Calculatrice autorisée 2 heures
Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (4 points)
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12 points
Exercice 1
Écrire A sous forme d’une fraction irréductible (les calculs intermédiaires fi-gureront sur la copie).
2. Donner l’écriture scientifique des deux nombres suivants : B=143,34 et C=0,00456.
Exercice 2
On considère D=350
525. Simplifier la fraction D pour la rendre irréductible.
Exercice 3
3, avecaentier.
2. En déduire l’écriture de E sous la formebp
3, bentier.
Exercice 4
SoitF=(3x−2)2−25.
1. Développer puis réduireF. 2. FactoriserF.
3. Résoudre l’équation (3x−7)(3x+3)=0.
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12 points
Exercice 1
ABCD est un carré de centre O, D milieu du segment [AB′].
1. a. Quelle est l’image du point B par la rotation de centre O et d’angle 90°
dans le sens des aiguilles d’une montre ? (aucune justification n’est de-mandée.)
b. Quel est le symétrique du point B par rapport à la droite (AC) ? (aucune justification n’est demandée.)
2. a. Quelle est l’image de C par la translation qui transforme B en A ? Justifier la réponse.
b. Quelle est la nature du quadrilatère ABCB′? Justifier la réponse.
A
B C
D
O
B
Exercice 2
Soit le triangle ABC tel que AB = 5cm ; AC = 7,5 cm ; BC = 7 cm. On place les points E et F respectivement sur les segments [AB] et [AC] de telle sorte que AE = 2 cm et AF
= 3 cm.
1. Faire la figure en vraie grandeur.
2. Démontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
3. Calculer EF.
Exercice 3
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J) unité le centimètre.
1. Placer les points A(−6 ; 2) ; B(4 ; 2) et C(2 ;−2).
2. a. Lire les coordonnées du vecteur−−→AC . b. Calculer les coordonnées du vecteur−−→BC .
3. a. Recopier et compléter : AB2=... ... (on pourra donner le résultat sans aucune justification)
b. Calculer AC2. c. Calculer BC2.
4. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
5. Calculer l’aire du triangle ABC.
PROBLÈME 12 points
Une entreprise de location de matériel industriel propose les tarifs suivants :
• Tarif A : 50( par jour.
• Tarif B : un versement de 500(au départ, plus 25(par jour.
1. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous :
Nombre de jours de location 4 16 30
Montant de la location avec le tarif A (() Montant de la location avec le tarif B (()
2. Quel est le tarif le plus intéressant pour une location d’une durée de 4 jours ? 3. Soitxle nombre de jours de location. On appellePAle montant de la location pour une durée dex jours avec le tarif A. On appellePBle montant de la location pour une durée dexjours avec le tarif B.
ExprimerPAetPBen fonction dex.
4. a. Résoudre l’équation 25x+500=1100.
b. Donner la signification de la solution de l’équation précédente.
L’année 2003 A. P. M. E. P.
5. Sur un papier millimétré, dans un plan muni d’un repère orthogonal , avec, en abscisses, 1cm pour 2 jours de location et, en ordonnées, 1cm pour 100(.
a. Tracer les représentations graphiques des fonctions affines : x7−→50x et x7−→25z+500
b. Par lecture graphique, donner le nombre de jours de location pour lequel les prix avec les tarifs A et B sont les mêmes. Tracer le trait justificatif en pointillés.
c. Écrire une équation pertinente dont la solution est la réponse à la ques-tion précédente. (on ne demande pas de résoudre cette équaques-tion)
juin 2003 36 La Réunion
Strasbourg
Activités numériques 12 points
Exercice 1
1. Écrire A sous la formeap
boùaetbsont des nombres entiers naturels,b étant le plus petit possible :
A=2p 45−3p
5+p 20.
2. Calculer l’expression suivante B et donner son écriture scientifique : B=150×103×105
6×107 . Exercice 2
On considère l’expression C = (2x+5)2−(x+3)(2x+5).
1. Développer et réduire C.
2. Factoriser C.
3. Résoudre l’équation (2x+5)(x+2)=0.
4. Calculer l’expression C pour x= −2
3. (on mettra le résultat sous la forme d’une fraction irréductible)
Exercice 3
1. Résoudre le système suivant :
½ 4x+3y = 206 2x+2y = 114
2. Lors d’un spectacle, la famille A, composée de 4 adultes et de 3 enfants, a payé 206 euros.
Pour le même spectacle, la famille B, composée de 2 adultes et de 2 enfants, a payé 114 euros.
Combien paiera la famille C, sachant qu’elle est composée de 3 adultes et de 2 enfants ?
L’année 2003 A. P. M. E. P.
Activités géométriques 12 points
Exercice 1
L’unité est le centimètre.
Dans la figure ci-dessous, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Les droites (AD) et (BC) se coupent en E.
On donne DE = 6, AE = 10, AB = 20 et BE = 16.
A B
C D
E F
G
Les deux figures de cette page ne sont pas réalisées en vraie grandeur. Elles ne sont pas à reproduire.
1. Calculer la distance CD.
2. Les points F et G appartiennent respectivement aux segments [BC] et [AB].
Ils vérifient : BF = 12,8 et BG = 16. Montrer que les droites (FG) et (AE) sont parallèles.
Exercice 2
On considère le cône ci-contre de sommet S et dont la base est le disque de rayon [OA].
Ce cône a pour hauteur SO = 8 cm et pour génératrice SA = 10 cm.
I est un point du segment [SO] tel que SI = 2 cm.
A O
S
I
1. Montrer que OA = 6 cm.
2. Montrer que la valeur exacte du volumeVdu cône est égale à 96πcm3. Don-ner la valeur arrondie au mm3près.
3. Déterminer, au degré près, la mesure de l’angleASO.
4. On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base et passant par le point I. La section obtenue est un disque de centre I, réduction du disque de base.
a. Déterminer le rapportkde cette réduction.
b. SoitV′le volume du cône de sommet S et de base le disque de centre I.
ExprimerV′en fonction deV, puis donner la valeur arrondie deV′ au mm3près.
juin 2003 38 Lyon
Exercice 3
Sur la figure de la feuille annexe (à rendre avec la copie), sont représentés huit hexa-gones réguliers. Les constructions demandées dans cet exercice doivent être effec-tuées directement sur cette feuille annexe.
1. Construire le pointMtel que−−→AM =−−→AB+−−→AC .
2. Construire le pointQ, symétrique de H par rapport à la droite (BE).
3. Construire le pointP, image du point C par la rotation de centre E et d’angle 60°dans le sens des aiguilles d’une montre.
Feuille annexe à rendre obligatoirement avec la copie
A
B C
D E F
G
H
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L’année 2003 A. P. M. E. P.
Problème 12 points
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
La figure ci-dessous est une vue de la surface au sol du C.D.I. d’un collège.
Ce C.D.I. doit être réaménagé en deux parties distinctes : une salle de recherche et une salle de travail.
ABCE est un trapèze rectangle tel que AB = 9 m, BC = 8 m et DE = 6 m.
Mest un point du segment [AB].
On pose AM=x(xest une distance exprimée en mètre : 06x69).
La documentaliste souhaite que l’aire de la salle de travail soit égale à celle de la salle de recherche.
1. Dans cette question, uniquement, on suppose :x=1. Calculer l’aire de tra-pèze AMFE (salle de recherche), et l’aire du rectangleMBCF(salle de travail).
2. a. Exprimer, en fonction dex, l’aire du trapèze AMFE.
b. Exprimer, en fonction dex, l’aire du rectangleMBCF.
3. On se propose de représenter graphiquement cette situation à l’aide de deux fonctions affinesf etg.
f est définie par :f(x)= −8x+72 ; gest définie par :g(x)=8x+24.
Sur la feuille de papier millimétrée, construire un repère orthogonal : - l’origine sera placée en bas à gauche,
- en abscisse, on prendra 2 cm pour 1 unité (2 cm pour 1 m), - en ordonnée, on prendra 1 cm pour 4 unités (1 cm pour 4 m2).
Représenter les fonctions affinesf etg, pour 06x69.
4. a. En utilisant le graphique, indiquer la valeur dexpour laquelle, ainsi que l’aire correspondante. Mettre en évidence ces valeurs sur le graphique (pointillés, couleurs...).
b. Retrouver les résultats précédents par le calcul.
PARTIE 2
Dans cette partie, on posex=3,5.
1. Donner en cm, les dimensions de la salle de travail MBCF.
2. On souhaite recouvrir le sol de la salle de travail à l’aide d’un nombre entier de dalles carrées identiques, de côtécentier le plus grand possible.
a. Expliquer pourquoicest le PGCD de 800 et 550.
b. Calculer la valeur dec, en indiquant la méthode utilisée.
juin 2003 40 Lyon
c. Combien de dalles sont nécessaires pour recouvrir le sol de la salle de travail ?
3. Les dalles coûtent 13,50 euros le mètre carré.
Quelle somme devra-t-on payer pour acheter le nombre de dalles nécessaire ?