Chapitre 1 : Etat de L’art Sur les Systèmes Multi-Sources
5.3 L’algorithme choisi pour l’optimisation du SMS
5.3.1 Description de l’algorithme d’optimisation hybride MADSGA
L’algorithme d’optimisation MADSGA est une hybridation entre deux algorithmes d’optimisation différents, l’algorithme de recherche adaptatif directe (MADS) et les algorithmes génétiques (GA). Cette hybridation a pour ob jectif d’améliorer les performances de l’algorithme d’optimisation MADS. Avant de présenter l’algorithme hybride MASDGA, il est nécessaire de présenter l’origine de l’algorithme MADS.
Suivant l’ensemble des travaux de recherche présentés dans la littérature, l’algor ithme MADS représente une extension de l’algor ithme généralisé de recherche par motifs (Generalized Pattern Search Algorithm) [CAu08]. Ce type d’algorithme est classifié dans la famille des algorithmes de recherche directs pour l’optimisation des fonctions non lisses et non linéaire avec et sans contraintes. Cet algor ithme est généralement utilisé pour l’optimisation des fonctions discontinues avec contraintes, les fonctions de types boite noire (black-box) et aussi les fonctions continues. Le principe d’optimisation par les algorithmes directs est fondé sur la technique de
Layadi T M………..……….………..………..….Chapitre 5 133
133 maillage. Ainsi, l’espace de recherche où se trouve l’optimum de la fonction doit être subdivisé
en un ensemble de cadre ou rectangles. Le nombre de rectangles varie en fonction du nombre d’itérations exécutées par l’algorithme. Pour obtenir l’optimum global de la fonction, le maillage réalisé par l’algor ithme doit être dense. L’intersection de deux lignes différentes représente un point centre pour évaluer la fonction objectif dans des directions différentes par rapport à ce point de démarrage.
La recherche par l'algorithme GPS utilise des vecteurs de direction fixe, par contre l'algor ithme MADS utilise une sélection aléatoire de vecteurs dans l’espace.
Un avantage clé de MADS par rapport à l’algorithme GPS est que l'exploration locale de l'espace des variables ne se limite pas à un nombre fini de directions (directions de sonda ge, po ll directions). Ceci représente l’inconvénient majeur de l’algorithme GPS, et donc la principale motivation dans l'utilisation de MADS pour résoudre ce problème.
L’algorithme d’optimisation MADS est un algorithme de recherche itératif. Alor s, l’algorithme va commencer par un point d’initialisation. Dans cette étape, l’algorithme nécessite la définition d’un po int initial 𝑚𝑚0 ∈ Ω pour démarrer sa recherche. Ce point initial rassemble toutes les variables de décision qui doivent appartenir à l’espace de recherche Ω. Ainsi, l’évaluation de la fonction objectif à optimiser se réalise dans l’espace d’exploration Ω.
Dans l’étape suivante, l’algorithme va chercher un po int de maillage amélioré. Dans cette étape, deux types de recherche seront réalisés à chaque itération k : une recherche globale et une sonde locale (local poll). La recherche locale est ob ligatoire car elle permet à l’algorithme d’effectuer l’évaluation de la fonction objectif sur l’ensemble des points définis par le maillage.
La recherche globale représente une option facultative pour l’évaluation de la fonction objectif.
Les directions réalisées pendant la recherche sont définies par 𝑃𝑃avec 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝑍𝑍, 𝑃𝑃 ∈ ℝ𝐶𝐶×𝐶𝐶 représente une matrice non singulière, 𝑍𝑍 ∈ ℤ𝐶𝐶×𝑝𝑝 et 𝑃𝑃𝑘𝑘 = �𝑑𝑑𝑘𝑘1, 𝑑𝑑𝑘𝑘2, … . , 𝑑𝑑𝑘𝑘𝑝𝑝𝑘𝑘� ∈ 𝑃𝑃.
A chaque itération k, le treillis (en anglais s’appe lle mesh) est défini comme l’union suivante : 𝑀𝑀𝑘𝑘 = ⋃𝑚𝑚∈𝑆𝑆 {𝑚𝑚 + ∆𝑘𝑘𝑚𝑚𝑃𝑃𝐷𝐷: 𝐷𝐷 ∈ ℕ𝐶𝐶𝑃𝑃}
𝑘𝑘 (5.1)
Avec △𝑘𝑘𝑚𝑚∈ ℝ+ représente le paramètre de taille de treillis.
Un treillis (ou maillage) 𝑀𝑀𝑘𝑘 représente une discrétisation dans l’espace réel ℝ𝐶𝐶. Avec 𝑆𝑆𝑘𝑘 est l'ensemble des points où la fonction obj ectif 𝐿𝐿 avait été évaluée par le début de l'itération 𝑘𝑘.
Le maillage est défini comme une union d'ensembles sur 𝑆𝑆𝑘𝑘. Définir le maillage de cette façon assure que tous les points visités précédemment se trouve nt sur le maillage, et que de nouveaux points de test peuvent être sélectionnés autour de l'un d'eux.
Layadi T M………..……….………..………..….Chapitre 5 134
134 L’ensemble des points de recherche locale (ou sonde local) est donné par la formule suivante :
𝑃𝑃𝑘𝑘 = {𝑚𝑚𝑘𝑘 + ∆𝑘𝑘𝑚𝑚𝑑𝑑: 𝑑𝑑 ∈ 𝑃𝑃𝑘𝑘} ⊂ 𝑀𝑀𝑘𝑘 (5.2) Avec
𝑃𝑃𝑘𝑘 doit être défini comme un ensemble générateur pos itif tel que 0 ∉ 𝑃𝑃𝑘𝑘, 𝑑𝑑 peut être écrit comme une combinaison entier pos itif de la direction da ns D: 𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝐹𝐹 pour un vecteur 𝐹𝐹, 𝐹𝐹 ∈ 𝑆𝑆𝐶𝐶𝑃𝑃𝑘𝑘qui peut dépendre du nombre d'itérations k.
La distance entre le centre du cadre 𝑚𝑚𝑘𝑘 et un point du cadre 𝑚𝑚𝑘𝑘+ ∆𝑘𝑘𝑚𝑚𝑑𝑑 ⊂ 𝑃𝑃𝑘𝑘est bornée par un multiple du paramètre de sondage∆𝑘𝑘𝑝𝑝 :
∆𝑘𝑘𝑚𝑚‖𝑑𝑑‖ ≤ ∆𝑘𝑘𝑝𝑝𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚{‖𝑑𝑑𝐹𝐹‖: 𝑑𝑑𝐹𝐹 ∈ 𝑃𝑃} (5.3) Les limites normalisées de l’ensemble 𝑃𝑃𝑘𝑘 sont des ensembles générateurs positifs. La mise à jour des paramètres de l’algorithme est réalisée selon l’équation (5.4 ).
Δ𝑚𝑚𝑘𝑘+1 = 𝜏𝜏𝑤𝑤𝑘𝑘Δ𝑚𝑚𝑘𝑘 (5.4)
Avec 𝜏𝜏est un nombre rationnel fixe et le nombre entier 𝑤𝑤 défini comme suit : 𝑤𝑤𝑘𝑘∈ �[0,1, …, 𝑤𝑤[𝑤𝑤+] 𝑠𝑠𝑚𝑚 𝐹𝐹𝐶𝐶 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑚𝑚𝐶𝐶𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝐹𝐹𝐹𝐹𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑚𝑚é𝐹𝐹𝑚𝑚𝑙𝑙𝑎𝑎é 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑙𝑙𝐹𝐹𝑣𝑣é −,𝑤𝑤−+ 1,… , −1] 𝑎𝑎𝑚𝑚𝐹𝐹𝐹𝐹𝑒𝑒𝐹𝐹𝑎𝑎 �Δ𝑚𝑚𝑘𝑘 ≤ ∆𝑘𝑘 𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑙𝑙𝐹𝐹𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑙𝑙𝐹𝐹𝑒𝑒 𝑘𝑘 lim 𝑘𝑘∈𝑀𝑀∆𝑘𝑘 𝑚𝑚 = 0 ⇔ lim 𝑘𝑘 ∈𝑀𝑀∆𝑘𝑘 𝑝𝑝= 0 𝑝𝑝𝑙𝑙𝐹𝐹𝑎𝑎 𝑒𝑒𝑙𝑙𝐹𝐹𝑒𝑒 𝑒𝑒𝐶𝐶𝑠𝑠𝑒𝑒𝑚𝑚𝑔𝑔𝐹𝐹𝑒𝑒 𝑚𝑚𝐶𝐶𝐿𝐿𝑚𝑚𝐶𝐶𝑚𝑚 𝑑𝑑′𝑚𝑚𝐶𝐶𝑑𝑑𝑚𝑚𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑀𝑀
Le principe d’opt imisation par l’algorithme MADS est donné par l’algorithme 1suivant: Algorithme 1
Initialisation :𝑠𝑠𝑙𝑙𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑚𝑚0∈ Ω, Δ𝑚𝑚0 ≤ ∆ 0
𝑝𝑝, 𝑃𝑃,𝑍𝑍, 𝜏𝜏, 𝜔𝜔− 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜔𝜔+ satisfaire aux exigences, régler le compteur d’itération k à 0.
: principe de l’algorithme MADS Début
Etape de Recherche et de sondage (research and poll) : Effectuer la recherche et éventuellement le sonda ge (ou seulement une partie d'entre eux) jusqu'à ce qu’une amélioration du po int de maillage 𝑚𝑚𝑘𝑘+1 se trouve sur le maillage 𝑀𝑀𝑘𝑘.
*Recherche optionnelle : Évaluer 𝐿𝐿Ω sur un sous-ensemble fini de points d'essai sur le maillage 𝑀𝑀𝑘𝑘.
*sonda ge local : Evaluer 𝐿𝐿Ω sur le cadre 𝑃𝑃𝑘𝑘.
Mise à jour des paramètres : mettre à jour Δ𝑚𝑚𝑘𝑘+1 et Δ 𝑘𝑘+1
𝑝𝑝 , agmenter k par k+1 puis revenir à l'étape de recherche et de sondage.
Layadi T M………..……….………..………..….Chapitre 5 135
135 L’exemple donné à la Figure 5.2 montre les cadres et les directions générés par l’algorithme
MADS. Dans cet exemple des valeurs de paramètre ∆𝑘𝑘𝑚𝑚 et ∆𝑘𝑘𝑝𝑝.
Figure 5. 2 : Exemple de cadres dans MADS 𝑷𝑷𝒌𝒌= {𝒑𝒑𝟏𝟏,𝒑𝒑𝟐𝟐, 𝒑𝒑𝟑𝟑}.
Pour améliorer certaines performances pour l’algorithme PS et MADS, une hybridation avec les algorithmes génétiques a été effectuée [PVa11]. Il est montré que l’algorithme MADSGA est plus performant que l’algor ithme PSGA. Ainsi, l’utilisation des algorithmes évolutionnaires (GA) avec l’algorithme MADS permet d’améliorer la fonction objectif d’une part et de minimiser le temps de calcul d’ autre part. Donc, cet algorithme hybride MADSGA sera plus adapté à la résolution du prob lème d’opt imisation dans les systèmes multi-sources.