6.3 Experimental Findings
6.3.1 Determining the Q-operator
O diagrama de blocos de um sistema codificado com entrelaçamento finito é mostrado na Figura 4.6. Seja u = (u1u2. . . uj) uma seqüência de j dígitos binários de informação que é a entrada
de um codificador de bloco binário, linear, de parâmetros (n, j) e distância de Hamming mínima
dmin. A saída do codificador é uma palavra-código binária v = (v1v2. . . vn) a qual, após passar
pelo entrelaçador com nível de entrelaçamento Id, é representada porv. Os efeitos indesejados da propagação são modelados como uma seqüência ternária de ruídoszn = (zizi+1. . . zi+n−1), de
comprimento n, produzida pelo canal. A seqüênciar = (r1 r2. . . rn) chega na entrada do de-
sentrelaçador, no qual a seqüência de ruído em cada linha será separada de Id posições, ou seja,
zn = (zizi+1. . . zi+n−1) = (zizi+Id. . . zi+(n−1)Id). Em seguida, a seqüênciar entra no decodifi-
cador e, finalmente, obtém-se ˆu na saída do sistema.
Dada uma seqüênciaznespecífica, define-se um conjuntoXinformado pela inserção do conjunto
ζI∗
d−1entre cada dígito da seqüênciazn, ou seja,X
i
n={ζI∗d−1ziζ
∗
Id−1zi+Id. . . ζI∗d−1zi+(n−1)Id}. É
Figura 4.3: PCE versus dmin para um código de bloco binário, linear, de comprimento n = 63, para o MA que modela um CDCE com Es/N0= 12 dB, δ = 0, 12 e BdT = 0, 01.
importante salientar que o primeiro conjunto ζI∗
d−1 foi incluído por conveniência. Deve ser notado
que a probabilidade de ocorrência da seqüênciazné igual à probabilidade de ocorrência do conjunto
Xi
n, isto é:
P (zizi+1. . . zi+n−1) = P (zizi+Id. . . zi+(n−1)Id) = P (Xin). (4.23) Define-se uma série geradora para o conjuntoXi
n:
FXi
n = FζId−1∗ xziFζId−1∗ xzi+Id. . . Fζ∗Id−1xzi+(n−1)Id, (4.24)
onde Fζ∗
Id−1 = (x0+ x1+ x2)
Id−1 é a série geradora do conjunto ζ∗
Id−1. A probabilidade da
seqüênciazié dada por::
P (zizi+Id. . . zi+(n−1)Id) = = Π T(ΔF Xi n)1 = ΠT n−1 k=0 Δ(x0+ x1+ x2)xzi+kId 1 = ΠT n−1 k=0 {P(0) + P(1) + P(2)}Id−1P (zi+kId) 1 = ΠT n−1 k=0 PId−1P (zi+kId) 1. (4.25)
Figura 4.4: Variação da PCE versus Es/N0para um código de bloco binário, linear, de comprimento n = 63, em um canal MA modelado para um CDCE com BdT = 0, 01 e com valores de δ que maximizam a capacidade
para cada valor de Es/N0.
Em seguida, será determinada a probabilidade do MA entrelaçado, com nível de entrelaçamento
Id, gerar m dígitos errados e k dígitos de apagamento em uma palavra recebida de comprimento n em cada linha do entrelaçador, denotada por PId(m, k, n). Seja o conjuntoXm,k
n a união de todos os
conjuntosXi,j
n , no qual a seqüênciazn possui m erros e k apagamentos. Portanto, observa-se que
PId(m, k, n) = P (Xm,k
n ). Assim, é possível determinar-se PId(m, k, n) calculando-se inicialmente
uma expressão para a série geradora deXm,kn e utilizando-se a mesma idéia contida em (4.6), isto é:
PId(m, k, n) =ΠT(ΔF
Xm,k
n )1. (4.26)
Define-se o conjuntoX∗como a união de todos os conjuntosX∗npara todas as seqüências produzidas pelo canal entrelaçado. A série geradora paraX∗né:
FX∗ n =
'
Fζ∗
Id−1x0+ FζId−1∗ x1+ FζId−1∗ x2
(n
∈ R < x0, x1, x2> . (4.27)
Considerando-se X∗ como a união de todos os conjuntos X∗n para todos os valores de n, isto é,
X∗=)∞
n=0X∗n, então a série geradora deX∗é dada por:
Figura 4.5: Variação da PCE versus Es/N0para um código de bloco binário, linear, de comprimento n = 63, em um canal MA modelado para um CDCE com BdT = 0, 1 e com valores de δ que maximizam a capacidade
para cada valor de Es/N0.
Figura 4.6: Sistema de comunicações com entrelaçamento.
FX∗ = ∞ n=0 FX∗ n = ∞ n=0 ' Fζ∗ Id−1x0+ F ζ ∗ Id−1x1+ FζId−1∗ x2 (n = 1− ((x0+ x1+ x2)Id−1x0+ (x0+ x1+ x2)Id−1x1+ (x0+ x1+ x2)Id−1x2)−1 ∈ R << x0, x1, x2>> .
Utilizando os indeterminantes s, w e z para enumerar a quantidade de erros, a quantidade de apagamentos e o comprimento de cada seqüência em FX∗, respectivamente, define-se a seguinte série geradora: FId(x 0, x1, x2, s, w, z) = ∞ i=o zi ' Fζ∗
Id−1x0+ wFζ∗Id−1x1+ sFζ∗Id−1x2
(i
=1− z((x0+ x1+ x2)Id−1x
0+ w(x0+ x1+ x2)Id−1x1+ s(x0+ x1+ x2)Id−1x2)−1
Desta forma, é possível observar a seguinte relação: FXm,k n = [s mwkzn]FId(x 0, x1, x2, s, w, z) ∈ R < x0, x1, x2> . (4.28) Portanto, FXm,k
n enumera as seqüências de erros produzidos pelo canal entrelaçado com m erros, k
apagamentos e comprimento n. Utilizando-se (4.26) e (4.28), obtém-se:
PId(m, k, n) = P (Xm,k n ) =ΠT(ΔFXm,k n )1 = [smwkzn]ΠTΔFId(x 0, x1, x2, s, w, z)1 =[smwkzn]ΠT(Δ(1−z((x
0+x1+x2)Id−1x0+w(x0+x1+x2)Id−1x1+s(x0+x1+x2)Id−1x2))−1)1
= [smwkzn]ΠTΔ(1− z(x0+ x1+ x2)Id−1(x0+ wx1+ sx2))−11
= [smwkzn]ΠTI − zPId−1{P(0) + wP(1) + sP(2)}−11
= [smwkzn]ΠTI − PId−1{zP(0) + zwP(1) + zsP(2)}−11. (4.29)
Utilizando os mesmos procedimentos da Seção4.1, é possível obter-se uma fórmula recursiva para
PId(m, k, n), dada por: PId(m, k, n) = b1PId(m, k, n− 1) + b2PId(m− 1, k, n − 1) + b3PId(m, k− 1, n − 1) +b4PId(m, k, n− 2) + b 5PId(m− 1, k, n − 2) + b6PId(m, k− 1, n − 2) +b7PId(m− 1, k − 1, n − 2) + b8PId(m, k− 2, n − 2), para n≥ 2, 0 ≤ m + k ≤ n, onde 60
b1 = −(1 − q − Q) Id−1 q + Q −q2− Q2− qα − qβ2 qα + q2β + Qqα + Qqβ + q + Q − Qξ + Q2ξ − 2qQ + qQξ −q + Q − Qβ − Qα − qξq + Q b2 = −Qβ + −Qqβ + qβ − q2β(1 − q − Q)Id−1 q + Q b3 = −Qα + qξ + −αqQ − αq2+ αq + ξQ − ξQ2− qQξ(1 − q − Q)Id−1 q + Q b4 = − −Q − q2α − q2β − q2ξ − Q2β − Q2α − Q2ξ + 2qQ + qα + qβ + qξ + Qβ + Qα + Qξ − q + q2 q + Q +Q2+ q2ξα + q2ξβ + Q2ξβ + Q2ξα + 2qQβξ − 2qQα − 2qQβ + 2qQαξ − 2qQξ − qβξ − qαξ q + Q −Qξβ − Qξα) (1 − q − Q)Id−1 q + Q b5 = − qβξ + q2β + Q2β − q2ξβ − Q2ξβ + 2qQβ − 2qQβξ − qβ − Qβ + Qξβ(1 − q − Q)Id−1 q + Q b6 = − q2α − 2q2ξα + Q2α − 2Q2ξα + q2ξ − q2ξβ − Q2ξβ + Q2ξ + 2qQξ − 2qQξβ − 4qQαξ + 2qQα q + Q −qξ + qβξ + qαξ − qα + 2Qξα − Qα − Qξβ − Qξ) (1 − q − Q)Id−1 q + Q b7 = − 2qQβξ − qβξ − Qβξ + Q2βξ + q2βξ(1 − q − Q)Id−1 q + Q b8 = − q2ξα + ξαq2+ 2qQαξ − qαξ − Qαξ(1 − q − Q)Id−1 q + Q , (4.30)
com as mesmas condições iniciais dadas em (4.22). É possível perceber que fazendo-se Id = 1
em (4.30), isto é, sem utilização do entrelaçamento, chega-se a (4.15). Deve ser dito que o canal entrelaçado, que engloba o entrelaçador, o MA e o desentrelaçador, corresponde a um novo modelo de canal de estado finito, cuja matriz de transição da cadeia de Markov éPId[38].
A Figura4.7ilustra a variação da PCE em função da distância mínima de um código de bloco de comprimento n = 63, tendo Idcomo parâmetro, para Es/N0= 5 dB. Valores combinados de dmine
Idpodem ser escolhidos para obter-se um certo desempenho. É possível observar, na Figura 4.8, que para Id ≥ 20 o canal canal se comporta como um canal sem memória. Em outras palavras, valores de Id > 20 introduzem um maior atraso e requerem mais processamento do sistema sem nenhum
ganho considerável de desempenho. Desta forma, é possível avaliar o compromisso entre a distância mínima do código e o valor do nível de entrelaçamento para se obter um certo desempenho.
Figura 4.7: PCE versus dmintendo Idcomo parâmetro para o canal MA que modela um CDCE com parâme- tros Es/N0 = 5 dB, BdT = 0, 01 e δ = 0, 25, com um código de bloco binário, linear, de comprimento n = 63.
Figura 4.8: PCE versus Idpara um MA que modela um CDCE com parâmetros Es/N0= 10 dB, BdT = 0, 01
e δ = 0, 15, com um código de bloco binário, linear, de comprimento n = 63 e dmin= 17.
CAPÍTULO
CONCLUSÕES
N
ESTAdissertação, foi proposto um modelo de canal de estados finitos não binário, com três níveis de quantização, denominado modelo com apagamento e denotado por MA. Este foi idealizado a fim de que haja uma menor perda de informação, quando comparado a FSMC binários, com apenas dois níveis de quantização.Foram descritas as matrizes de distribuição de erros, acertos e de apagamentos, bem como a ma- triz de transição de estados, em função dos parâmetros α, β, ξ, q e Q do MA. Também foi mostrado o canal discreto com correlação exponencial (CDCE), o qual deseja-se modelar com o uso do MA. O valor do passo do quantizador δ foi determinado através dos cálculos da capacidade do canal MA para 1 e 2 utilizações, de modo a maximizar esta capacidade, para diferentes valores dos parâme- tros do canal discreto com correlação exponencial, BdT e Es/N0. Sabendo-se o passo adequado do quantizador, foi possível obter as probabilidades de decodificação sem sucesso do CDCE, as quais foram utilizadas para determinação dos parâmetros do MA através da minimização da distância de Kullback-Leibler. Para avaliar a exatidão do modelo MA em aproximar o CDCE, foi realizada uma comparação entre as funções autocorrelação de ambos, as quais tiveram suas expressões desenvolvi- das neste trabalho. Desta maneira, verificou-se que o MA descreve, estatisticamente e de maneira satisfatória, o CDCE quando BdT ≥ 0, 01, para uma ampla faixa de Es/N0. O CDCE com corre- lação ainda mais lenta, isto é, BdT < 0, 01, é passível de ser representado pelo MA, desde que as
probabilidades PCDCE(Zn) sejam obtidas para n > 3, de modo que o comportamento do CDCE seja
descrito de maneira mais precisa.
numa seqüência de comprimento n. Em complemento a essa investigação, foi obtida uma expressão para avaliar o comportamento do canal com o uso do entrelaçamento finito. Os resultados mostraram que o canal com nível de entrelaçamento Id = 10, com BdT = 0, 01, apresenta valores de PCE
menores do que quando o entrelaçamento não é utilizado (Id = 1). Da mesma forma, verificou-se
que o canal com nível de entrelaçamento Id ≥ 20 se comporta como um canal sem memória. Assim, conclui-se que valores muito altos de Idrequerem maior capacidade de processamento e introduzem
um maior atraso no sistema sem, no entanto, trazer nenhum benefício considerável.
5.1
Sugestões para futuros estudos
Outros tópicos que podem ser abordados em pesquisas futuras:
Parameterizar o modelo MA para canais com desvanecimento com diferentes funções autocorre-
lação (por exemplo, a proposta por Clarke [41]) e diferentes funções densidades de probabilidade da amplitude do desvanecimento (por exemplo: Rice, Nakagami);
Propor modelos com mais níveis de quantização e avaliar o ganho em relação a modelos com
decisão abrupta;
Vários algoritmos de decodificação têm sido propostos com o intuito de explorar a memória de
canais de estados finitos binários [42–44]. Estes trabalhos podem ser estendidos para o modelo MA com o intuito de analisar conjuntamente os benefícios da memória e decisão suave.
BIBLIOGRAFIA
[1] L. Nuaymi, Wimax - Technology for Broadband Wireless Access, 1st ed. John Wiley, 2007.
[2] K. Jack, Video Demystified, 4th ed. Elsevier Inc., 2005.
[3] K. Pahlavan and P. Krishnamurthy, Principles of Wireless Networks. Prentice-Hall, 2002.
[4] L. N. Kanal and A. R. K. Sastry, “Models for channels with memory and their applications to error control,” Proc. of the IEEE, vol. 66, no. 7, pp. 724–744, July 1978.
[5] S. Tsai, “Markov characterization of the HF channel,” IEEE Trans. Commun., vol. 17, no. 1, pp. 24–32, Feb. 1969.
[6] C. Pimentel and I. F. Blake, “Non-interleaved Reed-Solomon coding performance on finite state channels,” IEEE Int. Conf. Communication, vol. 3, pp. 1493–1497, 1997.
[7] M. Mushkin and I. Bar-David, “Capacity and coding for the Gilbert-Elliot channel,” IEEE
Trans. Inf. Theory, vol. 35, no. 6, pp. 1277–1290, Nov. 1989.
[8] R. L. Dobrushin and M. S. Pinsker, “Memory increases transmission capacity,” Probl. Pered.
Inform., vol. 5, no. 1, pp. 94–95, 1969.
[9] E. N. Gilbert, “Capacity of a burst-noise channel,” Bell Syst. Tech. J., vol. 39, pp. 1253–1266, Sep. 1960.
[10] E. O. Elliot, “Estimates of error rates for codes on burst-noise channels,” Bell Syst. Tech. J., vol. 42, pp. 1977–1997, Sep. 1963.
[11] B. D. Fritchman, “A binary channel characterization using partitioned markov chains,” IEEE
Trans. Inf. Theory, vol. 13, no. 2, pp. 221–227, Apr. 1967.
[13] F. Babich, O. Kelly, and G. Lombardi, “Generalized Markov modeling for flat fading,” IEEE
Trans. Commun., vol. 48, pp. 547–551, Apr. 2000.
[14] L. Zhong, F. Alajaji, and G. Takahara, “A binary communication channel with memory based on a finite queue,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 53, no. 8, pp. 2815–2840, Aug. 2007.
[15] L. Wilhelmsson and L. B. Milstein, “On the effect of imperfect interleaving for the Gilbert- Elliott channel,” IEEE Trans. Commun., vol. 47, pp. 681–688, May 1999.
[16] H. Turin and R. van Nobelen, “Hidden Markov modeling of flat fading channels,” IEEE J. Select
Areas Commun., vol. 16, pp. 1809–1817, Dec. 1998.
[17] J. Yee and E. Weldon, “Evaluation of the performance of error-correcting codes on a Gilbert channel,” IEEE Trans. Commun., vol. 43, pp. 2316–2323, Aug. 1995.
[18] C. Pimentel, T. H. Falk, and L. Lisbôa, “Finite-state markov modeling of correlated rician fading channels,” IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 53, no. 5, pp. 1491–1501, Sep. 2004.
[19] H. S. Wang and N. Moayeri, “Finite-state Markov channel - a useful model for radio communi- cation channels,” IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 44, no. 1, pp. 163–171, Feb. 1995.
[20] J. Y. Chouinard, M. Lecours, and G. Y. Delisle, “Estimation of Gilbert’s and Fritchman’s mod- els parameters using the gradient method for digital mobile radio channels,” IEEE Trans. Veh.
Technol., vol. 37, no. 3, pp. 158–166, Aug. 1988.
[21] F. Swarts and H. C. Ferreira, “Markov characterization of digital fading mobile VHF channels,”
IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 43, no. 4, pp. 977–985, Nov. 1994.
[22] V. Y. Y. Chu and P. Sweeney, “Characterizing error sequences of low earth orbit satellite chan- nel and optimization with hybrid-arq schemes,” Proc. Global Telecommun. Conf. 98, Sydney,
Australia, vol. 5, pp. 2930–2935, Nov. 1998.
[23] A. I. Drukarev and K. P. Yiu, “Performance of error-correcting codes on channels with memory,”
IEEE Trans. Commun., vol. 34, no. 6, pp. 513–521, Jun. 1986.
[24] N. Phamdo and F. Alajaji, “Soft-decision demodulation design for COVQ over white, colored and ISI Gaussian channels,” IEEE Trans. Commun., vol. 48, pp. 1499–1506, Sep. 2000.
[25] J. Singh, O. Dabeer, and U. Madhow, “Transceiver design with low-precision analog-to-digital conversion: An information-theoretic perspective,” 2008, submitted to IEEE Trans. Inf. Theory. Preprint avaiable at arXiv:0804.1172v1.
[26] F. I. Alajaji and N. C. Phamdo, “Soft-decision COVQ for Rayleigh-fading channels,” IEEE
Commun. Letters, vol. 2, no. 6, pp. 162–164, June 1998.
[27] T. Cover and J. Thomas, Elements of Information Theory, 2nd ed. Wiley-Interscience, 2006.
[28] R. M. Gray, Entropy and Information Theory. New York: Springer-Verlag, 1990.
[29] C. Pimentel and J. V. C. da Rocha, “On the power spectral density of constrained sequences,”
IEEE Trans. Commun., vol. 55, no. 3, pp. 409–416, Mar. 2007.
[30] Y. Chen and C. Tellambura, “Infinite series representation of the trivariate and quadrivariate rayleigh distribution and their applications,” IEEE Trans. Commun., vol. 53, no. 12, pp. 2092– 2101, Dec. 2005.
[31] D. K. Hutchenson and D. L. Noneaker, “Improved bounds on the performance of convolutional codes over the correlated rayleigh-fading channel,” Proc. IEEE World Commun. and Network-
ing Conf., pp. 599–604, 2008.
[32] K. S. Miller, “Complex Gaussian processes,” SIAM Review, vol. 11, no. 4, pp. 544–567, Oct. 1969.
[33] P. Sadegui, R. A. Kennedy, P. B. Rapajic, and R. Shams, “On finite-state Markov channel mod- eling of fading channels: Principles and applications,” Aug. 2007.
[34] C. Tan and N. C. Beaulieu, “On first-order Markov modeling for the Rayleigh fading channel,”
IEEE Trans. Commun., vol. 48, pp. 2032–2040, Dec. 2000.
[35] L. Zhong, F. Alajaji, and G. Takahara, “A model for correlated rician fading channels based on a finite queue,” IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 57, no. 1, pp. 79–89, Jan. 2008.
[36] W. Kumwilaisak, C. Kuo, and D. Wu, “Fading channel modeling via variable-length Markov chain technique,” IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 57, pp. 1338–1358, May 2008.
[37] A. E. Drougas, A. D. Panagopoulos, and P. G. Cottis, “Stochastic verification of the first-order Markovian assumption of rain attenuation for satellite channel dynamic modeling,” IEEE Com-
mun. Letters, vol. 12, pp. 663–665, Sep. 2008.
[38] R. P. Ramos, “Análise de desempenho de códigos de bloco em canais com memória usando uma técnica enumerativa,” Dissertação de Mestrado, Fev. 2001, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, UFPE.
[39] C. Pimentel and I. F. Blake, “Concateneted coding performance for FSK modulation on time- correlated Rician fading channels,” IEEE Trans. Commun., vol. 46, no. 12, pp. 1610–1618, 1998.
[40] R. P. Ramos and C. Pimentel, “Análise de desempenho de códigos de bloco em canais de esta- dos finitos entrelaçados,” Proc. IX Simpósio Brasileiro de Microondas e Optoeletrônica, João
Pessoa, PB, pp. 405–499, Ago. 2000.
[41] R. H. Clarke, “A statistical theory of mobile-radio reception,” Bell Syst. Tech. J., vol. 47, pp. 957–1000, 1968.
[42] J. Garcia-Frias, “Decoding of low-density parity-check codes over finite-state binary markov channels,” IEEE Trans. Commun., vol. 52, pp. 1840–1843, Nov. 2004.
[43] A. W. Eckford, F. R. Kschischang, and S. Pasupathy, “Analysis of low-density parity check codes for the Gilbert-Elliott channels,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 51, pp. 3872–3889, Nov. 2005.
[44] T. Li and O. M. Collins, “A successive decoding strategy for channels with memory,” IEEE
Trans. Inf. Theory, vol. 53, pp. 628–646, Feb. 2007.
SOBRE O
AUTOR
O autor nasceu em Recife, Pernambuco, no dia 1o. de agosto de 1982. Concluiu o curso Técnico em Eletrônica em julho de 2001 no Centro Fede- ral de Educação Tecnológica de Pernambuco. Em agosto de 2005, formou- se em Engenharia Elétrica, modalidade Eletrônica, pela Escola Politécnica da Universidade de Pernambuco.
Ja atuou na Empresa Brasileira de Telecomunicações (Embratel) e na Telemar Norte Leste. Desde fevereiro de 2005, atua na Agência Nacional de Telecomunicações (Anatel) onde, atualmente, ocupa o cargo de Espe- cialista em Regulação de Serviços Públicos de Telecomunicações. En- tre suas áreas de interesse estão comunicação digital e processamento de sinais.
Endereço: SAUS, Qd. 6, Bl. E, 6o.andar, ala sul CEP:70070-940 Brasília-DF
e-mail: [email protected]
Esta dissertação foi diagramada usando LATEX 2ε1pelo autor.
1LATEX 2
ε é uma extensão do LATEX. LATEX é uma coleção de macros criadas por Leslie Lamport para o sistema TEX, que foi desen-
volvido por Donald E. Knuth. TEX é uma marca registrada da Sociedade Americana de Matemática (AMS). O estilo usado na formatação
desta dissertação foi escrito por Dinesh Das, Universidade do Texas. Modificado em 2001 por Renato José de Sobral Cintra, Universidade Federal de Pernambuco, e em 2005 por André Leite Wanderley.