(a) Surface S libre dans le domaine Ω (b) 300 points dans le domaine
(c) RVD `a S et diagramme de Vorono¨ı 3D (d) RVD `a S (zoom)
Figure 2.3 – Diagramme de Vorono¨ı restreint (RVD) `a une surface S. (a) S est incluse dans le domaine Ω. (b) 300 points occupent tout le domaine Ω. (c) Les cellules de Vorono¨ı (en jaune, seule une partie du diagramme de Vorono¨ı 3D est repr´esent´ee) n’intersectent pas forc´ement la surface S. (d) Les intersections des cellules de Vorono¨ı avec la surface S sont repr´esent´ees par des couleurs diff´erentes.
d’une cellule de Vorono¨ı Vi avec la surface S est de dimension 2 et est not´ee RSi ∈ S (figure2.3).
Consid´erons de mˆeme une ligne L plong´ee dans l’espace 3D, repr´esentant typiquement un puits, et incluse dans le domaine Ω. L’intersection du diagramme de Vorono¨ı 3D et de la ligne L est appel´ee diagramme de Vorono¨ı restreint `a L ou LRVD. L’intersection d’une cellule de Vorono¨ı Vi avec la ligne L est de dimension 1 et est not´ee RLi∈ L (figure2.4).
Quelques remarques importantes concernant les RVD (et transposables aux LRVD ) : – toutes les cellules de Vorono¨ı n’intersectent pas n´ecessairement la surface ;
– pour les cellules de Vorono¨ı intersectant la surface, les points de Vorono¨ı n’appar-tiennent pas n´ecessairement `a la surface ;
– lorsque les points sont contraints `a ˆetre sur la surface, cela d´efinit un diagramme de Vorono¨ı contraint `a S [DGJ03]. Cette derni`ere d´efinition n’est pas utilis´ee ici.
2.4 Diagrammes de Vorono¨ı g´en´er´es sous contraintes
Comme discut´e en introduction (paragraphe 1.5), une fa¸con de minimiser les erreurs rencontr´ees en simulation r´eservoir est de formuler et d’honorer des contraintes g´eom´ e-triques sur les cellules de la grille r´eservoir. Beaucoup de travaux ont ´et´e r´ealis´es dans ce
Chapitre 2. G´en´eration sous contraintes de grilles non structur´ees
(a) Ligne L dans le domaine Ω (b) 300 points dans le domaine
(c) LRVD `a L et diagramme de Vorono¨ı 3D (d) LRVD `a L (zoom)
Figure 2.4 – Diagramme de Vorono¨ı restreint (LRVD) `a une ligne L. (a) L est incluse dans le domaine Ω. (b) 300 points occupent tout le domaine Ω. (c) Les cellules de Vorono¨ı (en jaune, seule une partie du diagramme de Vorono¨ı 3D est repr´esent´ee) n’intersectent pas forc´ement la ligne L. (d) Les intersections des cellules de Vorono¨ı avec la ligne L sont repr´esent´ees par des couleurs diff´erentes.
sens sur les grilles structur´ees (e.g. [EEA98, Dur05, AFMK07, MM10]) mais ´egalement sur les grilles de Vorono¨ı. Les plus r´ecents concernant les grilles de Vorono¨ı sont pr´esent´es ci-dessous.
Qualit´e des cellules de Vorono¨ı : la qualit´e d’un maillage est souvent d´ecrite `a tra-vers les ´equations de Lagrange qui tiennent compte des angles dans les cellules et de la compacit´e des cellules [BC04, BC05]. La compacit´e des cellules a en effet un impact sur la dispersion num´erique. Une fa¸con d’obtenir des cellules compactes est de r´ealiser un diagramme de Vorono¨ı barycentrique ou CVT [DFG99,LWL+09]. Le nombre de voisins d’une cellule a ´egalement une influence sur l’efficacit´e du simulateur d’´ecoulement [MDH06] et peut ˆetre vu comme un crit`ere de qualit´e du maillage. Pour certains types de discr´etisation, un sommet d’une cellule doit ˆetre dans le t´etra`edre correspondant de la triangulation de Delaunay [Ver96], ce qui peut aussi constituer un crit`ere de qualit´e du maillage.
Raffinement local : il permet d’am´eliorer la pr´ecision des r´esultats dans les zones d’in-t´erˆet du r´eservoir, en limitant la dispersion num´erique due `a la taille des cellules. Diff´erentes m´ethodes existent pour construire une triangulation de Delaunay respec-tant un champ de densit´e, puis pour construire le diagramme de Vorono¨ı par dualit´e [Lep03, PLDM05,EM10]. Le champ de densit´e peut ´egalement ˆetre directement
2.5 Contributions
t´egr´e `a une optimisation CVT [DFG99,LWL+09].
Anisotropie : le contrˆole de l’anisotropie des cellules permet de r´eduire les erreurs d’homog´en´eisation et de dispersion num´erique. Une anisotropie peut ˆetre introduite dans les diagrammes de Vorono¨ı `a travers les diagrammes de Vorono¨ı anisotropes [ACSD+03, DW05,VCP08]. L’optimisation par minimisation de fonctions int´egrant l’anisotropie [LL10] peut ´egalement ˆetre utilis´ee pour modifier l’anisotropie des cel-lules de Vorono¨ı.
Disposition le long des lignes d’´ecoulement : une formulation TPFA peut ˆetre pro-pos´ee lorsque les points sont dispos´es le long d’une mˆeme ligne d’´ecoulement [HBMC91]. Une m´ethodologie r´ecente [MDH06] propose de placer initialement les points le long des lignes d’´ecoulement, puis d’optimiser localement la qualit´e des cel-lules de Vorono¨ı. Mˆeme si l’alignement est perturb´e au profit de la qualit´e des cellules, les erreurs de discr´etisation sont estim´ees plus faibles qu’avec un diagramme de Vo-rono¨ı quelconque.
Conformit´e aux surfaces : le but est de ne pas avoir de cellules `a cheval sur une surface de faille ou d’horizon. Cela permet de r´eduire les erreurs d’homog´en´eisation et de dispersion. En pla¸cant les points sym´etriquement de part et d’autre des surfaces [CNG+01,BGLW09], les faces des cellules d’un diagramme de Vorono¨ı s’alignent sur ces surfaces et les cellules ne sont pas `a cheval.
Disposition le long des puits : le calcul de l’indice de puits d´epend de la position du puits `a l’int´erieur de la cellule intersect´ee, et de la forme de la cellule. Le but est d’avoir une cellule centr´ee sur le puits et la plus compacte possible. Par ailleurs, l’´ecoulement autour du puits ´etant radial, les cellules entourant le puits doivent avoir une disposition radiale pour minimiser les erreurs de dispersion. Des modules de puits peuvent ainsi ˆetre plac´es au sein d’une grille de Vorono¨ı isotrope [PA94b].
2.5 Contributions
Les travaux list´es ci-dessus permettent de construire des grilles de Vorono¨ı en respec-tant une ou deux contraintes simultan´ement, par exemple la taille des cellules et leur qua-lit´e. Toutefois, aucune approche ne permet `a notre connaissance de satisfaire toutes ces contraintes simultan´ement. Il y a deux raison `a la n´ecessit´e de satisfaire les contraintes simultan´ement :
– si les contraintes sont satisfaites les unes `a la suite des autres, la nieme contrainte doit ˆetre satisfaite en appliquant une optimisation de la grille qui satisfait les n − 1 contraintes pr´ec´edentes. Cela r´eduit d’autant les m´ethodes disponibles et applicables actuellement, car ce ne sont pas toutes des m´ethodes d’optimisation ;
– certaines contraintes peuvent ˆetre contradictoires et un compromis doit ˆetre fait en fonction de l’importance accord´ee localement `a chaque contrainte. Le r´eglage fin du compromis peut se r´ev´eler fastidieux si un va-et-vient permanent doit ˆetre fait entre des contraintes contradictoires.
Les m´ethodes d´evelopp´ees ici sont des m´ethodes d’optimisation de la position des points par minimisation d’une ou plusieurs fonctions objectif traduisant les contraintes g´eom´ e-triques `a respecter. Le principal avantage est que ces fonctions objectif sont minimis´ees simultan´ement, et donc que les contraintes g´eom´etriques sont honor´ees simultan´ement.