La diffusion des neutrons
Ce quatrième chapitre a pour objet d’introduire et de présenter les notions de base et les différents aspects théoriques de la diffusion des neutrons. Nous décrirons dans un premier temps les principales propriétés du neutron qui en font un outil d’investigation unique pour sonder la matière condensée. Nous rappellerons ensuite les principes de base de la diffusion des neutrons ainsi que les différentes grandeurs qui la caractérisent, dans le but de parvenir à l’équation maîtresse de la diffusion des neutrons qui permet d’interpréter la très grande majorité des expériences. Pour finir, nous nous focaliserons sur les deux types d’interaction qui existent entre la matière et les neutrons, responsables de la diffusion d’origine nucléaire et magnétique.
4.1 – Les propriétés du neutron
Le neutron est une particule nucléaire (nucléon) qui a été découverte par James Chadwick en 1932. Ses principales caractéristiques sont résumées dans le Tableau 4-1. Cette particule a la particularité d’avoir une charge électrique nulle et peut, de ce fait, pénétrer en profondeur dans la matière sans être perturbée par une barrière coulombienne. Une fois produits par fission nucléaire ou par spallation, les neutrons libres ont une durée de vie d’environ 886 secondes.
Masse
Charge électrique
Spin
Moment magnétique
Durée de vie
Tableau 4-1 – Principales caractéristiques du neutron. (Source : National Institute of Standards and Technology)
Les neutrons ont été utilisés pour la première fois par Clifford Shull et Ernest Wollan en 1946 pour des expériences de diffusion. Cette technique s’est depuis constamment développée pour concerner aujourd’hui tous les aspects de la matière condensée : physique, chimie, biologie, science des matériaux, etc. Il s’agit d’un outil tout à fait exceptionnel car comme nous allons le
voir, les neutrons de faible énergie (dits aussi lents ou thermiques) possèdent des propriétés singulières et particulièrement bien adaptées pour sonder la matière condensée.
Les neutrons peuvent être caractérisés indifféremment par leur quantité de mouvement et leur énergie en ce qui concerne leur description corpusculaire, et par leur longueur d’onde de De Broglie (ou leur vecteur d’onde ) et leur pulsation dans le cadre de leur description ondulatoire. Par la suite, nous décrirons l’état de propagation des neutrons uniquement par leur vecteur d’onde puisque toutes les autres grandeurs peuvent être déduites directement de par les relations suivantes :
(4.1) (4.2) (4.3) (4.4)
L’expression (4.3) qui lie la pulsation et le nombre d’onde est appelée relation de dispersion du neutron libre. La fonction d’onde associée à un faisceau monochromatique de neutrons libres peut se mettre de manière générale sous la forme d’une onde plane :
(4.5)
où est une constante de normalisation de la fonction d’onde, et sont respectivement le vecteur d’onde et la pulsation desquels on peut déduire directement la quantité de mouvement et l’énergie des neutrons par : et . Nous allons voir par la suite que la grande utilité des neutrons thermiques pour sonder la matière condensée réside en ses principales propriétés de base (charge électrique, masse et spin) listées dans le Tableau 4-1.
4.1.1 – Une charge électrique nulle
Tout d’abord, le fait que le neutron possède une charge électrique nulle ne signifie pas seulement qu’il peut pénétrer en profondeur dans la matière mais aussi s’approcher très près des noyaux atomiques puisqu’il n’y a pas de barrière coulombienne à franchir. Les neutrons peuvent alors interagir avec eux par l’intermédiaire de la force nucléaire forte et cette interaction, à l’origine de la diffusion dite nucléaire, sera détaillée dans la partie 4.4 de ce chapitre. Comme nous le verrons, la force de cette interaction nucléaire varie de manière stochastique en fonction des noyaux atomiques, ce qui permet par exemple de pouvoir distinguer les isotopes d’un même élément chimique ou de sonder des atomes très légers tel l’hydrogène, quasiment invisible aux rayons X.
4.1.2 – Une masse adaptée pour l’étude de la matière condensée
Pour toutes les expériences de diffusion, les neutrons issus de la réaction nucléaire (fission ou spallation) sont fortement ralentis, ou thermalisés, pour atteindre des valeurs de longueur d’ondeou d’énergie adéquates pour l’étude de la matière condensée. La thermalisation des neutrons s’effectue par collisions inélastiques avec un matériau (appelé modérateur) généralement constitué d’atomes légers (eau, graphite, béryllium) pour que les neutrons cèdent efficacement leur énergie après quelques dizaines de chocs. Typiquement, la vitesse moyenne des neutrons dits thermiques (c'est-à-dire thermalisés par un modérateur – en général de l’eau – à une température de ) est d’environ . Ils peuvent dès lors être traités de manière non-relativiste et leur quantité de mouvement est donnée par le produit classique . La longueur d’onde associée vaut alors :
(4.6)
c'est-à-dire une longueur d’onde de l’ordre de l’Angström qui est du même ordre de grandeur que les distances inter-atomiques dans la matière condensée (solides, liquides), ce qui permet, en étudiant les phénomènes d’interférence inhérents, de remonter à la structure du système diffusant. L’énergie des neutrons correspond simplement à leur énergie cinétique et est donnée par la relation classique :
(4.7)
Les neutrons thermiques ont donc une énergie de l’ordre de la dizaine de milli-électronvolt qui correspond généralement à la gamme d’énergie des excitations (phonons, magnons, …) dans la matière condensée.
Ainsi, la masse du neutron est tout à fait favorable pour l’étude de la matière condensée puisque sa valeur est telle que, lorsque les neutrons sont ralentis à une vitesse adéquate de quelques milliers de , leur longueur d’onde est comparable avec les distances inter-atomiques tandis que, dans le même temps, leur énergie est du même ordre de grandeur que les excitations dans la matière condensée. La masse du neutron permet donc de satisfaire ces deux exigences à la fois. Ceci est à distinguer des rayons X où l’énergie d’un photon de longueur d’onde est de l’ordre d’une dizaine de kilo-électronvolt soit six ordres de grandeur de plus. Le neutron est donc la seule sonde qui permet d’avoir accès en même temps à la structure du système diffusant, par des phénomènes d’interférences (diffraction), et à des processus dynamiques, par spectroscopie (diffusion inélastique). C’est ce qui en fait un outil d’investigation unique de la matière.
4.1.3 – Un moment magnétique de spin qui interagit avec les
moments électroniques
Le neutron est un fermion et possède dès lors un moment cinétique de spin . Bien que sa charge électrique soit nulle, il possède un moment magnétique résiduel qui s’exprime en fonction de son spin (normalisé par , donc sans dimension) par la relation :
(4.8)
où est le magnéton nucléaire ( et correspondent respectivement à la charge électrique et à la masse du proton) et est un nombre sans dimension appelé facteur de Landé du neutron qui vaut : . Ce moment magnétique provient du fait que le neutron n’est pas une particule élémentaire mais est constitué de trois quarks (un quark
up et deux quarks down) qui possèdent chacun une charge électrique et un moment magnétique non nuls. Ainsi, bien que la charge globale de ces quarks se compense exactement, ce n’est pas le cas de leur moment magnétique. En d’autres termes, le neutron est neutre d’un point de vue électrique mais ne l’est pas du point de vue magnétique. Il est semblable à un petit aimant, et il se comporte magnétiquement comme une particule de charge négative (le signe moins dans l’Eq. (4.8) indique en effet que son moment magnétique est antiparallèle à son moment cinétique de spin).
A la place de l’opérateur de spin du neutron, il sera souvent avantageux d’utiliser l’opérateur de spin de Pauli (opérateur de spin normalisé) défini par :
(4.9)
et dont les trois composantes sont les trois matrices de Pauli :
(4.10)
qui ont chacune pour valeurs propres définissant deux états de spin notés et . Ainsi, en plus de l’état de propagation , nous pourrons définir un état de polarisation du neutron par l’intermédiaire d’une fonction d’onde de spin notée qui s’écrit comme une combinaison linéaire de ces deux états (voir partie 5.1.1). En utilisant l’Eq. (4.9), nous pouvons écrire (4.8) sous la forme suivante :
(4.11)
avec : . Le moment magnétique porté par le neutron est petit et vaut : soit trois ordres de grandeur inférieurs aux moments magnétiques
électroniques (magnéton de Bohr électronique ). Mais cela lui permet tout de même d’interagir avec les champs magnétiques à l’intérieur de la matière, en particulier ceux produits par les électrons non-appariés. Cette interaction entre les neutrons et les électrons non-appariés est à l’origine d’une diffusion dite magnétique qui sera traitée dans la section 4.5. La diffusion des neutrons a ainsi permis des avancées considérables pour la compréhension du magnétisme dans la matière condensée.
4.2 – Principe de la diffusion des neutrons
Une des façons d’explorer la matière condensée consiste à diriger un faisceau de particules incidentes (qui jouent le rôle de sonde) sur une cible constituée de particules ou d’atomes et à étudier les collisions qui en résultent. On examine alors les différentes particules qui composent l’état final du système, c'est-à-dire l’état après les collisions, et on mesure leurs caractéristiques (direction d’émission, énergie, …). L’état final dans de telles expériences de collisions peut être très complexe et le but d’une telle étude est évidemment de déterminer les interactions qui existent entre les diverses particules intervenant dans la collision.
Parmi tous les processus possibles de collision, on désigne sous le nom de diffusions ceux pour lesquels l’état final est constitué des mêmes particules que l’état initial. Ces processus se produisent
principalement lorsque l’énergie des particules incidentes est faible. De plus, on parle de diffusion élastique si l’état interne (en particulier l’énergie) des particules ne change pas lors de la collision. Une expérience basique de diffusion de neutrons consiste donc à envoyer sur un échantillon-cible un faisceau de neutrons lents, préparés dans un état initial donné (il s’agit en général d’un faisceau incident monochromatique caractérisé par son vecteur d’onde et éventuellement par son état de polarisation ). Les neutrons vont alors entrer en collision avec les particules de la cible et être déviés sous l’effet d’un certain potentiel d’interaction . L’étude consiste alors à analyser l’état final des neutrons diffusés, qui peuvent être caractérisés loin de la cible par leur vecteur d’onde final (qui peut différer de à la fois en direction et en module) et éventuellement par leur état de polarisation final . Durant le processus de diffusion, le neutron peut en effet échanger une certaine quantité de mouvement ainsi qu’une certaine quantité d’énergie avec la cible, qui sont données par :
(4.12)
et :
(4.13)
La quantité , homogène à l’inverse d’une longueur, est appelée vecteur de diffusion. Son inverse définit une distance caractéristique entre les éléments diffuseurs à laquelle le rayonnement de neutrons sera particulièrement sensible. Enfin, la quantité est homogène à l’inverse d’un temps qui correspond à un temps caractéristique pour les processus dynamiques sondés par le neutron.
La géométrie typique d’une expérience de diffusion de neutrons est montrée dans la Figure 4-2.
Figure 4-2 – Géométrie d’une expérience de diffusion de neutrons.
Détecteur
Neutrons incidents Cible
Soit la direction suivant laquelle arrivent les neutrons sur la cible. Appelons
la densité de flux des neutrons incidents, c'est-à-dire le nombre de neutrons traversant par unité de temps une surface unité perpendiculaire à . Le potentiel d’interaction entre les neutrons et la cible, noté , est localisé autour de l’origine des coordonnées et agit seulement dans un domaine spatial restreint défini par .
On place au point , loin de la région où règne ce potentiel , et dans la direction repérée par les angles polaires et (faisant un angle par rapport au faisceau incident), un détecteur de surface sensible , perpendiculaire au vecteur qui le relie à la cible. Cette surface peut alors être vue depuis le centre diffuseur sous l’angle solide :
(4.14)
Le nombre de neutrons diffusés par unité de temps qui arrivent sur la surface est évidemment proportionnel à mais varie en à mesure que l’on s’éloigne de l’échantillon. La quantité
d’intérêt qui est mesurée lors d’une expérience de diffusion est le nombre de neutrons
diffusés par unité de temps dans l’angle solide qui a l’avantage d’être indépendante de . Cette quantité est proportionnelle à la densité de flux incident et à :
(4.15)
Dans le cas le plus général où l’on considère que les neutrons peuvent échanger de l’énergie avec la cible et où l’on dispose d’un analyseur capable de déterminer l’énergie des neutrons diffusés, ce qui est mesuré est la fraction de neutrons diffusés sous l’angle solide autour de la direction et avec une certaine énergie finale comprise entre et . Le flux de neutrons diffusés est, dans ce cas, proportionnel à , et :
(4.16)
si bien que le coefficient de proportionnalité – qui est la grandeur pertinente à mesurer puisqu’elle ne dépend que des caractéristiques intrinsèques de diffusion de l’échantillon-cible – est appelé la section efficace différentielle partielle de diffusion et est noté :
é
(4.17)
Comme a la dimension , la section efficace différentielle partielle est homogène à
une surface par unité d’énergie. Elle s’exprime en général en barns par stéradian et par unité d’énergie. (On rappelle que : .)
Si l’on n’analyse pas l’énergie des neutrons diffusés ou si l’on considère qu’il n’y a pas d’échange d’énergie entre les neutrons et l’échantillon-cible (processus de diffusion élastique), et que l’on compte tous les neutrons diffusés sous l’angle solide , on mesure la section efficace différentielle de diffusion exprimée en barns par stéradian :
é
(4.18)
Enfin, si l’on intègre les neutrons diffusés dans toutes les directions de l’espace, nous arrivons à la section efficace de diffusion totale qui s’exprime simplement en barns :
é
(4.19)
Les intensités réellement mesurées dans toutes les expériences de diffusion de neutrons sont en réalité proportionnelles à ces sections efficaces différentielles de diffusion. Le coefficient de proportionnalité contient notamment des termes expérimentaux tels que le facteur de Lorentz (cas de la diffraction) ainsi que des termes de volume liés à la taille de l’échantillon diffuseur.
La mesure de ces sections efficaces différentielles de diffusion va permettre, comme nous allons le voir par la suite, d’avoir accès au potentiel d’interaction (d’origine nucléaire et magnétique) qui existe entre les neutrons et les constituants diffuseurs de la cible. La mesure de ces quantités fournit donc des informations uniques sur ses propriétés microscopiques.
4.3 – Equation de la diffusion
Dans cette partie, nous allons nous attacher à établir les relations de base qui lient les sections efficaces différentielles de diffusion que nous venons de définir plus haut, au potentiel d’interaction qui existe entre les neutrons et l’échantillon-cible. Cette relation générale constitue l’équation (maîtresse) de la diffusion de neutrons et s’appuie sur quelques approximations que nous détaillerons. Nous allons ici établir cette équation, dans un premier temps, dans le cas d’une diffusion élastique où l’on néglige le spin du neutron. Nous pourrons ensuite généraliser l’équation obtenue pour établir l’équation maîtresse de la diffusion.
4.3.1 – Diffusion élastique négligeant le spin du neutron
4.3.1.1 – Amplitude de diffusion d’un atome isolé
Intéressons nous tout d’abord au cas général mais relativement simple de la diffusion par un atome fixe et isolé. Ce problème de diffusion est illustré sur la Figure 4-3.
Figure 4-3 – Schéma de diffusion par un atome fixe et isolé.
Onde incidente Onde sphérique diffusée
Détecteur Beam-stop
Atome
Le faisceau incident de neutrons qui se propage dans la direction arrive sur un atome isolé placé à l’origine des coordonnées . La fonction d’onde du neutron incident prend la forme d’une onde plane caractérisée par son nombre d’onde :
(4.20)
Cet atome va interférer avec les neutrons par l’intermédiaire d’un potentiel d’interaction à symétrie sphérique et se comporter comme une source secondaire en diffusant les neutrons dans toutes les directions. L’élément-cible émet donc une onde dont on ne connaît pas l’expression à son voisinage immédiat, mais dont on connaît la forme asymptotique (c'est-à-dire à grande distance devant les dimensions de l’atome) : il s’agit d’une onde sphérique notée , centrée
sur l’atome :
(4.21) où est une fonction caractéristique de l’élément diffuseur, qui a la dimension d’une longueur et qui est appelée amplitude de diffusion. Cette quantité représente « la réponse » de l’atome (ou de manière générale, de l’élément diffuseur) au rayonnement incident et caractérise la manière dont celui-ci va diffuser ce rayonnement dans les différentes directions de l’espace. Autrement dit, elle module l’onde sphérique diffusée par l’atome en fonction des angles polaires et . Cette amplitude de diffusion dépend principalement du potentiel d’interaction à la longueur d’onde entre la sonde et l’élément diffuseur. Dans le cas des neutrons, cette amplitude de diffusion a une composante nucléaire et magnétique et nous considérerons qu’elle ne dépend pas de l’énergie incidente des neutrons (dans toute la gamme d’énergie des neutrons thermiques). Notons également que le signe moins dans l’Eq. (4.21) est arbitraire : il est choisi de telle sorte qu’une valeur positive de corresponde à un potentiel répulsif et inversement [1].
La densité de flux de neutrons incidents est proportionnelle au carré du module
de la fonction d’onde incidente :
(4.22)
où est un coefficient de proportionnalité. La densité de flux de neutrons diffusés
à n’importe quel point de l’espace est de la même manière
proportionnelle au carré du module de la fonction d’onde diffusée :
(4.23)
et peut donc s’exprimer en fonction de et de l’amplitude de diffusion, en utilisant les Eqs.
(4.21) et (4.22), par la relation :
(4.24) Nous pouvons alors exprimer le nombre de neutrons diffusés par unité de temps qui arrive sur une section par : , ou encore en
fonction de l’angle solide en utilisant la relation (4.14) :
Nous retrouvons ainsi une expression similaire à celle de l’Eq. (4.15) où est
directement proportionnel au produit . Le coefficient de proportionnalité que l’on a défini
comme étant la section efficace différentielle de diffusion d’après l’Eq. (4.18), est donc égal au carré du module de l’amplitude de diffusion de l’atome :
(4.26)
Ceci est une relation tout à fait générale permettant de déterminer la section efficace différentielle à partir de l’amplitude de diffusion dans le cas d’un processus de diffusion élastique.
4.3.1.2 – Amplitude de diffusion d’un cristal – Facteur de structure et loi de
Bragg
Dans le cas de la diffusion par un solide cristallin (qui présente un ordre à longue distance de ses éléments diffuseurs), l’onde diffractée au point (à la position du détecteur, loin de l’échantillon) résulte des interférences entre les ondes sphériques diffusées par tous les atomes du cristal. On démontre dans l’ANNEXE B que cette onde diffractée au point et qui arrive suivant un vecteur d’onde (on considère toujours ici un processus de diffusion élastique : ) s’écrit sous la forme d’une onde sphérique dont l’amplitude est modulée par le produit de deux quantités indépendantes et :
(4.27)
Le terme est appelé facteur de structure de la maille et s’exprime sous la forme d’une somme pondérée des amplitudes de diffusion de tous les atomes de la maille, situés aux positions :
(4.28) où est le vecteur de diffusion. Le terme est associé à la périodicité des mailles du cristal. On montre que ce terme peut s’écrire tel que [2] :
(4.29) où est le nombre de mailles de volume contenues dans le cristal et
est un vecteur du réseau réciproque.
Par identification de l’Eq. (4.27) établie dans le cas de la diffusion par un cristal avec l’Eq. (4.21) définie dans le cas d’un atome isolé, nous pouvons définir une amplitude de diffusion élastique pour le cristal : . La section efficace différentielle élastique pour le cristal
est alors égale, d’après l’Eq. (4.26), au carré du module de l’amplitude de diffusion : (4.30)
Le processus de diffusion décrit par l’Eq. (4.30) désigne une diffusion de Bragg. Il est évident d’après cette expression de la section efficace différentielle que cette diffusion est fortement anisotrope puisqu’elle ne se produit que pour une orientation particulière des vecteurs d’onde des neutrons, de telle sorte que : . Les pics de diffraction qui apparaissent le long
du vecteur d’onde des neutrons diffusés , quand a la bonne orientation (et la bonne valeur) par rapport à l’orientation du cristal, sont appelés pics de Bragg. L’intensité de ces pics est modulée par le carré du module du facteur de structure de la maille . Il n’y a idéalement aucune diffusion en dehors de ces pics de Bragg.
L’expression (4.28) du facteur de structure est une expression simplifiée puisqu’en réalité, dans un