Description du modèle de Patoor et al

3.2.1 Equations

A partir du comportement à l’échelle d’un grain (monocristal) et en utilisant une transition d’échelle par une approche autocohérente, on déduit le comportement du polycristal.

Comportement du monocristal Les notations utilisées dans ce paragraphe sont définies dans la figure 2.42.

A l’échelle du grain, on cherche à déterminer la cinématique de la déformation. Comme la déformation plastique n’intervient pas, la déformation totale peut être considérée comme la somme des déformations élastique, thermique et de transformation. La déformation de transfor-mation ε^{T n}, liée à la formation d’une variante n est complètement définie par la normale au plan d’habitat nⁿ, la direction de transformation mⁿet l’amplitude g de la transformation dans cette direction qui sont des données du modèle (figure 2.43 :

FIG. 2.41: Surfaces seuils pour le Cu-Zn-Al : modèle phénoménologique (trait gras), modèle micro-macro (trait fin) et points expérimentaux [Lexcellent et Blanc, 2004].

FIG. 2.42: Notations utilisées.

∀n, ε^{T n}_{i j} = ¹ 2^g(n

n

imⁿ_j+ mⁿ_inⁿ_j) = gRⁿ_{i j} (2.67)

FIG. 2.43: Principe de la déformation de transformation.

D’autre part, on suppose que les modules d’élasticité C_{i jkl} et la dilatation thermique α sont homogènes, isotropes et identiques pour chaque phase. On en déduit alors les déformations macroscopiques (à l’échelle du grain) :

E_{i j}= E_{i j}^e+ E_{i j}^th+ E_{i j}^T (2.68) avec

E_{i j}^T =

∑

n

fⁿest la fraction volumique de la variante n, avec les limitations physiques suivantes :

∀ fⁿ, fⁿ≥ 0 (2.70)

∑

n

fⁿ= f ≤ 1 (2.71)

La déformation sera déterminée à partir d’un potentiel thermodynamique dépendant des va-riables observables (déformation appliquée E et température T ) et des vava-riables internes fⁿ. Dans un volume élémentaire subissant une transformation thermo-élastique, l’énergie libre de Helmoltz Φ dépend de l’énergie chimique ∆G_ch, de l’énergie élastique W_el et de l’énergie d’in-terface W_S.

Φ(E, T, fn) = ∆G_ch+W_el+W_S (2.72) L’énergie chimique ∆G_ch est supposée dépendre linéairement de la température.

∆G_ch= B(T − T₀) f (2.73) La forme allongée des plaquettes de martensite conduit à négliger l’énergie d’interface W_S devant l’énergie élastique W_el.

L’énergie élastique se calcule comme suit : W_el = ¹

V

Z

σi j(r)ε^e_{i j}(r)dr (2.74) On fait alors les hypothèses suivantes :

σ = Σ + τ (2.75) E_{i j}^T = ¹ V Z ε^T_{i j}(r)dr =

∑

n ε^{T n}_{i j} f_n (2.76) 1 V Z τi j(r)dr = 0 (2.77)

Tous calculs faits, l’énergie élastique se sépare en deux parties : W_el= ¹

2^{(Ei j}− E_{i j}^T)C_{i jkl}(E_kl− E_kl^T) + ¹ 2V

Z

τi j(r)ε^{T n}_{i j} (r)dr (2.78) La première partie ne dépend que des variables observables (E, T ) et des variables internes f_net pas de la microstructure, la seconde partie, appelée énergie d’interaction W_int, dépend, pour un état de transformation donné (E, T, fn), de la microstructure.

W_int = ¹ 2V

Z

τ_{i j}(r)ε^{T n}_{i j} (r)dr (2.79) Il faut donc déterminer la microstructure du grain susceptible de minimiser Wint à variables internes f_n fixées. Cette microstructure est caractérisée par les variables internes f_n qui sont fixées, les fractions volumiques F_n= ^Vn

V de chaque domaine et les normales N^nm entre deux domaines m et n. On a alors à déterminer les variables Fnet N^nm minimisant Wint.

Pour cela on réécrit Wint : W_int = ¹ 2

∑

n f_nτⁿ_{i j}ε^{T n}_{i j} = ¹ 2

∑

n F_nτⁿ_{i j}ε^{T n}_{i j} (2.80)

Comme les τⁿ_{i j} sont des contraintes internes :

∑

n

F_nτⁿ_{i j} = 0 (2.81)

Et que ces contraintes internes son localisées aux interfaces entre les domaines, on peut écrire τⁿ_{i j} en utilisant un opérateur d’interface Q^nm_{i jkl}ne dépendant que des normales N^nm :

τⁿ_{i j} = τ^m_{i j}− Q_{i jkl}^nm(ε^{T n}_kl − ε^{T m}_kl ) (2.82) Donc : τⁿ_{i j} =

∑

n F_nQ^nm_{i jkl}(ε^{T n}_kl − ε^{T m}_kl ) (2.83) On en déduit : W_int = −

∑

n,m F_nF_mA^nm_{i jkl} (2.84) avec A^nm = (ε^{T n}_{i j} − ε^{T m}_{i j} )Q^nm_{i jkl}(ε^{T n}_kl − ε^{T m}_kl ) (2.85) Si l’on fait l’hypothèse supplémentaire que l’on a deux domaines par grain, on peut réécrire W_int : W_int = −¹ 2^{Fn(1 − Fn)(} f_n F_n^ε T n− ^fm 1 − F_n^ε T m)Q^nm(^fn F_n^ε T n− ^fm 1 − F_n^ε T m) (2.86)

On peut alors calculer les valeurs de F_n et N^nm qui minimisent W_int. On en déduit l’expres-sion de W_int^min minimum à variables internes fnfixées.

W_int^min= −¹ 2^fnfm 1 a_na_m^H nm (2.87) En posant : H^nm= (a_mε^{T n}− a_nε^{T m})Q^nm(a_mε^{T n}− a_nε^{T m}) (2.88) Et a_α= ε^{T α}Qαα ε^{T α} (2.89)

Finalement, on peut mettre l’énergie libre de Helmoltz sous la forme suivante, où apparaît la matrice H^nm appelée matrice d’interaction :

Φ(E, T, f_n) =¹ 2^{(E − E} T)C(E − E^T) + B(T − T₀)

∑

n f_n+¹ 2

∑

n,m H^nmf_nf_m (2.90)

Une autre écriture est donnée par l’énergie libre de Gibbs Ψ(Σ, T, f_n) :

Ψ(Σ, T, f_n) = −¹ 2^ΣC −1 Σ + Σ

∑

n ε^{T n}f_n− B(T − T₀)

∑

n f_n−¹ 2

∑

n,m H^nmf_nf_m (2.91)

Pour y ajouter les contraintes physiques des équations 2.70 et 2.71, on peut définir le lagrangien fonctionnel L(Σ, T, f_n) : L(Σ, T, fn) = −¹ 2^ΣC −1 Σ + Σ

∑

n ε^{T n}f_n−B(T −T₀)

∑

n f_n−¹ 2

∑

n,m H^nmf_nf_m−λ0(

∑

n f_n−1)−λn(− f_n) (2.92) Où λ₀et λ_nsont les multiplicateurs de Lagrange.

Les forces thermodynamiques F_n associées aux variables internes f_ns’obtiennent de façon classique en dérivant L(Σ, T, fn) par rapport à f_n:

F_n= ^∂L

∂ f_n = Σε^{T n}− B(T − T₀) −

∑

m

H^nmf_m− λ0+ λn (2.93)

On fait alors l’hypothèse que la croissance (ou la décroissance) des différentes variantes de martensite s’amorce dès que la force thermodynamique F_n atteint l’effort critique ±F_c suivant le cas.

Σε^{T n}− B(T − T₀) −

∑

m

H^nmf_m− λ0+ λ_n= ±F_c (2.94)

Cette relation montre que la variante n peut être active lorsque la contrainte résolue sur cette variante atteint une valeur critique dépendant de la température et des fractions volumiques des autres variantes déjà formées. Le début de la transformation n’est fonction que du mode de sollicitation tandis que la fin de la transformation dépend fortement de la microstructure. On remarque aussi que comme les différentes variantes ont des déformations de transformations différentes ε^{T n}et que F_cest constant, la contrainte nécessaire pour que la transformation ait lieu dépend de la direction du chargement.

A partir de cette analyse, on peut déterminer les modules tangents thermomécaniques l(r) et m(r) liant la contrainte locale à la déformation locale et à la température.

˙

σi j(r) = l_{i jkl}(r)˙ε_kl(r) − m_{i j}(r) ˙T (2.95) Tous calculs faits :

l_{i jkl}(r) = C_{i jkl}−C_{i jkl}

∑

n Rⁿ_{i j}

∑

m Hnm+ Rⁿ_{i j}C_{i jkl}R_kl^m−1Rⁿ_{i j}C_{i jkl} (2.96) m_{i j}(r) = C_{i jkl}α_kl−C_{i jkl}

∑

n Rⁿ_{i j}

∑

m Hnm+ Rⁿ_{i j}C_{i jkl}R^m_kl^−1 B g + Rⁿ_{i j}C_{i jkl}α_kl  (2.97) Le comportement du monocristal est ainsi complètement déterminé.

Comportement du polycristal L’étude du cas polycristallin fait apparaître des difficultés sup-plémentaires liées aux interactions entre les différents grains. Pour les prendre en compte, une transition d’échelle de type autocohérente est utilisée : chaque grain sera supposé entouré d’une matrice homogène dont le comportement est celui de la structure polycristaline. La température est supposée homogène dans le polycristal.

On suppose que le comportement global (ou effectif) du polycristal est défini de manière similaire au monocristal par la relation suivante :

˙

Où Σ et E sont respectivement la contrainte et la déformation macroscopiques et sont liées aux contraintes et déformations locales par les relations de localisation 2.99 et 2.100.

˙ε_{i j}(r) = A_{i jkl}(r) ˙E_kl(r) + a_{i j}(r) ˙T (2.99) ˙

σ_{i j}(r) = B_{i jkl}(r) ˙Σ_kl(r) + b_{i j}(r) ˙T (2.100) A(r) et B(r) sont les tenseurs de localisation mécaniques, a(r) et b(r) les tenseurs de loca-lisation thermiques. Ces tenseurs de localoca-lisation sont déterminés par une approche rente que nous ne détaillerons pas ici. Rappelons simplement que l’approximation autocohé-rente consiste à considérer que chaque grain du polycristal est entouré d’un milieu homogène équivalent dont le comportement, dit effectif, est celui du polycristal. Les champs de contrainte σ(r) et de déformation ε(r) sont considérés comme uniformes dans chaque grain.

On obtient finalement une solution sous forme d’un problème implicite où les tenseurs de localisation dépendent des modules effectifs, et les modules effectifs sont fonction des tenseurs de localisation. Pour plus de détails sur l’intégration numérique se reporter à [Entemeyer, 1996]. 3.2.2 Données du modèle

Le modèle est appliqué au cas d’un AMF de type Cu-Al-Be pour lequel on peut observer 24 variantes de martensite formant 6 groupes autoaccommodants. Ces variantes sont caractérisées par la normale à leur plan d’habitat ~n et par leur direction de transformation ~m qui est de type [1 1 4] dans un Cu-Al-Be. Ces données sont détaillées à l’annexe A. Le déplacement de trans-formation g est identique pour toutes les variantes et vaut 0.23. La matrice d’interaction H^nm, déterminée par une étude micromécanique, comporte des termes d’interaction faibles (50MPa) pour les variantes autoaccommodantes dites compatibles et fortes (260MPa) pour les variantes incompatibles [Siredey et al., 1999, Entemeyer, 1996] ; elle est également détaillée à l’annexe A.

Le matériau polycristallin est représenté par un agrégat isotrope de 1000 grains définis par leurs orientations cristallographiques en termes d’angles d’Euler. La figure de pôle de l’agrégat utilisé est donnée à la figure 2.44.

3.2.3 Description des trajets simulés

Le modèle polycristallin appliqué à un agrégat de 1000 grains isotrope est utilisé ici comme "machine d’essai virtuelle" afin de valider la définition de la contrainte équivalente pour les AMF isotropes (équation 2.9) et de vérifier la relation de proportionalité entre la fraction volu-mique de martensite z et la déformation de transformation équivalente isotrope (équation 2.22). Pour cela 24 trajets de chargement proportionnels différents sont simulés : 12 dans le plan (σ11, σ22) et 12 dans le plan (σ11, σ12). Ils sont définis aux figures 2.45 et 2.46.

FIG. 2.45: Trajets de chargement dans le plan (σ₁₁, σ22).

Dans le document Etude du comportement thermomécanique des Alliages à Mémoire de Forme sous sollicitations multiaxiales complexes (Page 73-79)