ARRETE PREFECTORAL EN VIGUEUR RELATIF AU CLASSEMENT DES INFRASTRUCTURES DE TRANSPORT
DETERMINATION DE L’ISOLEMENT ACOUSTIQUE DANS LES ETABLISSEMENTS D’ENSEIGNEMENTS
Introdu¸c˜ao
• Na primeira parte vimos regras de dedu¸c˜ao para provar seq¨uentes p1, p2, . . . , pn `
c.
• As regras funcionam sintaticamente s´o, sem “saber” o que os s´ımbolos significam (mas as provas precisam de criatividade).
• Intuitivamente, as f´ormulas tem uma interpreta¸c˜ao com de valores de verdade
– Uma proposi¸c˜ao atˆomica pode ser verdadeira (v) ou falsa (f). – Podemos definir a verdade (ou falsidade) de uma f´ormula usando
os valores de verdade das proposi¸c˜oes atˆomicas.
• A rela¸c˜ao de conseq¨uˆencia semˆantica p1, p2, . . . , pn|= c
afirma que a premissas justificam uma conclus˜ao baseado nesses valores de verdade (c ´e uma conseq¨uˆencia de p1, . . . , pn).
Semˆantica da conjun¸c˜ao
• Com proposi¸c˜oes p e q que podem ser verdadeira ou falso, o que significa p ∧ q?
• A intui¸c˜ao ´e que p ∧ q ´e verdadeira se ambos, p e q s˜ao verdadeiros e falso sen˜ao.
• Assim, definimos o seguinte tabela de verdade para ∧
Φ Ψ Φ ∧ Ψ
f f f
f v f
v f f
4 Teoria de modelos
• Cada combina¸c˜ao de valores de verdade para as proposi¸c˜oes se chama uma atribui¸c˜ao ou valora¸c˜ao.
• Quantas atribui¸c˜oes tem com n proposi¸c˜oes?
Com trˆes proposi¸c˜oes temos 23 = 8 atribui¸c˜oes poss´ıveis. Em geral, n pro-
posi¸c˜oes permitem 2n atribui¸c˜oes, porque para cada proposi¸c˜ao podemos es-
colher verdadeira ou falso independentemente.
Exemplo: F´ormula composta p q r q ∧ r p ∧ (q ∧ r) f f f f f f f v f f f v f f f f v v v f v f f f f v f v f f v v f f f v v v v v
Exemplo: Nota¸c˜ao alternativa
Um jeito mais compacto de escrever a mesma coisa (Quine):
p ∧ (q ∧ r) f f f f f f f f f v f f v f f f f v v v v f f f f v f f f v v f v f f v v v v v
Semˆantica da disjun¸c˜ao
• Uma disjun¸c˜ao de p e q ´e verdadeira, se p ou q (ou ambas) s˜ao verda- deiras.
Φ Ψ Φ ∨ Ψ f f f f v v v f v v v v Exemplo p ∧ (q ∨ r) |= (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)? p q r q ∨ r p ∧ q p ∧ r p ∧ (q ∨ r) (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) f f f f f f f f f f v v f f f f f v f v f f f f f v v v f f f f v f f f f f f f v f v v f v v v v v f v v f v v v v v v v v v v
Semˆantica da implica¸c˜ao • Suponhamos p → q.
• Se p ´e verdadeira, q tem que ser verdadeira tamb´em para p → q ser verdadeira; sen˜ao p → q tem que ser falso.
• O que podemos dizer quando p ´e falso?
Φ Ψ Φ → Ψ
f f v
f v v
v f f
v v v
Semˆantica da nega¸c˜ao e das constantes
Φ ¬Φ f v v f ⊥ f > v
4 Teoria de modelos Exemplo 1 (p → ¬q) → (q ∨ ¬p). p q ¬p ¬q p → ¬q q ∨ ¬p (p → ¬q) → (q ∨ ¬p) f f v v v v v f v v f v v v v f f v v f f v v f f f v v Exemplo 2 Teorema conhecido: ¬(p ∧ q) a` ¬p ∨ ¬q p q ¬p ¬q p ∧ q ¬(p ∧ q) ¬p ∨ ¬q f f v v f v v f v v f f v v v f f v f v v v v f f v f f
Observe as ´ultimas duas colunas!
O exemplo acima mostra, que f´ormulas equivalentes tem o mesmo valor de verdade para todas atribui¸c˜oes. Por isso, as ´ultimas duas colunas s˜ao idˆenticas.
Exemplo 3
Seq¨uente conhecido: p ∧ p → q ` q
p q p → q p ∧ p → q
f f v f
f v v f
v f f f
v v v v
Esse exemplo mostra, o que acontece, se n˜ao temos uma equivalˆencia. q ´e uma conseq¨uˆencia de p ∧ p → q, mas o contr´ario n˜ao ´e verdadeiro. Por isso, para cada atribui¸c˜ao tal que p ∧ p → q ´e verdadeiro, q ´e verdadeiro tamb´em. Mas nem sempre quando q ´e verdadeiro, p ∧ p → q tem que ser verdadeiro tamb´em.
Atribui¸c˜ao e interpreta¸c˜ao
• Temos valores de verdade B = {v, f}.
• Uma atribui¸c˜ao mapa ´atomos para valores de verdade A : Atom → B
• Uma atribui¸c˜ao pode ser estendida para uma (´unica) interpreta¸c˜ao [[·]]A: L → B.
Defini¸c˜ao da interpreta¸c˜ao
Para f´ormulas Φ, Ψ ∈ L e proposi¸c˜ao p ∈ Atom arbitr´arios
[[p]]A= A(p) [[>]]A= v [[⊥]]A= f [[¬Φ]]A= ¬[[Φ]]A [[Φ ∧ Ψ]]A= [[Φ]]A∧ [[Ψ]]A [[Φ ∨ Ψ]]A= [[Φ]]A∨ [[Ψ]]A [[Φ → Ψ]]A= [[Φ]]A→ [[Ψ]]A
Observe que os conectivos na defini¸c˜ao do [[·]]A tem dois significados diferen- tes. No lado esquerdo, eles ocorrem como s´ımbolos em f´ormulas da l´ogica de predicados. No lado direito eles denotam fun¸c˜oes sobre valores de verdade que foram definidos com tabelas de verdade. Isso ´e um tipo de sobrecarregamento (inglˆes: overloading), que n˜ao causa problemas, porque geralmente ´e claro do contexto se um conectivo denota um s´ımbolo ou uma fun¸c˜ao. Em caso de d´uvidas podemos diferenciar com nomes diferentes, por exemplo escrevendo ∧ para o s´ımbolo, e ˙∧ para a fun¸c˜ao.
Exemplo 4.1
Com A tal que A(p) = v e A(q) = f temos
[[p ∧ q]]A= f [[¬p ∨ (p → q)]]A= f
♦ Uma outra nota¸c˜ao comum ´e A |= Φ (lˆe: a atribui¸c˜ao A ´e um modelo de Φ). Ela se chama rela¸c˜ao de satisfa¸c˜ao ´e significa que dado a atribui¸c˜ao A a f´ormula Φ ´e verdadeiro.
Defini¸c˜ao 4.1 (Rela¸c˜ao de satisfa¸c˜ao)
4 Teoria de modelos
A rela¸c˜ao de conseq¨uˆencia semˆantica
• Os exemplos sugerem a seguinte defini¸c˜ao de |=
• Se, para cada atribui¸c˜ao A, tal que Φ1, . . . , Φn s˜ao verdadeiras ([[Φi]]A=
v), Ψ tamb´em ´e verdadeiro ([[Ψ]]A= v), escrevemos Φ1, . . . , Φn |= Ψ
(lˆe: Φ1, . . . , Φn modelam Ψ)
• |= se chama rela¸c˜ao de conseq¨uˆencia semˆantica.
• Uma f´ormula ´e verdadeira em todas interpreta¸c˜oes ´e uma tautologia (escreve: |= Φ).
• Se temos Φ |= Ψ e Ψ |= Φ, as f´ormulas s˜ao semanticamente equivalentes (escreve: Φ ≡ Ψ).
Revis˜ao da terminologia (Referˆencia)
Dedu¸c˜ao natural Semˆantica S´ımbolo ` |=
Rela¸c˜ao de dedutibilidade Rela¸c˜ao de conseq¨uˆencia (semˆantica) Seq¨uente
p1, . . . , pnq piportanto q pimodelam q
´
e valido ´e correto
q q ´e um teorema q ´e uma tautologia
Operadores bin´arias
Em geral, uma tabela de verdade para operadores bin´arias (com dois argu- mentos) ´e determinada com quatro valores de verdade:
p q p ◦ q
f f a
f v b
v f c
v v d
Quantos combina¸c˜oes de a,b,c e d tem? Ou, equivalente, quantos operadores bin´arias s˜ao poss´ıveis?
Tabela Nota¸c˜ao S´ımbolo Nomes abcd
f f f f f Contradi¸c˜ao, falsidade, constante f f f f v pq, p ∧ q, p&q ∧ conjun¸c˜ao, e
f f vf p ∧ ¯q, p 6⊃ q, [p > q], p− q. N˜ao-implica¸c˜ao, diferen¸ca, mas n˜ao f f vv p Proje¸c˜ao `a esquerda
f vf f p ∧ q, p 6⊂ q¯ N˜ao-implica¸c˜ao inversa, n˜ao... mas f vf v q Proje¸c˜ao `a direita
f vvf p ⊕ q, p 6≡ q, pˆq ⊕ Disjun¸c˜ao exclusiva, N˜ao-equivalˆencia, “xor” f vvv p ∨ q, p|q ∨ Disjun¸c˜ao, ou, e/ou
vf f f p ∧ ¯¯ q,p ∨ q, p ¯¯ ∨q, p ↓ q ∨¯ N˜ao-disjun¸c˜ao, joint denial, nem ... nem vf f v p ≡ q, p ↔ q, p ⇔ q ↔ Equivalˆencia, se e somente se vf vf q, ¬q, !q, ∼ q¯ Complementa¸c˜ao `a direita vf vv p ∨ ¯q, p ⊂ q, p ⇐ q, [p ≥ q], pq ← Implica¸c˜ao inversa, se vvf f p, ¬p, !p, ∼ p¯ Complementa¸c˜ao `a esquerda vvf v p ∨ q, p ⊃ q, p ⇒ q, [p ≤ q], qp¯ → Implica¸c˜ao, somente se, se ... ent˜ao vvvf p ∨ ¯¯ q,p ∧ q, p ¯¯ ∧q, p|q ∧¯ N˜ao-conjun¸c˜ao, n˜ao ... e, “nand”
vvvv v Afirma¸c˜ao, validade, tautologia, constante v
Fonte: [7]
Sobre dois proposi¸c˜oes p e q com dois valores de verdade 22×2= 16 conectivos
s˜ao poss´ıveis. Os seis operadores f f f f, f f vv, f vf v, vf vf, vvf f, vvvv s˜ao de pouco interesse: eles dependem s´o de um ou nenhum argumento. N˜ao todos os outros dez operadores s˜ao independentes, por exemplo os conjuntos {∧, ∨, ¬} ou {∨} s˜ao suficientes para definir as outras opera¸c˜oes.
Exemplos
• ¯∧ e ¯∨ s˜ao importantes, porque uma ´unica opera¸c˜ao ´e suficiente para definir as outras.
• Por exemplo ¬p = p¯∧p, p ∧ q = (p¯∧q)¯∧(p¯∧q), p ∨ q = (p¯∧p) ∧ (q ¯∧q) • ⊕ (“ou exclusivo, xor”) tem varias aplica¸c˜oes:
– “Brincadeiras” conhecidas s˜ao a troca de duas vari´aveis (x := x ⊕ y; y := y ⊕ x; x := x ⊕ y) ou criptografia ingˆenua (com chave c: xi:= xi⊕ c).
– Outras aplica¸c˜oes usam que x ⊕ y = (x + y) mod 2.
Discuss˜ao
Tabeles de verdade
• Com tabelas de verdade ´e mais f´acil de analisar a rela¸c˜ao de conseq¨uˆencia (semˆantica) porque a avalia¸c˜ao funciona mecanicamente.
• Podemos escrever um programa para avaliar seq¨uentes.
• Do outro lado, o tamanho de trabalho ´e exponencial no n´umero das proposi¸c˜oes: Testando 109 proposi¸c˜oes por segundo, a an´alise de uma f´ormula com 60 proposi¸c˜oes j´a demora mais que 30 anos...
• Em compara¸c˜ao usando dedu¸c˜ao natural, provas com 60 proposi¸c˜oes s˜ao poss´ıveis.
4 Teoria de modelos