Deuxième partie (Méthode de Boltzmann sur réseau)

Chapitre III. Problématique et méthodes de solution

III.4 Procédures de résolution

III.4.2 Deuxième partie (Méthode de Boltzmann sur réseau)

III.4.2.1 Mise en œuvre pratique de la méthode à double population de

Boltzmann sur réseau (TLBM) :

Les conditions aux limites, hydrodynamique et thermique, pour la convection naturelle sont illustrées par la figure (Fig.III.1). Les températures sur la partie chauffée de la frontière ouest et la frontière est sont Tc et Tf, respectivement, où Tc ˃ Tf. La différence de

température implique une convection naturelle à l’intérieur de l’enceinte. Les frontières : nord, sud et le reste de la frontière ouest sont thermiquement isolés. L’approximation de

Chapitre III Problématique et méthodes de solution

47 Boussinesq est appliquée au terme force de flottabilité. Le coefficient d’expansion thermique β et la viscosité cinématique ν sont considérés comme constants et le terme force de flottabilité est supposé en dépendance linéaire de la température.

! = U V[− V\ T! (3.11)

Où T0 est la température de référence ; T0 = (Tc +Tf)/2. Dans notre cas T0 = Tf.

La force de volume dans la direction oy apparait dans les équations de Navier-Stokes. La similarité dynamique dépend de deux paramètres adimensionnels : le nombre de Prandtl (1.10) et le nombre de Rayleigh (1.11). Dans le présent travail, le nombre de Prandtl est égal à 0.71.

Dans la méthode à double population de Boltzmann sur réseau, on aura besoin de modéliser le champ hydrodynamique et le champ thermique, donc on aura besoin de deux fonctions de distributions différentes et deux modèles réseaux différents: D2Q9 et D2Q5.

III.4.2.2 Modélisation du fluide :

L’approximation BGK de l’équation de Boltzmann sur réseau, en cas de présence d’une force externe, peut être écrite comme suit :

+ ! _! = Ω # + Z !

(3.12)

En cas du modèle BGK-SRT (Single Relaxation Time), le terme de collision sera remplacé par :

Ω # = *

/e #

2_{− #} (3.13)

Pour le modèle D2Q9, l’équation (2.26) peut prendre la forme [38] :

#₁ 2 = G₁ H1 + 3 !₁∙ ! + 4,5 ! ∙ ! − 1,5 ! N (3.14)

Chapitre III Problématique et méthodes de solution

48 ω0 = 4/9, ω 1, 2, 3,4 =1/9, ω5, 6, 7, 8 =1/36 (3.15)

Les quantités macroscopiques comme la densité et la vitesse sont déterminées par : = ( # ! ; ! = ( ! # !

(3.16)

En appliquant l’expansion de Chapman-Enskog, les équations ci-dessus peuvent conduire aux équations macroscopiques de continuité, de quantité de mouvement et d’énergie [33]. Les vitesses discrètes (c ) pour le modèle D2Q9 (Fig.II.2) sont données par l’équation _i

(2.24) et la viscosité (ν) liée au modèle réseau D2Q9 est définie comme suit :

h = 3P +1₂ (3.17)

III.4.2.3 Modélisation du transport de chaleur

Le modèle D2Q5 est utilisé pour modéliser le transport de chaleur à l’intérieur de l’enceinte. Avec la fonction de distribution pour le champ thermique définie comme suit : i+ ! i_!= Ω T où : Ω T = _/*

j T

2_{− T (3.18)}

La fonction de distribution d’équilibre correspondante est comme suit [33]:

T₁2 = V G₁ H1 + 3 !₁∙ !N (3.19)

Les facteurs de poids G₁ correspondants sont définis comme suit :

ω0 = 1/3

ω1-4 = 1/6

(3.20)

Les vitesses discrètes (c ) pour le modèle D2Q5 (Fig.II.2) sont données par l’équation _i

(2.25) et la diffusivité thermique (α) liée au modèle réseau D2Q5 est déterminée par [33]:

h_i = 3k +* (3.21)

Le nombre de Nusselt moyen est déterminé par:

= 1 + _{k ∙ ∆V ∕ o}〈 ∙ V〉

Chapitre III Problématique et méthodes de solution

49 La méthode à double population de Boltzmann sur réseau définit deux distributions. Le modèle D2Q9 a été utilisé pour résoudre le champ de vitesse, alors que le modèle D2Q5 a été utilisé pour résoudre le champ de température. Le nombre de réseaux utilisé dans la direction ox est toujours pris égal à celui utilisé dans la direction oy. L’approximation de Boussinesq est appliquée au terme de la force de flottabilité comme suit : p! = UT V − V_\ q! (3.23)

Cette force de flottabilitéa été ajoutée comme un extra-terme, est définie comme suit : Z ! = 3 p! ! − ! # 2 (3.24) La température est déterminée par :V = ( T ! (3.25).

III.4.2.4 Conditions aux limites:

Les fonctions de distribution orientées vers l’extérieur du domaine (Fig. III.2) sont connues à partir du processus de propagation. Les fonctions de distribution orientées vers l’intérieur du domaine sont inconnues et doivent être déterminées. Cela nécessite l’application de certaines conditions aux limites.

f₂

Fig.III.2. les distributions manquantes sur la frontière inférieure pour le modèle D2Q9 à gauche et le modèle D2Q5 à droite

Chapitre III Problématique et méthodes de solution

50 À titre d’exemple, la (Fig. III.2) montre les fonctions de distribution manquantes, représentées par des lignes discontinues, qui ont besoin d’être déterminées comme suit :

•

Pour l’écoulement du fluide

La condition aux limites du non glissement ‘le rebond en arrière’ [35] en anglais ‘Bounce-Back No-slip’ est utilisée pour modéliser les frontières solides (est, ouest, nord et sud).

• Pour la température :

La condition de Dirichlet de température imposée est utilisée pour modéliser les frontières différemment chauffées :

θ

_x₌₀ =1 la partie de la frontière ouest et

θ

_x₌_H =0

pour la frontière est.

Les fonctions de distribution manquantes se calculent d’après l’équation suivante:

∑

= = 4 0 j j g θ (3.26)

Le schéma de simple extrapolation [39] pour la condition aux limites de Neumann, en l’absence de flux thermique imposé, est utilisé pour modéliser l’isolation thermique des frontières du (nord, sud et le reste de la frontière gauche).

Pour la frontière de sud, la fonction de distribution est déterminée par [33]:

r\ =4r*₃− r (3.27)

Où l’indice dont les valeurs sont: 0, 1 et 2 représentent respectivement le nœud frontière, le premier et le deuxième proche voisin.

III.4.2.5 Implémentation de la méthode de Boltzmann sur réseau thermique :

La mise en œuvre de la méthode de Boltzmann sur réseau thermique nécessite un code informatique. En suivant l’organigramme basé sur la méthode à double population de Boltzmann (Fig.III.3), un code Matlab a été développé pour simuler le comportement du fluide ainsi que le transfert de chaleur à l’intérieur de l’enceinte carrée.

Chapitre III Problématique et méthodes de solution

Calcul des variables macroscopiques (ρ, T, u)

Collision - Calcul des fonctions de distributions d’équilibre - Calcul de la force de flottabilité

Imposition des conditions aux limites pour les champs dynamique et thermique (D2Q9 et D2Q5)

Propagation- Actualisation des fonctions de distribution

Oui

Non

Fig. III.3 Organigramme de la méthode à double population

Début : - Création du domaine de solution - - Entrée des paramètres

- - Entrée des conditions initiales

Affichage des résultats

Convergence

Chapitre IV.

Dans le document Etude de la convection dans une cavité carrée avec une paroi partiellement chauffée par la méthode de Boltzmann sur réseau (Page 61-68)