Description du code numérique utilisé

Dans ce travail, nous avons utilisé un code de modélisation de rupture dy-namique écrit par S.Ma et P.C.Liu et parallélisé par J.Schmedes à l’Institute

of Crustal Studies de l’université de Santa Barbara, Californie. Nous allons

décrire ici succinctement le principe et les possibilités de ce code.

Les équations de l’élastodynamique présentées à la section 1.1 sont util-isées sous leur formes vitesse-contrainte plutôt que déplacement-contrainte. À chaque pas de temps de l’algorithme les valeurs de vitesse et de contrainte aux points de la grille qui discrétise le milieu sont calculées d’après leurs valeurs au pas de temps précédent. Les équations continues sont (1.4) et la dérivée par rapport au temps de (1.5). Dans l’algorithme, une grille décalée est utilisée, selon la méthode introduite par Madariaga et al. (1998). Cela signifie que les valeurs des contraintes sont calculées en des points décalés d’un demi pas de grille par rapport aux points où sont calculées les valeurs des vitesses, comme on peut le voir figure 3.2. Les calculs des vitesses et des contraintes sont aussi décalées d’un demi pas de temps.

La loi de Hooke (1.5) dérivée par rapport au temps donne la variation de la contrainte par rapport aux dérivées spatiales de la vitesse, qui sont calculées

Fig.3.2: Schéma de grille utilisé pour la modélisation numérique du solide élastique. Le principe de la grille décalée est utilisé : sur les nœuds de la grille principale, ici en noir, on calcule les valeur de la vitesse à chaque pas de temps et sur les nœuds de la grille décalée, ici en bleu, on calcule les valeurs des contraintes. On voit donc que le nœud (i, j, k) n’est pas placé exactement au même point de l’espace pour la grille principale et la grille décalée.

en moyennant la dérivée sur le cube. Par exemple pour avoir ∂vx/∂x, on écrit : ∂vx ∂x(i, j, k) = ¹ dx 1 4 × ^[vx(i, j, k) − vx(i − 1, j, k) +vx(i, j − 1, k) − vx(i − 1, j − 1, k) +vx(i, j, k − 1) − vx(i − 1, j, k − 1) (3.40) +vx(i, j − 1, k − 1) − vx(i − 1, j − 1, k − 1)] Les dérivées partielles spatiales des vitesses permettent d’obtenir la nou-velle valeur de la contrainte. Ces valeurs de contrainte permettent de calculer les forces appliquées sur un élément et d’en déduire la variation de la vitesse en utilisant le principe fondamental de la dynamique. Dans le code utilisé, des forces d’atténuation visqueuses sont ajoutées dans le calcul, afin de limiter le bruit numérique et de traiter les bords du modèle. Le modèle peut ainsi avoir des bords absorbants qui évitent des réflexions artificielles d’ondes élastiques. Ce processus numérique est détaillée dans Ma et Liu (2006).

Sur la faille, une loi de friction force-déplacement est implémentée. Au départ, tous les points de la faille sont définis dans un état non-glissant. La

force de cisaillement appliquée sur chaque élément de la faille est calculée d’après les valeurs des contraintes. Si cette valeur dépasse la valeur limite

N µsdx2, (où dx est le pas d’espace) le point passe dans un état glissant. Au pas de temps suivant, lorsqu’un point est dans un état glissant, on calcule la distance dont il a glissé grâce à la valeur du glissement au pas précédent et à la valeur de la vitesse de glissement, qui elle est obtenue grâce aux vitesses particulaires de part et d’autre de la faille. Une fois ce glissement obtenu, on en déduit la force de friction subie par l’élément contigu à la faille, en suivant la loi de friction qui donne la force en fonction du glissement. Cette force de friction intervient dans le principe fondamental de la dynamique appliqué aux éléments au bord de la faille. Les points de la faille peuvent repasser de l’état glissant à l’état non-glissant si la vitesse de glissement s’annule. Pour qu’ils repassent à nouveau dans un état glissant, la force cisaillante qui s’applique sur eux doit alors dépasser non plus la contrainte seuil initialement définie, mais un nouveau seuil, plus bas, qui est la valeur de la contrainte cisaillante au moment ou le glissement s’est arrêté. Le glissement est réinitialisé à 0 à chaque fois qu’il s’arrête, cependant une mémoire du glissement total est conservée.

Les paramètres d’entrée du code sont : la taille totale de la grille en nombre de points, la longueur du pas de grille, les dimensions de la faille, la durée du pas de temps et le temps total de calcul. La valeur de µs peut être fixée sur la faille de manière homogène, ou de manière hétérogène par un fichier d’entrée qui détermine sa valeur en chaque point de la faille. Il en est de même pour la valeur de Dc et pour la valeur de la contrainte de cisaillement initiale sur la faille. En sortie, on récupère en chaque point de la faille le glissement à chaque pas de temps et la contrainte cisaillante à chaque pas de temps. Il est également possible de récupérer les valeurs des contraintes et des vitesses sur des plans choisis à l’intérieur du milieu élastique, parallèles ou bien perpendiculaires au plan de faille. Notons que ce code numérique est écrit pour une grille cubique, ce qui oblige à modéliser des failles planes.

Le code numérique a été parallélisé par J.Schmedes, afin de le rendre plus performant. Le principe de cette parallélisation consiste à découper la grille en plusieurs zones. Les calculs concernant chaque zone sont confiés à différents processeurs, qui communiquent entre eux à chaque pas de temps

pour s’échanger les valeurs frontières. Ce principe permet d’obtenir des temps de calculs très raisonnables. Par exemple pour une simulation sur une grille de 160 ×640×340 ≃ 35×106 pas d’espaces et de 2500 pas de temps, les sim-ulations durent environ deux heures en utilisant 64 processeurs. Pour utiliser moins de ressources, il est possible de diminuer le nombre de processeurs utilisés en acceptant des temps de calculs plus longs. Cependant, le nombre de processeurs utilisés doit rester suffisamment élevé pour que la quantité d’information à traiter par chaque processeur ne dépasse pas les capacités de la mémoire vive qui lui est associée.