4.2.4.2 Autres exemples
On peut signaler également :
– la régulation du nombre de prédateurs par celui des proies disponibles ; – le contrôle de la fréquence d’un quartz dans une horloge ;
– la synthèse d’un oscillateur électronique ;
– l’écriture (le retour d’informations se fait par la vue) ; – et bien d’autres encore. . .
¥
Ce qu’il faut retenir
– les conventions pour les schémas-blocs: systèmes, opérateurs. . . ; – le vocabulaire de la contre-réaction
4.3 Diagramme de Bode ; Gabarit
4.3.1 Diagramme de Bode
4.3.1.1 Définition
Partons d’une fonction de transfert en régime harmonique,H(jω), liant deux tensions4.4. Comment représenter cette fonction de la fréquence? Pour des raisons de commodité, on est amené à écarter toute représentation tridimen-sionnelle (par exemple, enx, la fréquence, eny, la partie réelle et enz, la partie imaginaire de la fonction). Par ailleurs, on est plus intéressé par la manière dont le filtre amplifie le signal à une fréquence donnée, et de combien il le déphase, plutôt que par la partie réelle et la partie imaginaire de la fonction de transfert, dont la signification physique pour un signal quelconque est moins évidente. On est donc amené à décrire la fonction de transfert sous la forme de deux diagrammes :
– un diagramme présentant son module en fonction de la fréquence ; – un deuxième diagramme présentant sa phase.
Pour que le diagramme recouvre plus facilement la totalité du spectre, et qu’il soit également plus lisible en ordonnée, on utilise en abscisse et en ordonnée des coordonnées logarithmiques, et on définit le gain en décibels ,GdB, par :
GdB ∆
= 20 log|H(jω)| . On introduit aussi parfois l’atténuation dans le cas de systèmes à gain inférieur à 1, définie comme l’inverse du gain,A= 1/G, soit en dBAdB =−GdB.
Remarque: On peut également introduire la notion d’une fonction de transfert liant deux puissances, définie par HP(jω) = Ps/Pe. Comme la puissance est proportionnelle au carré de la tension, cette fonction de transfert est proportionnelle àH(jω)2, et on définit alors le gain en puissance en décibels parGdB= 10 log|HP(jω)|.
4.4. cf. paragraphe 1.3.3.
60 CHAPITRE 4. SYSTÈMES ANALOGIQUES
4.3.1.2 Exemple
Considérons la fonction de transfert suivante (A >0) :
H(jω) =A1 +jωω
On suppose également pour simplifier que les deux pulsationsω0etω1sont très différentes. Deux cas se présentent alors : On obtient donc les diagrammes suivants :
ω On obtient donc les diagrammes suivants :
ω
4.3. DIAGRAMME DE BODE ; GABARIT 61
4.3.1.3 Les types de filtres
Les filtres fréquentiels sont principalement de 4 types : Filtre passe-bas
f GdB
fc
Filtre passe-bande
f GdB
fc1 fc2
Filtre passe-haut
f GdB
fc
Filtre coupe-bande
f GdB
fc1 fc2
1. Filtre passe-bas : la fonction de transfert la plus simple pour un tel filtre est du type H(jω) = A
1 +jω/ω0
Etude asymptotique : Quand ω ¿ ω0, on a GdB ≈ 20 logA = cte et quand ω À ω0 il vient GdB ≈ 20 logA−20 log (ω/ω0). On obtient le diagramme suivant :
f GdB
f0
La fréquencef0, pour laquelle le module de la fonction de transfert vaut (Valeur max)/√
2, est appelée fréquence de coupure. Elle correspond à une perte d’un facteur 2 sur le gain maximal en puissance. D’autre part, quand la fréquence est augmentée d’un facteur 10, le gain en décibels est diminué de 20 unités : on dit que la pente du filtre est de -20dB par décade, et le filtre est dit du premier ordre. Un filtre passe-bas du deuxième ordre possède une fonction de transfert de la forme suivante :
H(jω) = A
(1 +jω/ω0)2 La pente est alors de -40dB par décade.
2. Filtre passe-bande : la fonction de transfert la plus simple pour un tel filtre est du type H(jω) =A 1 +jω/ω0
(1 +jω/ω1)(1 +jω/ω2)
avecω0 < ω1 < ω2. Il y a cette fois-ci deux fréquences de coupure ; l’intervalle de fréquence entre ces deux bornes est la bande passante.
3. Filtre passe-haut : la fonction de transfert la plus simple pour un tel filtre est du type H(jω) =A(1 +jω/ω0)
C’est un filtre passe-haut du premier ordre (pente de +20dB par décade).
62 CHAPITRE 4. SYSTÈMES ANALOGIQUES
4. Filtre coupe-bande : La fonction de transfert la plus simple pour un tel filtre est du type H(jω) =A(1 +jω/ω1)(1 +jω/ω2)
1 +jω/ω0
avecω0< ω1< ω2
Il est à noter que dans la réalité, tout filtre coupe les hautes fréquences, même un filtre dit passe-haut. Dans les filtres actifs4.5, les transistors présentent toujours des capacités parasites qui ont pour effet d’introduire de hautes fréquences de coupure. Dans les filtres passifs (à base uniquement de circuits R,L,C), il y a aussi toujours des capacités parasites, aux points de soudure des composants par exemple.
4.3.2 Gabarit
Afin de pouvoir spécifier clairement et sans ambiguïté les besoins des utilisateurs, par exemple, ou les caractéris-tiques techniques d’un système, des définitions ont été énoncées pour les filtres fréquentiels. Nous avons déjà parlé de quelques-unes d’entre elles dans le paragraphe précédent (fréquence de coupure, bande passante). Nous allons maintenant en faire une description plus détaillée, en prenant pour exemple un filtre passe-bas.
GdB
f G0
G0−3dB
fc
Bande passante
Bande de transition
Bande atténuée Gmin
Gmin+ 3dB
Caractéristique idéale Taux d’ondulation
FIG. 4.1 – Gabarit de filtre passe-bas.
Notations :
– H0désigne le gain maximal etG0= 20 logH0;
– Hmindésigne le gain minimal éventuel4.6etGmin= 20logHmin; – fcdésigne la fréquence de coupure.
Définitions : Voici les paramètres que l’on doit spécifier en général pour définir un filtre passe-bas :
– La bande passante est définie comme étant le domaine de fréquences où le gain en décibel est supérieur ou égal àG0−3dB ;
– La bande de transition est définie comme étant le domaine de fréquences où le gain en décibels est compris entreGmin+ 3dB etG0−3dB ;
– La bande atténuée est définie comme étant le domaine de fréquences où le gain en décibels est inférieur ou égal àGmin+ 3dB ;
– L’atténuation de la bande atténuée vautG0−Gmin(en dB) ;
4.5. cf. Note 2.11.
4.6. Certains filtres possèdent un gain minimal en dB égal à−∞.