La différentiabilité d’une fonctionf en un pointx0correspond à l’existence d’une approximation linéaire de la fonction au voisinage du point (x0,f(x0)) du graphe de la fonction.
Pour les fonctions d’une seule variable, cette approximation linéaire est fournie par la droite tangente impliquant directement l’équivalence entre la dérivabilité et la différentiabilité. Il n’était donc pas nécessaire d’ajouter une définition.
Rappels Soitf une fonction à valeurs réelles définie surIun intervalle ouvert deR. On dit quef est différentiableen x0∈Is’il existe une constante réelleAet une fonctionεdéfinie au voisinage de 0 tels que
f(x)=f(x0)+A(x−x0)+(x−x0)ε(x) avec lim
x→x0ε(x)=0 qu’on peut réécrire, en notanth=x−x0, comme
f(x0+h)=f(x0)+Ah+hε(h) avec lim
h→0ε(h)=0.
On peut montrer quef est différentiable enx0ssi elle est dérivable enx0. De plus, la constanteAestf0(x0) et on retrouve le développement limité def à l’ordre 1 au voisinage dex0:
f(x)=f(x0)+f0(x0)(x−x0)
| {z }
Équation droite tangente
+o(x−x0)
qu’on peut réécrire, en notanth=x−x0, comme
f(x0+h)=f(x0)+f0(x0)h+o(h).
Par conséquent,f est différentiable enx0ssi
x→xlim0
f(x)−f(x0)−f0(x0)(x−x0)
x−x0 =0
qu’on peut réécrire, en notanth=x−x0, comme lim
h→0
f(x0+h)−f(x0)−f0(x0)h
h =0.
Sif est dérivable/différentiable enx0∈Ion peut définir la fonction dfx0: ]0−δ; 0+δ[⊂R→R
x−x07→(x−x0)f0(x0), ce qui équivaut, en notanth=x−x0, à
dfx0: ]0−δ; 0+δ[⊂R→R h7→h f0(x0), appeléedifférentielle de f au point x0.
En générale on noteh=(x−x0)=dxet on écrit
df(x0)=f0(x0) dx.
Par conséquent on a la définition/notation suivante : 3.7 Définition (Différentielle)
En tout pointxoùf est dérivable/différentiable, on définit ladifférentielle de f comme df(x)=f0(x) dx.
Dans le cas des fonctions de deux variables et plus, l’équivalence disparaît entre l’existence des dérivées partielles, d’une part, et celle d’un plan tangent, d’autre part. Cela provient du fait que la dérivabilité repose seulement sur des limites le long de directions particulières. La dérivabilité apparaît donc comme un concept trop faible pour garantir l’existence d’un plan tangent et la notion de différentiabilité va combler ce déficit.
Pour les fonctions de deux variables, l’intuition géométrique peut encore servir de guide. Ainsi, si la fonctionf est dérivable en (x0,y0), on peut affirmer l’existence de deux droites tangentes, chacune par rapport à la trace verticale du graphe dans les plans d’équationx=x0ety=y0. Dans le meilleur des cas, ces deux droites, nécessairement concourantes en (x0,y0,f(x0,y0)), forment un plan qui est tangent au graphe. Toutefois, certaines irrégularités peuvent surgir (par exemple, la présence d’une discontinuité en (x0,y0)) qui excluent l’existence d’un plan tangent. Dans pareil cas, les deux droites existent et définissent un plan qui n’est pas un plan tangent, parce qu’un tel plan n’existe pas. Ces deux droites déterminent donc un «candidat plan tangent», dont l’existence doit encore être vérifiée.
Plus généralement, la différentiabilité d’une fonction denvariables, dérivable au pointx0, s’étudie en deux étapes. La première consiste à introduire la «candidate différentielle». La seconde teste si cette candidate constitue effectivement une approximation locale de l’accroissement de la fonction. Les définitions suivantes précisent ces notions.
3.8 Définition (Fonction différentiable)
Soitf une fonction à valeurs réelles définie surDune partie ouverte deR2. On dit quef est différentiableen (x0,y0)∈D s’il existe deux constantes réellesAetBet une fonctionεdéfinie au voisinage de (0, 0) telles que
f(x,y)=f(x0,y0)+A(x−x0)+B(y−y0)+ k(x−x0,y−y0)kε(x,y) avec lim
(x,y)→(x0,y0)ε(x,y)=0 qu’on peut réécrire, en notant (h,k)=(x−x0,y−y0), comme
f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+h A+kB+ k(h,k)k²(h,k) avec lim
(h,k)→(0,0)²(h,k)=0
aveck·kune norme quelconque deR2.
La différentiabilité est une notion plus forte que la continuité et que la dérivabilité : 3.9 Théorème
Soitf une fonction à valeurs réelles définie sur une partie ouverteDdeR2. Sif est différentiable en (x0,y0)∈D, alorsf est continue et dérivable en (x0,y0) et l’on aA=∂xf(x0,y0) etB=∂yf(x0,y0).
EXEMPLE
1. La fonctionf:R2→Rdéfinie par
f(x,y)= ( x y2
x2+y4 si (x,y)6=(0, 0) 0 si (x,y)=(0, 0)
n’est pas continue en (0, 0) puisque limy→0f(y2,y)=126=f(0, 0). Elle n’est donc pas différentiable en (0, 0).
2. La fonctionf :R2→Rdéfinie parf(x,y)= |x| + |y|n’est pas dérivable en (x, 0) pour toutx∈Ret n’est pas dérivable en (0,y) pour touty∈R, donc n’est pas différentiable en tous ces points.
Si on choisit la norme euclidienne nous avonsk(x−x0,y−y0)k =p
(x−x0)2+(y−y0)2et donc
ε(x,y)= f(x,y)−f(x0,y0)−(x−x0)∂xf(x0,y0)−(y−y0)∂yf(x0,y0)
p(x−x0)2+(y−y0)2 ce qui équivaut, en notant (h,k)=(x−x0,y−y0), àk(h,k)k =p
h2+k2et donc
ε(h,k)= f(x0+h,y0+k)−f(x0,y0)−h∂xf(x0,y0)−k∂yf(x0,y0)
ph2+k2 .
On peut alors énoncer le théorème suivant : 3.10 Théorème
Soit f une fonction à valeurs réelles définie surDune partie ouverte deR2. Soit (x0,y0)∈Dun point en lequel f est continue et dérivable.
f est différentiable en (x0,y0) ssi
(x,y)lim→(x0,y0)
f(x,y)−f(x0,y0)−(x−x0)∂xf(x0,y0)−(y−y0)∂yf(x0,y0) p(x−x0)2+(y−y0)2 =0 ce qui équivaut, en notant (h,k)=(x−x0,y−y0), à
(h,k)→(0,0)lim
f(x0+h,y0+k)−f(x0,y0)−h∂xf(x0,y0)−k∂yf(x0,y0)
ph2+k2 =0.
3.11 Théorème
Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur une partie ouverteDdeR2. Soit (x0,y0)∈D. Sif est de classeC1au voisinage de (x0,y0), alorsf est différentiable en (x0,y0). La réciproque est fausse.
Notons que les fonctions élémentaires telles que les polynômes, les fonctions exponentielles, logarithmiques et trigono-métriques sont automatiquement différentiables dans leur domaine respectif et que les propriétés de différentiabilité relatives aux sommes, produits, etc., existent.
Soitf une fonction à valeurs réelles définie sur une partie ouverteDdeR2. Sif est différentiable en (x0,y0)∈Don peut définir la fonction
df(x0,y0):B((0, 0),δ>0)⊂R2→R
(x−x0,y−y0)7→(x−x0)∂xf(x0,y0)+(y−y0)∂yf(x0,y0), ce qui équivaut, en notant (h,k)=(x−x0,y−y0), à
df(x0,y0):B((0, 0),δ>0)⊂R2→R
(h,k)7→h∂xf(x0,y0)+k∂yf(x0,y0),
appeléedifférentielle de f au point(x0,y0).
En générale on noteh=(x−x0)=dx,k=y−y0= dyet on écrit
df(x0,y0)=∂xf(x0,y0) dx+∂yf(x0,y0) dy.
Par conséquent on a la définition/notation suivante : 3.12 Définition (Différentielle)
En tout point (x,y) oùf est différentiable, on définit ladifférentielle de f comme df(x,y)=∂xf(x,y) dx+∂yf(x,y) dy.
EXEMPLE
Soitf:R2→Rla fonction définie parf(x,y)=1+x2−x y. La différentielle def au point (x0,y0) est la fonction df(x0,y0):B((x0,y0),δ>0)⊂R2→R
(h,k)7→h(2x0−y0)+k(−x0).
Si on noteh= dxetk=dy, elle se réécrit
df(x0,y0):B((x0,y0),δ>0)⊂R2→R
(d x,d y)7→(2x0−y0) dx−x0dy.
et on écrit
d f(x,y)=(2x−y) dx−xdy.
EXEMPLE
1. La fonctionf(x,y)=x y−2x+3yest différentiable en (0, 0) car lim
(h,k)→(0,0)
f(h,k)−f(0, 0)−h∂xf(0, 0)−k∂yf(0, 0)
ph2+k2 = lim
(h,k)→(0,0)
hk−2h+3k−h(−2))−k(3)
ph2+k2 = lim
(h,k)→(0,0)
p hk
h2+k2=0 puisquephk
h2+k2=rcos(ϑ) sin(ϑ) et|rcos(ϑ) sin(ϑ)| ≤r−−−→
r→0 0.
2. Soitf :R2→Rla fonction définie parf(x,y)=x2+y2. Sif est différentiable, alors sa différentielle est la fonction df(x0,y0):Rn→R
(h,k)7→2hx0+2k y0. Afin de voir s’il s’agit effectivement d’une différentielle, on calcule
lim
(h,k)→(0,0)
(x0+h)2+(y0+k)2−x02−y20−2hx02−2k y02
ph2+k2 = lim
(h,k)→(0,0)
h2+k2
ph2+k2= lim
(h,k)→(0,0)
ph2+k2=0.
Par conséquent, la fonctionf est différentiable dansR2et pour tout (x,y)∈R2on a df =2xdx+2ydy.
Astuce
En résumé, pour répondre à la question “la fonctionf:Rn→Rest-elle différentiable enx0∈Rn?” il est utile de se rappeler le schéma suivant :
f ∈C1 f différentiable
f continue
f dérivable
⇒ :
⇒ :
⇒ : si
n>1
⇐ sin=1
;
:sin>1⇐sin=1
Contrexemples Soitf:R2→Rdéfinie par PREUVE:il suffit de remarquer que
f(x,y)= puisque la restriction à la courbe continue d’équation k=h qui passe par(0, 0)donnehp−1/3
2 −−−→
PREUVE: f est clairement continue en(0, 0), cependant elle n’admet pas de dérivées partielles en(0, 0)car les deux limites limh→0f(h,0)−hf(0,0)etlimh→0f(0,h)−hf(0,0)n’existent pas.
B Sig(x,y)= y
x2+y2,f n’est ni dérivable ni continue
FIGURE3.1. – La fonctionf(x,y)=2x2+ysemble coïncider avec son plan tangent au point (1, 1,f(1, 1)) lorsqu’on zoom vers ce point. Si on regarde les courbes de niveau, lorsque on zoom vers ce point les courbes tendent vers des droites parallèles toutes à la même distance les unes des autres.
PREUVE:f n’est pas continue en(0, 0)car f(y,y)=1/y−−−→
y→0 ∞. Elle n’admet pas de dérivée partielle∂yf(0, 0)carlimh→0f(0,h)−fh (0,0)= 1
h2−−−→
y→0 ∞.
3.2.1. Développement limité à l’ordre 1 et plan tangent
À l’approche analytique de la notion de différentiabilité correspond la vision géométrique d’un plan tangent. En effet, lorsquef est différentiable en (x0,y0), on peut, dans un voisinage de (x0,y0), approcher la différenceE(h,k)≡f(x0+ h,y0+k)−f(x0,y0) par la différentielle df(x0,y0)(h,k), ce qui revient à approcherf(x0+h,y0+k) par le plan d’équation f(x0,y0)+df(x0,y0)(h,k) (voir la figure3.1).
3.13 Définition (Plan tangent et linéarisation)
SoitDune partie ouverte deR2et soitf:D→Rune fonction différentiable en (x0,y0). L’équation du plan tangent au graphe de la fonctionf(x,y) en (x0,y0) est
L(x,y)=f(x0,y0)+(x−x0)∂xf(x0,y0)+(y−y0)∂yf(x0,y0) ce qui équivaut, en notant (h,k)=(x−x0,y−y0), à
L(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+h∂xf(x0,y0)+k∂yf(x0,y0).
Si on approche une fonctionf au voisinage d’un point (x0,y0) au moyen d’une fonction affine, il est naturel de choisir une fonction dont le graphe est tangent au graphe de la fonctionf en (x0,y0). C’est ce qu’on appelle la linéarisation def en (x0,y0).
Graphe de la fonction (x,y)7→f(x,y) et sa linéarisation (x,y)7→L(x,y) au voisinage du point (a,b). La fonction (h,k)7→E(h,k)≡f(a+h,b+k)−L(a+h,b+k) mesure l’er-reur qu’on fait au point (a+h,b+k) lorsqu’on approche la valeur def par la valeur du plan tangentL. Sif est différen-tiable au point (a,b) alors
lim
(h,k)→(0,0)
E(h,k) ph2+k2=0.
Cette notion se généralise naturellement pourn>2 : il s’agit en fait d’un plan tangent pourn=2 et d’un hyperplan tangent pourn>2. Dans un espace de dimensionn, un hyperplan est une variété linéaire de dimensionn−1.
EXEMPLE
On veut montrer que la fonctionf:R2→Rdéfinie parf(x,y)=xex yest différentiable en (1, 0) et utiliser sa linéarisation
pour approcherf(1.1,−0.1). On a
f(x,y)=xex y f(1, 0)=1
∂xf(x,y)=ex y+x yex y ∂xf(1, 0)=1
∂yf(x,y)=x2ex y ∂yf(1, 0)=1
Les trois fonctionsf,∂xf et∂yf sont continues, doncf est différentiable. Sa linéarisation donne f(x,y)'f(1, 0)+(x−1)∂xf(1, 0)+(y−0)∂yf(1, 0)=1+(x−1)+y=x+y,
autrement ditxex y'x+ylorsque (x,y)'(1, 0), ainsif(1.1,−0.1)'1.1−0.1=1. En effet,f(1.1,−0.1)=1.1e−0.11≈0.98542
EXEMPLE
Considérons la fonctionf:R2→Rdéfinie parf(x,y)=p
x2+y2. Elle n’est pas différentiable en (0, 0) car elle n’est pas linéaire au voisinage de (0, 0), autrement dit, faire un zoom vers (0, 0) ne donne pas le graphe d’un plan. Pour prouver cela analytiquement, il suffit de montrer qu’il n’existe aucune approximation linéaire def au voisinage de (0, 0). Chaque plan qui passe par le point (0, 0,f(0, 0)) aura équationL(x,y)=ax+b ypour certaines constantesaetb.
Si on poseE(h,k)≡f(0+h, 0+k)−L(h,k), alors
(h,k)→(0,0)lim
E(h,k)
ph2+k2= lim
(h,k)→(0,0)
ph2+k2−ah−bk ph2+k2 . Si on prendk=0 on a limh→01−a|h|h qui ne vaut pas 0. En effet,∂xf(0, 0) n’existe pas car
∂xf(0, 0)=lim
h→0
f(h, 0)−f(0, 0)
h =lim
h→0
|h| h et cette limite n’existe pas.
3.2.2. Estimation d’erreurs
On rencontre couramment en physique le problème suivant : on a une quantitéQ, fonction connue des quantités x≡(x1,x2, . . . ). Ayant fait des mesures des quantitésx1,x2, . . . avec une certaine incertitude, on se demande avec quelle incertitude est connueQ. Mathématiquement, on dispose des objets suivants :
B un rectangleR=©
x∈Rn| |x−xi| <ri,i=1, . . . ,nª
, les nombresrireprésentent les erreurs maximales de mesure, B une fonctionQ:R→R,
B un pointxM(c’est le point qu’on mesure), B la valeurQ(xM).
On ne connait pasQ(x) pour toutx∈Rmais on peut estimer sa valeur à partir de la différentielle deQévaluée au point xMen appliquant le théorème suivant qui est une conséquence de la formule de TAYLORà une variable appliquée à la fonctiong(z)=f(xM+z−−→xMx).
3.14 Proposition (Estimation d’erreurs)
Considéronsnconstantes positivesrietRun rectangle deRncentré enxMdéfini par R=©
x∈Rn¯
¯|x−xi| <ri,i=1, . . . ,nª .
SoitQ:R→Rune fonction de classeC1(R). Alors, pour toutx∈R, on a la majoration suivante :
|Q(x)−Q(xM)| ≤sup
x∈R n
X
i=1
|(xi−(xM)i)∂xiQ(x)| ≤
n
X
i=1
Ciri
avecCiun majorant de|∂xiQ(x)|surR.
Estimation d’erreurs dansR2 Soitr1etr2deux constantes positives etRun rectangle deR2centré en (x0,y0) défini par
R=©
(x,y)∈R2¯
¯|x−x0| <r1,¯
¯y−y0
¯
¯<r2ª .
Soitf:R→Rune fonction de classeC1(R). Alors, pour tout (x1,y1)∈R, on a la majoration suivante :
¯¯f¡ x1,y1¢
−f ¡ x0,y0¢¯
¯≤ sup
(x,y)∈R|(x1−x0)∂xf(x,y)+(y1−y0)∂yf(x,y)| ≤Ar1+Br2 avecA(resp.B) un majorant de|∂xf(x,y)|(resp.|∂yf(x,y)|) surR.
3.2.3. Fonctions homogènes
3.15 Définition (Fonction homogène)
Soit la fonctionf:Rn→R. Elle est dite homogène de degréksi
f(λx)=λkf(x), ∀(x,λ)∈Rn×R∗+.
Les fonctions homogènes bénéficient de la propriété suivante qui découle de lachain rule.
3.16 Théorème (d’EULER)
Si la fonctionf:Rn→Rest homogène de degréket différentiable dansRn, alors
n
X
i=1
xi∂xif(x)=k f(x), ∀∈Rn.
EXEMPLE
La fonction de production de COBB-DOUGLASà rendements constants s’écrit f(x,y)=xαy1−α, oùα∈R∗+. Elle est homogène de degré 1 puisquef(λx,λy)=(λx)α(λy)1−α=λ(xαy1−α)=λf(x,y). Dans ce cas, la formule d’EULERs’écrit
x∂xf(x,y)+y∂yf(x,y)=f(x,y).
Le résultatf(x,y) de la production obtenue avec les quantités respectivesxetyde facteurs permet donc de rémunérer ces facteurs au niveau de leur productivité marginale.