O parˆametro de atratividade tamb´em pode ser calculado recorrendo `a equa¸c˜ao seguinte:
β(rij) =
β0
1 + γr2 (2.64)
Para o c´alculo da distˆancia entre duas solu¸c˜oes i e j escolhidas aleatoriamente, ´e utilizada a seguinte equa¸c˜ao:
rij = ||Xj − Xi|| = v u u t d X k=1 (xk i − xkj)2 (2.65)
Cada solu¸c˜ao (pirilampo) vai ser atra´ıdo e, de seguida, realiza um movimento em dire¸c˜ao ao pirilampo que apresenta uma maior luminosidade, ou seja, um melhor valor de aptid˜ao. Este movimento ´e definido segundo a equa¸c˜ao:
Xi(t + 1) = Xi(t) + β0· e−γr
2 ij · (X
j(t) − Xi(t)) + α · (t) (2.66)
onde Xi(t) representa a posi¸c˜ao do pirilampo numa itera¸c˜ao t. O parˆametro α ∈ [0, 1]
2.9. ALGORITMO DOS PIRILAMPOS (FA) 49
o seu c´alculo, o FA padr˜ao utiliza a equa¸c˜ao (2.67), que apresenta similaridades com o fator de escalonamento do SA:
αt= α0· δt (2.67)
onde α0 representa o fator de escala inicial gerado aleatoriamente e δ ´e uma constante
de decrescimento aleat´oria que est´a compreendida no intervalo 0 < δ < 1. O parˆametro (t) ´e determinado recorrendo `a equa¸c˜ao (2.68), que representa um vetor calculado a partir de uma distribui¸c˜ao Normal/Gaussiana ∈ [0, 1] (Yang,2009a).
(t) = rand(0, 1) − 1
2 (2.68)
Existem outros m´etodos probabil´ısticos que podem ser implementados na rando- miza¸c˜ao do movimento das solu¸c˜oes como por exemplo:
Distribui¸c˜ao Uniforme;
Distribui¸c˜ao Normal/Gaussiana; Voos de L´evy;
etc.
2.9.3
Aplica¸c˜oes em Engenharia do FA
Na seguinte lista, apresentam-se algumas aplica¸c˜oes do FA em v´arias ´areas ci- ent´ıficas:
Nos sistemas de controlo: Ali(2015) aplicou o FA para otimizar os parˆametros do controlador Proporcional Integral (PI) para controlar a velocidade de um motor DC que ´e fornecido energeticamente por um sistema fotovoltaico;
Na ´area de otimiza¸c˜ao energ´etica: Shafiq-ur-Rehman Massan et al. (2015) implementaram o FA com vista a otimizar o tra¸cado e distribui¸c˜ao dos aero- geradores num parque e´olico, maximizando assim a energia produzida;
No processamento de imagem: em (Rahebi e Hardala¸c, 2015) aplicou-se o FA na dete¸c˜ao da localiza¸c˜ao do disco ´otico em imagens da retina humana.
Uma revis˜ao mais aprofundada das aplica¸c˜oes pode ser consultada nos trabalhos desenvolvidos por Fister et al. (2013) e Yang e He (2013).