Existem diversos modelos matemáticos que permitem a predição do tempo de vida de baterias, de acordo com condições especí cas, tais como: predições de alta acurácia ou mais rápidas e predições realizadas por intermédio de variáveis elétricas ou químicas. Os modelos eletroquímicos [18, 53, 78] são altamente complexos e acurados. Conforme o nome sugere, são baseados nas propriedades eletroquímicas das baterias. Os modelos estocásticos [13, 33, 48] são baseados em cadeias de Markov e modelam a descarga e o efeito de recuperação como processos estocásticos [33]. Os modelos analíticos [33, 61] podem ser aplicados aos diferentes tipos de baterias. São modelos de fácil implementação que agregam acurácia aos resultados. Os modelos da teoria de identi cação de sistemas e os modelos elétricos também são utilizados para simular o comportamento das baterias. Mais recentemente, os modelos híbridos têm sido estudados, pois permitem combinar as vantagens de modelos analíticos e modelos elétricos, com isso são obtidos resultados de elevada acurácia.
Nesta seção são apresentados os principais modelos matemáticos provenientes da lite- ratura técnica para a predição do tempo de vida das baterias. Sendo que, o modelo Chen e Rincón-Mora é descrito em detalhes. Tal detalhamento deve-se especi camente a uma equação do modelo, a qual possibilita considerar a perda irreversível de capacidade na predição do tempo de vida das baterias. Dessa forma, esta equação é fundamental para a proposta de extensão do modelo elétrico, pois o modelo matemático da perda irreversível de capacidade será acoplado a ela.
2.5.1 Modelos Eletroquímicos
Os modelos eletroquímicos são baseados nas reações químicas que ocorrem no interior das células de bateria durante a sua descarga. São compostos por EDPs não lineares, fator que confere alta complexidade aos modelos. Entretanto, possuem elevada acurácia para a predição do tempo de vida das baterias, tanto que os dados obtidos por modelos eletroquímicos são utilizados, em alguns trabalhos, como substitutos dos dados experi- mentais [18, 53, 78]. Os dados referentes as descargas de baterias podem ser obtidos, por intermédio do software Fortran Dualfoil, o qual foi desenvolvido a partir da implemen- tação do modelo eletroquímico P2D. No entanto, a utilização desse software exige que o usuário disponha de conhecimentos avançados acerca da bateria, pois é necessário lhe informar cerca de 50 parâmetros do dispositivo [33].
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2.5.2 Modelos Estocásticos
Os modelos estocásticos são baseados em cadeias de Markov para modelar as operações de descarga e o efeito de recuperação das baterias. O efeito de recuperação consiste na reorganização dos elétrons no decorrer do processo de descarga da bateria, assim o dispositivo é capaz de fornecer um pouco mais de energia ao sistema, antes que o nível de cuto seja atingido [33]. Cadeias de Markov são processos baseados na probabilidade de um sistema atingir determinado estado em um tempo futuro [26]. No modelo, o processo estocástico inicia com a bateria totalmente carregada e encerra quando a bateria atinge o nível de cuto, sendo que podem ocorrer períodos ociosos durante a descarga, fator que permite a recuperação parcial da carga. Contudo, modelos estocásticos são limitados, pois consideram somente o efeito de recuperação das baterias [13,48].
2.5.3 Modelos Analíticos
Os modelos analíticos são compostos por expressões analíticas formuladas a partir de parâmetros e propriedades físicas das baterias. O conjunto reduzido de equações e sua facilidade de implementação tornam esses modelos aplicáveis aos diversos tipos de baterias [34]. Os modelos analíticos mais simples são o Linear [33], o modelo baseado na Lei de Peukert [34] e na Lei de Peukert Estendida [22]. A principal diferença entre eles é que o modelo Linear não considera os efeitos não lineares que ocorrem durante a descarga, enquanto a Lei de Peukert captura a relação não linear entre a vida útil e a taxa de descarga da bateria. Dentre os modelos analíticos que consideram as não linearidades do processo de descarga, destaca-se o modelo de KiBaM (Kinetic Battery Model) [33] que está fundamentado no processo cinético químico, ou seja, na velocidade das reações químicas ocorridas durante o processo de descarga das baterias. O modelo de Difusão de Rakhmatov-Vrudhula (modelo RV) [52] descreve a evolução unidimensional da concentração de elementos eletroativos no eletrólito a partir da difusão dos íons. É composto por um sistema de EDPs e considerado, pela literatura técnica, de alta acurácia.
2.5.4 Modelos via Identi cação de Sistemas
A modelagem matemática via Identi cação de Sistemas consiste na descrição de de- terminado processo sem envolver todas as leis físicas que o regem. Modelos matemáticos via Identi cação de Sistemas podem ser obtidos por meio da modelagem caixa-preta ou caixa-cinza. Ambos os métodos modelam o sistema com base em causa e efeito, ou seja, embasados nos parâmetros de entrada e nos dados experimentais obtidos na saída do sis- tema. A diferença entre as modelagens está relacionada com o conhecimento prévio do
Capítulo 2. Revisão Bibliográ ca 23 sistema, sendo que tal conhecimento é inexistente na modelagem caixa-preta e super cial na modelagem caixa-cinza [2].
2.5.5 Modelos Híbridos
Os modelos híbridos pertencem a uma categoria mais recente de modelos matemáti- cos empregados na predição do tempo de vida das baterias, e são capazes de reunir as vantagens de duas categorias de modelos, são exemplos de modelos híbridos, os modelos de Kim [35], Zhang [79] e Gomes [25], todos compostos pela união do modelo elétrico Chen e Rincón-Mora com os modelos analíticos Kinetic Battery Model (KiBaM), RV e Lei de Peukert Estendida, respectivamente. Os modelos híbridos reúnem as vantagens de capturar as características dinâmicas da bateria e a acurada resposta de tensão do modelo elétrico e os efeitos não lineares - efeito de recuperação e efeito de taxa de capacidade - do modelo analítico [35]. Sendo que, o efeito de taxa de capacidade está intimamente associado ao efeito de recuperação, ou seja, trata-se da perda reversível da capacidade de fornecer energia quando não há tempo su ciente para ação do efeito de recuperação [61].
2.5.6 Modelos Elétricos
Os modelos elétricos, também denominados modelos de circuitos elétricos, são capazes de capturar características não lineares do processo de descarga, tais como o efeito de recuperação e os efeitos térmicos. A acurácia desses modelos situa-se entre a acurácia dos modelos analíticos e eletroquímicos. Os principais modelos elétricos são o modelo baseado em Thevenin, o modelo Chen e Rincón-Mora e o modelo Tremblay, no qual a bateria é modelada, a partir de uma fonte de tensão controlada que encontra-se em série com uma resistência interna constante [12]. O modelo baseado em Thevenin, Figura 2.1, inclui resistores e uma rede Resistiva Capacitiva (RC) em série, a m de simular o comportamento dinâmico das baterias.
Figura 2.1: Modelo baseado em Thevenin [12].
Capítulo 2. Revisão Bibliográ ca 24 qual é composto pelo resistor Rseries e pela rede resistiva capacitiva paralela formada do
resistor Rtransisent e do capacitor Ctransient. O resistor Rself −discharge representa o efeito de
auto-descarga da bateria, enquanto Rseries representa sua resistência interna e a rede RC
representa o comportamento transiente da bateria [12].
A seguir, o modelo elétrico Chen e Rincón-Mora é descrito com maior nível de de- talhamento, pois possui uma equação de interesse, a qual permite considerar a perda irreversível de capacidade, por meio da inclusão de um modelo matemático, durante a predição do tempo de vida das baterias.
Modelo Elétrico Chen e Rincón-Mora
O modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I, proposto por Chen e Rincón-Mora, trata-se de uma combinação entre dois modelos elétricos [12], o Runtime e as redes resistiva capacitiva semelhantes aos modelos baseados em Thevenin [56]. Na aplicação desse modelo podem ser consideradas tanto a degradação das células de bateria, quanto os efeitos da temperatura, por meio da seguinte equação:
Ccapacity = 3600 · Capacity · f1(ciclo) · f2(temp), (2.24)
em que, Capacity é a capacidade nominal da bateria em Ah, f1(ciclo) e f2(temp) são
funções do número de ciclo e da temperatura, respectivamente.
Na Figura 2.2 está ilustrado o modelo elétrico Chen e Rincón-Mora, sendo que o circuito (a) representa a capacidade de armazenamento de energia da bateria, assim como a carga armazenada durante os processos de carga ou descarga. O circuito (b) descreve o comportamento da tensão nal da bateria sob condição de variação de carga e do estado de carga.
Figura 2.2: Modelo Elétrico Chen e Rincón-Mora [12].
Na Figura 2.2 apresenta-se o modelo na forma de circuito elétrico, mas cada um de seus componentes pode ser descrito matematicamente, pelas seguintes equações:
Capítulo 2. Revisão Bibliográ ca 25
Voc[SOC(t)] = a0ea1[SOC(t)]+ a2+ a3[SOC(t)] − a4[SOC(t)]2+ a5[SOC(t)]3, (2.25)
em que, Voc é a tensão de circuito aberto que varia em função do estado de carga SOC,
o qual varia a cada instante de tempo e a0· · · a5 são parâmetros do modelo,
Rseries[SOC(t)] = b0e−b1[SOC(t)]+ b2+ b3[SOC(t)] − b4[SOC(t)] 2
+ b5[SOC(t)] 3
, (2.26) em que, Rseries é o resistor responsável pela perda de tensão instantânea e b0· · · b5 são
parâmetros do modelo,
Rtransient_S[SOC(t)] = c0ec1[SOC(t)]+ c2, (2.27)
em que, Rtransient_S é o resistor responsável pela resposta transiente de curta duração,
enquanto c0, c1 e c2 são parâmetros do modelo,
Ctransient_S[SOC(t)] = d0ed1[SOC(t)]+ d2, (2.28)
em que, Ctransient_S é o capacitor responsável pela resposta transiente de curta duração,
enquanto d0, d1 e d2 são parâmetros do modelo,
Rtransient_L[SOC(t)] = f0ef1[SOC(t)]+ f2, (2.29)
em que, Rtransient_L é o resistor responsável pela resposta transiente de longa duração,
enquanto f0, f1 e f2 são parâmetros do modelo,
Ctransient_L[SOC(t)] = g0eg1[SOC(t)]+ g2, (2.30)
em que, Ctransient_L é o capacitor responsável pela resposta transiente de longa duração,
enquanto g0, g1 e g2 são parâmetros do modelo,
Vbatt(t) = Voc− IbattRseries− Vtransient(t), (2.31)
em que, Vbatt é a tensão de saída, Ibatt é a corrente de descarga e Vtransient é a tensão
transiente, dada por:
Vtransient(t) = Vtransient_S(t) +transient_L(t), (2.32)
Capítulo 2. Revisão Bibliográ ca 26 a tensão de longa duração, dada pela equação (2.35), ou seja:
Vtransient_S = Rtransient_SIbatt(t) 1 − e −t − t0 τS , se t0 < t < td Vtransient_S(td)e −t − td τS , se td< t < tr (2.33)
em que, t0 é o instante inicial da descarga, td é o tempo de descarga e τS é a relação entre
resistência e capacitância, dada por:
τS = Rtransient_SCtransient_S, (2.34) Vtransient_L= Rtransient_LIbatt(t) 1 − e −t − t0 τL , se t0 < t < td Vtransient_L(td)e −t − td τL , se td< t < tr (2.35)
em que, tr é o tempo restante após a descarga completa e τL é dado por:
τL= Rtransient_LCtransient_L. (2.36)
O modelo elétrico Chen e Rincón-Mora é capaz de capturar as características elétricas e dinâmicas das baterias, com isso seus resultados de tempo de vida são relativamente acurados [12].