Lessons Learned
4. Develop a formal method based on the algebraic term-rewriting properties of cryptographic systems
Os conjuntos de Julia e de Mandelbrot s˜ao gerados pela mesma fun¸c˜ao iterativa com- plexa
zn+1= zn2 + c (3.4)
com z, c ∈ C.
Como no mapa de H´enon, v´arias trajet´orias escapar˜ao pro infinito dependendo dos valores de z0 e c. Os fractais de Julia e Mandelbrot nascem da identifica¸c˜ao dessas tra-
jet´orias. No caso de Julia fixamos o valor de c e no de Mandelbrot fixamos z0 e calculamos
a divergˆencia ou n˜ao das trajet´orias conforme variamos o outro parˆametro. O fractal ´e a fronteira entre as duas regi˜oes (das trajet´orias que divergem e as que n˜ao).
Os conjuntos de Julia e Mandelbrot delimitam regi˜oes com base no estado final das trajet´orias que ali come¸cam. Ou seja, delimitam uma base de atra¸c˜ao. Em alguns ca- sos essa fronteira, que a princ´ıpio deveria ser uma curva unidimensional, ´e na verdade bidimensional. Nessa regi˜ao as ´orbitas que convergem e as que divergem se misturam de tal forma que n˜ao ´e poss´ıvel separa-las por uma linha. Todos os pontos s˜ao pontos de fronteira. O espa¸co ´e preenchido densamente pelos dois tipos de ´orbita, sendo imposs´ıvel decidir -a priori- se uma ´orbita diverge ou n˜ao.
Figura 3.13: Conjuntos de Julia com C = −0.5 + 0.5i (esquerda) e C = −0.5 + 0.52i (direita)
Figura 3.15: Conjuntos de Julia com C = 0.63i (esquerda) e C = 0.64i (direita)
Figura 3.16: Conjuntos de Mandelbrot com z0= 0 (esquerda) e z0= 0.5i (direita)
Cap´ıtulo 4
Autˆomatos Celulares
Os autˆomatos celulares come¸caram a ser estudados na d´ecada de 1940 por S. Ulam e J. von Neumann. Von Neumann estudava sistemas auto-replicantes, e tentava construir um modelo te´orico com esta propriedade. Ulam sugeriu-lhe usar o maquin´ario dos autˆomatos celulares para este fim. Von Neumann obteve sucesso ultilizando uma rede bidimensional onde cada c´elula possui 29 estados.
Nos anos 1970 os autˆomatos ganharam bastante popularidade com o chamado “jogo da vida”de J. Conway, um autˆomato que simula a evolu¸c˜ao temporal de uma popula¸c˜ao (n´umero de indiv´ıduos) de determinada esp´ecie interagindo com o meio ambiente. O jogo de Conway atraiu muito interesse por ser capaz de gerar padr˜oes complexos e variados, dependendo apenas das condi¸c˜oes iniciais. ´E curioso notar que o mesmo problema - a evolu¸c˜ao temporal de uma popula¸c˜ao - foi respons´avel pelos prim´ordios do estudo de sis- temas ca´oticos, com o mapa log´ıstico, e de autˆomatos celulares, com o jogo da vida.
Na d´ecada de 1980 Wolfram publicou um extenso e sistem´atico estudo sobre os autˆomatos unidimensionais chamados autˆomatos elementares. Incluindo uma classifica¸c˜ao em quatro tipos de autˆomatos, de acordo com seu estado final.
Desde ent˜ao os autˆomatos celulares tˆem sido aplicados nas mais diversas ´areas. fisica, quimica, ecologia, planejamento urbano, economia, etc...
Um autˆomato celular ´e uma rede de c´elulas, cada uma ocupando 1 de p ≥ 2 estados poss´ıveis, evoluindo em unidades de tempo discretas e sob leis locais. Em cada unidade de tempo t o novo estado de uma c´elula ´e determinado pelo estado de seus (digamos, k) vizinhos no tempo imediatamente anterior t − 1, segundo as regras de evolu¸c˜ao do autˆomato.
H´a varias maneiras de se construir um autˆomato celular. Para isto precisamos definir a dimens˜ao e geometria da rede, o n´umero de estados poss´ıveis de cada c´elula, o n´umero e geometria dos vizinhos, e por fim as regras de atualiza¸c˜ao dos estados. Essas carac- ter´ısticas ser˜ao, na grande maioria dos casos (incluindo todos os aqui estudados), globais
(independentes da posi¸c˜ao), fixas (independentes do tempo) e determin´ısticas.
Tamb´em podemos construir modelos mais elaborados, por exemplo permitindo regras probabil´ısticas (como no modelo de Ising), regras ou vizinhan¸ca que variam de uma c´elula ou regi˜ao para outra, que variam no tempo, regras com “memoria”(que dependem dos estados em t-2, t-3...) ou onde o novo estado de uma c´elula depende do novo estado de algum(s) de seus vizinhos etc. Temos ainda generaliza¸c˜oes para valores cont´ınuos do n´umero de estados, posi¸c˜ao e tempo.
Um dos casos mais simples s˜ao os autˆomatos elementares: uma cadeia unidimensional de c´elulas bin´arias (p = 2) com intera¸c˜ao de primeiros vizinhos (k = 3, o vizinho de cada lado e a pr´opria c´elula).
Autˆomatos celulares n˜ao s˜ao exatamente uma inven¸c˜ao recente da humanidade. O autˆomato mais antigo que temos not´ıcia, o triˆangulo de Pascal, ´e conhecido desde a anti- guidade. O mais estudado na f´ısica, o modelo de Ising, tamb´em ´e anterior aos trabalhos de Ulam. O que ´e recente ´e um estudo sistem´atico desses sistemas.
4.1
Autˆomatos Elementares
Os autˆomatos elementares desempenham um papel an´alogo ao dos mapas unidimen- sionais no estudo de sistemas ca´oticos. S˜ao sistemas simples, capazes de manifestar um comportamento complexo e exibir grande parte das propriedades vistas em sistemas mais gerais.
Um autˆomato elementar ´e uma cadeia unidimensional de c´elulas com p = 2 poss´ıveis estados e k = 3 vizinhos. Assim temos 23 = 8 poss´ıveis configura¸c˜oes de vizinhos. Uma
regra consiste em definir o estado final da c´elula central para cada uma das poss´ıveis con- figura¸c˜oes de vizinhos. Como para cada configura¸c˜ao temos 2 estados poss´ıveis, existem 28 = 256 regras.
De modo geral teremos ppk regras, uma quantidade que cresce extremamente r´apido. Aumentando em 1 o n´umero de vizinhos (k = 4) j´a temos 104 regras. Se ao inv´es disso au- mentarmos o n´umero de estados (p = k = 3) teremos ent˜ao 1012 regras! Uma quantidade
claramente imposs´ıvel de ser estudada exaustivamente. Por isso tamanha a impotˆancia dos autˆomatos elementares. Conseguimos trabalhar com todos eles e visualizar a maioria, sen˜ao todas, caracter´ısticas de autˆomatos mais gerais.
Um modo conveniente de expressar essas regras ´e a partir da decomposi¸c˜ao bin´aria dos n´umeros. Considere por exemplo a seguinte regra:
000 → 0 001 → 1
010 → 1 011 → 1 100 → 1 101 → 0 110 → 0 111 → 0
que pode ser abreviada como ’00011110’. Quando lida em bin´ario representa o n´umero 30. Portanto ela ´e conhecida como “Regra 30”. Similarmente para todas as outras regras.
4.2
tipos de automatos
Wolfram classificou os autˆomatos em quatro classes, de acordo com o seu comporta- mento a longo prazo. Apesar desta classifica¸c˜ao n˜ao ser muito precisa, caracter´ıstica de ciˆencias em desenvolvimento, costuma ser f´acil aplic´a-la de maneira inamb´ıgua. Mas h´a casos de fronteira que se encaixam em duas ou mais classes. E outros em que condi¸c˜oes iniciais espec´ıficas causam um autˆomato a apresentar comportamento diferente do espe- rado pela sua classe. Alguns autˆomatos s˜ao capazes at´e de simular (reproduzir) outros, com um ajuste preciso das condi¸c˜oes iniciais. De sorte que essas condi¸c˜oes iniciais s˜ao um tanto raras, fazˆe-las aleat´orias costuma ser suficiente para revelar o comportamento “natural”do autˆomato.
• Classe I: A maioria dos estados iniciais evoluem rapidamente para um estado final est´avel e homogˆeneo. Com todas as c´elulas no mesmo estado. Toda desordem do estado inicial desaparece. Em uma analogia com sistemas dinˆamicos o estado final seria um atrator de ponto fixo.
• Classe II: A maioria dos estados iniciais evoluem rapidamente para um estado fi- nal com estruturas simples, que n˜ao mudam ou s˜ao peri´odicas. Alguma desordem devido ao estado inicial pode sobreviver. Eles funcionam como “filtros”permitindo que apenas alguns padr˜oes iniciais permane¸cam enquanto os outros s˜ao destru´ıdos. Mudan¸cas no estado inicial tendem a permanecer locais ou sumir completamente no estado final. Na analogia, aqui temos v´arios atratores fixos ou peri´odicos.
• Classe III: A maioria dos estados iniciais evoluem de modo pseudoaleat´orio ou ca´otico. Estruturas est´aveis que possam surgir s˜ao logo destruidas pela desordem
do ambiente. Mudan¸cas no estado inicial tendem a se propagar indefinidamente. Na analogia, o sistema possui um atrator estranho (fractal).
• Classe IV: A maioria dos estados iniciais evoluem para a forma¸c˜ao de estrutu- ras locais, que por si s´o s˜ao simples, mas que interagem de maneira complexa com outras estruturas e com o ambiente, e podem sobreviver por longos per´ıodos de tempo. Estas estruturas podem decair em estruturas est´aveis ou peri´odicas do tipo II, mas o n´umero de passos necess´arios pode ser extremamente grande. Mudan¸cas no estado inicial podem se propagar indefinidamente, permanecer locais ou sumir completamente. Na analogia esta classe n˜ao possui um correspondente direto, mas lembra de certa forma um sistema ca´otico em crise. Um longo transiente ca´otico com um estado final previs´ıvel.
Figura 4.1: Autˆomatos celulares do tipo I. Regra 96 (esquerda) e regra 168 (direita).
A classifica¸c˜ao ´e feita em ordem crescente de complexidade, de modo que os tipos III e IV apresentam os comportamentos mais ricos. Podemos entendˆe-la tamb´em em fun¸c˜ao do n´umero e do tempo que as c´elulas permanecem ativas. Nos tipos I e II as c´elulas ficam ativas por pouco tempo. Logo alcan¸cam uma configura¸c˜ao est´avel. No tipo III o n´umero de celulas ativas sempre aumenta (at´e alcan¸car a totalidade) e elas permanecem ativas indefinidamente, nunca alcan¸cando a estabilidade.
No tipo IV a quantidade de c´elulas ativas ora aumenta ora diminui, estruturas de c´elulas se formam e permanecem ativas por longos per´ıodos de tempo, interagem com outras estruturas e com o ambiente, permanecem localizadas numa regi˜ao ou se movem pelo autˆomato. Oscilam entre a aleatoriedade e crescimento ilimitado do tipo III com a periodicidade, forma¸c˜ao de estruturas locais e diminui¸c˜ao de c´elulas ativas do tipo II.
Figura 4.2: Autˆomatos celulares do tipo II. Regra 2 (esquerda) e regra 4 (direita).
Figura 4.3: Autˆomatos celulares do tipo III. Regra 30 (esquerda) e regra 45 (direita).
Esta media¸c˜ao entre ordem e caos parece ser a principal respons´avel pela manifesta¸c˜ao da complexidade.
Devido toda essa riqueza de comportamento, Wolfram conjecturou que a maioria dos autˆomatos do tipo IV, sen˜ao todos, s˜ao capazes de computa¸c˜ao universal. E foi provado que este ´e o caso da regra 110 e do jogo da vida de Conway.
4.3
Aleatoriedade e Propaga¸c˜ao de Erro
´
E necess´ario falarmos sobre esta pseudoaleatoriedade presente nos tipos III e IV. ´E claro que um procedimento completamente determin´ıstico n˜ao pode gerar um resultado verdadeiramente aleat´orio. Duas execu¸c˜oes do mesmo autˆomato com as mesmas condi¸c˜oes iniciais ir˜ao gerar sempre o mesmo resultado. Mas este resultado ´e uma sequˆencia de 0’s
Figura 4.4: Autˆomatos celulares do tipo IV. Regra 110 (esquerda) e regra 147 (direita).
e 1’s que parece aleat´oria. Conhecendo os n primeiros digitos da sequˆencia n˜ao temos como saber qual ser´a o (n + 1)-´esimo digito sem aplicar as regras do autˆomato.
V´arios testes estat´ısticos foram feitos e mostraram que sequˆencias geradas pela regra 30, por exemplo, s˜ao t˜ao aleat´orias quanto outras sequˆencias cuja aleatoriedade ´e reco- nhecida, como a distribui¸c˜ao dos algarismos na expans˜ao decimal de π. Por exemplo, espera-se de uma distribui¸c˜ao aleat´oria que a quantidade de 0’s e 1’s seja aproximada- mente a mesma, 1/2 do total. Tamb´em que as sequˆencias 00’s, 01’s, 10’s, e 11’s apare¸cam com a mesma frequˆencia de 1/4. Que os 000’s, 001’s, ..., 111’s apare¸cam cada um com freqˆencia de 1/8 e etc.
E de onde vem esta aleatoriedade? ´E natural imaginarmos que ela seja apenas um eco da aleatoriedade introduzida nas condi¸c˜oes iniciais. Embora este seja realmente o caso para alguns autˆomatos, n˜ao o ´e para todos. Comparemos a evolu¸c˜ao da regra 30 em dois casos: iniciando com apenas uma c´elula ativa e iniciando com condi¸c˜oes aleat´orias.
Vemos que t˜ao logo a influˆencia da ´unica c´elula ativa alcance as bordas do primeiro caso, ele se torna indistinguivel do segundo. Portanto esta aleatoriedade n˜ao adv´em das condi¸c˜oes iniciais. ´E caracter´ıstica intr´ınseca da regra 30. Percebemos tamb´em que esta influˆencia se propaga na velocidade de uma c´elula por passo. Esta ´e a velocidade m´axima que o autˆomato ´e capaz de transmitir informa¸c˜ao. E por vezes ´e chamada de velocidade da luz (c) do autˆomato.
Fazendo a mesma compara¸c˜ao com outros autˆomatos da classe III, como as regras 22 e 150, vemos que eles n˜ao exibem a mesma aleatoriedade da regra 30. Mas que a influˆencia da c´elula ativa se propaga de forma fractal e tamb´em na velocidade da luz.
Assim a aleatoriedade vista aqui ´e do mesmo tipo da vista nos mapas unidimensio- nais. Uma ´orbita no mapa log´ıstico por exemplo, dado o valor do parˆametro λ e o ponto inicial, ´e completamente determin´ıstica. Ser´a sempre a mesma. Mas no regime ca´otico
Figura 4.5: Regra 30 evoluindo de condi¸c˜oes iniciais aleat´orias (esquerda) e de apenas uma c´elula (direita).
Figura 4.6: Regra 22 evoluindo de condi¸c˜oes iniciais aleat´orias (esquerda) e de apenas uma c´elula (direita).
´e imposs´ıvel prevˆe-la sem antes realizar os c´alculos. E para λ = 4 ela se distribui quase uniformemente no intervalo [0:1].
Tal semelhan¸ca com os mapas unidimensionais nos faz questionar se eles comparti- lham outras caracter´ısticas em comum. Em especial, se a sensibilidade `as condi¸c˜oes ini- ciais tamb´em ´e presente aqui. Esta pergunta est´a parcialmente respondida na descri¸c˜ao dos tipos de autˆomato: no tipo III “mudan¸cas no estado inicial tendem a se propagar in- definidamente”. Investigaremos esta quest˜ao a partir de simula¸c˜oes da propaga¸c˜ao de erro. Para isso iniciamos duas c´opias do autˆomato com as mesmas condi¸c˜oes iniciais aleat´orias, diferindo apenas por uma c´elula. Ent˜ao deixamos os dois evoluirem e os comparamos. A propaga¸c˜ao de erro para autˆomatos das quatro classes pode ser vista nas figuras 4.8 - 4.10.
Na classe I a informa¸c˜ao (erro) logo ´e destruida e o sistema alcan¸ca o mesmo estado homogˆeneo. Na classe II a informa¸c˜ao, se n˜ao for destruida, permanece confinada local-
Figura 4.7: Regra 150 evoluindo de condi¸c˜oes iniciais aleat´orias (esquerda) e de apenas uma c´elula (direita).
Figura 4.8: Propaga¸c˜ao de erro (em vermelho). Regra 224 (esquerda, tipo I) e regra 109 (direita, tipo II).
mente. Na classe III a informa¸c˜ao rapidamente se espalha por todo o autˆomato. Na classe IV todos os comportamentos acima descritos podem ocorrer. Consequˆencia (e prova) da alta complexidade desta classe e sua posi¸c˜ao de fronteira entre ordem e caos.
Muito do comportamento do autˆomato pode ser entendido em fun¸c˜ao de como ele lida com a informa¸c˜ao. Num autˆomato onde toda informa¸c˜ao ´e destruida, estados iniciais diferentes s˜ao irrelevantes e o estado final ´e sempre o mesmo. Quando a informa¸c˜ao per- manece confinada localmente temos v´arios blocos de c´elulas que n˜ao se comunicam. Cada bloco funciona como um autˆomato finito e independente dos demais. Assim cada bloco tem um n´umero finito e pequeno de configura¸c˜oes poss´ıveis (exponencialmente menor que o autˆomato como um todo), atingindo rapidamente a periodicidade.
Quando a informa¸c˜ao se propaga por todo o autˆomato temos uma sensibilidade `as condi¸c˜oes iniciais. Efeitos locais se propagam globalmente. Um grande n´umero de confi-
Figura 4.9: Propaga¸c˜ao de erro (em vermelho). Regra 22 (esquerda) e regra 60 (direita), ambas tipo III. Na regra 60 o erro se propaga de modo fractal e independe das condi¸c˜oes iniciais
Figura 4.10: Propaga¸c˜ao de erro (em vermelho). Regra 110 (esquerda) e regra 147 (direita), ambas tipo IV.
gura¸c˜oes finais s˜ao poss´ıveis e efeitos emergentes podem aparecer.
4.4
Irreversibilidade e Entropia
Outra maneira de se estudar a evolu¸c˜ao de um autˆomato ´e analisando sua trajet´oria no “espa¸co de fase”. Para isto consideramos cada configura¸c˜ao poss´ıvel de n c´elulas como um estado inicial do sistema e verificamos qual seu sucessor imediato, ou seja, em qual estado (de n c´elulas) ele ´e mapeado pelo autˆomato ap´os uma unidade de tempo.
Como as leis do autˆomato s˜ao determin´ısticas cada estado s´o possui um sucessor ime- diato. Mas pode acontecer (e quase sempre ocorre) de um estado ter v´arios antecessores imediatos. Neste caso o autˆomato ´e dito irrevers´ıvel. Sabendo quem ´e o estado final
Figura 4.11: Espa¸co de fase de um autˆomato com 10 c´elulas. Regra 22 `a esquerda e regra 60 `a direita. A regra 60 (00111100) ´e sim´etrica.
n˜ao temos como calcular os estados anteriores. Parte da informa¸c˜ao ´e destru´ıda. Como consequˆencia teremos tamb´em estados sem nenhum antecessor. Estes s˜ao chamados jar- dins do ´Eden pois podem aparecer apenas como condi¸c˜ao inicial.
Deste modo autˆomatos irrevers´ıveis apresentam uma preferˆencia por certos estados. Se o iniciamos com condi¸c˜oes totalmente aleat´orias em t = 0, todos os estados s˜ao equi- prov´aveis. Entretanto para t > 0 nenhum estado jardim do ´Eden pode ocorrer, sua proba- bilidade se torna nula. Conforme o tempo passa os estados com mais antecessores tendem a se tornar os mais prov´aveis. Assim o autˆomato exibe um n´ıvel de auto-organiza¸c˜ao e consequente diminui¸c˜ao de entropia, caracter´ısticas muito comuns em seres biol´ogicos.
Importante notar que esta auto-organiza¸c˜ao se d´a mesmo em autˆomatos da classe III, incluindo a regra 30, desde que sejam irrevers´ıveis. Mas o n´umero de estados inativos aqui ´e muito pequeno se comparado ao das outras classes. A quantidade de configura¸c˜oes ativas (com probabilidade maior que 0 no tempo t) costuma ser pr´oxima das 2n confi- gura¸c˜oes poss´ıveis.
Nas figuras (4.12 - 4.14) mostramos como se d´a a evolu¸c˜ao temporal das probabili- dades de cada estado. A cor indica o n´umero de estados iniciais que, no tempo t, s˜ao mapeados nele. E a partir dessas probabilidades computamos a entropia de Gibbs para o autˆomato.
S = −X
i
Figura 4.12: Probabilidade n˜ao normalizada dos estados em fun¸c˜ao do tempo (esquerda) e entropia em fun¸c˜ao do tempo (direita) para a regra 22 com 10 c´elulas.
Figura 4.13: Probabilidade n˜ao normalizada dos estados em fun¸c˜ao do tempo (esquerda) e entropia em fun¸c˜ao do tempo (direita) para a regra 30 com 10 c´elulas.
Figura 4.14: Probabilidade n˜ao normalizada dos estados em fun¸c˜ao do tempo (esquerda) e entropia em fun¸c˜ao do tempo (direita) para a regra 45 com 10 c´elulas.
Cap´ıtulo 5
Considera¸c˜oes Finais
Neste trabalho estudamos trˆes t´opicos diferentes, cada um atingindo a complexidade `
a sua maneira. Pudemos ent˜ao investigar suas propriedades e perceber comportamentos semelhantes entre eles. Adquirindo assim uma no¸c˜ao de quais caracter´ısticas s˜ao particu- lares do sistema e quais s˜ao fruto de sua natureza complexa.
Referˆencias Bibliogr´aficas
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