Descripteurs de formes

In document Approche Quantique pour l Appariement de Formes (Page 64-72)

Caract´eristiques g´eom´etriques Translation Mise `a l’´echelle Rotation

L’´energie de pliage moyenne Oui Non Oui

Excentricit´e Oui Oui Oui

Rapport de circularit´e Oui Oui Oui

Nombre d’Euler Oui Oui Oui

Rectangularit´e Oui Oui Oui

Convexit´e Oui Oui Oui

Solidit´e Oui Oui Oui

Profils Oui Oui Non

Rapport de la surface du trou Oui Oui Oui

Tableau 3.1: L’invariance des param`etres de la forme

Le contour peut ˆetre consid´er´e comme une courbe num´erique, donc on a besoin d’appli-quer plusieurs m´ethodes g´eom´etriques pour son analyse. Cependant, ces descripteurs ne peuvent pas repr´esenter suffisamment la forme en se basent uniquement sur l’information des fronti`eres, par exemple : le probl`eme d’objets avec des trous, les objets partiellement occult´es et les objets complexes compos´es de plusieurs r´egions s´epar´ees, ainsi que leurs faiblesses contre le bruit.

Les descripteurs de forme bas´es r´egion exploitent `a la fois les fronti`eres et les pixels int´erieurs de la forme. Exemples des descripteurs de forme bas´es r´egion : le descripteur Moments g´eom´etriques [CA05] et Matrice de forme [TS89], etc. Ces descripteurs utilisent tous les pixels de la forme et en cons´equence, ils peuvent d´ecrire les diff´erents types de formes efficacement dans un seul descripteur. Ils sont ´egalement robustes aux petites d´eformations sur les fronti`eres d’objets. En plus, la segmentation de r´egions est beaucoup plus facile que les techniques d’analyses utilis´ees pour le contour [Yan08]. Toutefois, la taille d’un descripteur bas´e r´egion est g´en´eralement plus grande et g´en`ere une complexit´e de calcul plus importante lors de l’extraction des caract´eristiques et la mesure de similarit´e.

La repr´esentation la plus naturelle d’une forme dans une image consiste `a une repr´esentation par une image binaire comme suit :

f(i, j) = 0, si(i, j)∈/ objet (3.12)

= 1, si(i, j)∈objet (3.13)

Dans le cas de plusieurs objets, on utilise des ´etiquettes :

f(i, j) = k, si(i, j)∈objet k (3.14)

La technique de repr´esentation de forme bas´ee sur un ensemble fini de points repr´esente le r´esultat d’une op´eration d’´echantillonnage appliqu´ee `a un contour d’objet, exemples de ce type des descripteurs : nous avons shape contexts [BMP00] et voting schemes [VH01], etc.

L’ordre des points n’est g´en´eralement pas important pour ces descripteurs, ils peuvent extraire les caract´eristiques d’un objet avec plusieurs trous ou mˆeme un objet complexe avec plusieurs parties. L’id´ee cl´e de la mesure de similarit´e avec cette approche est de trouver les meilleures correspondances de points entre les formes.

La figure 3.3 montre une repr´esentation de la forme bas´ee r´egion (droite), et une repr´esentation bas´ee contour (centre), et une repr´esentation bas´ee sur l’ensemble fini de points (gauche).

Figure 3.3: Les techniques de repr´esentation de forme

Selon Zhang [ZL04], les m´ethodes de repr´esentation de formes sont divis´ees en deux classes : bas´ees contours et bas´ees r´egions. Ces deux classes peuvent ˆetre divis´ees en deux sous-classes : approches structurelles et approches globales (Figure 3.4) [Ric05][ZL04].

Forme

Approches contours Approches régions

Structurelles Globales Structurelles Globales

Chain code Polygone

B-Spline Invariants

Excentricité Shape Signature Distance de Hausdorff Descripteur de Fourier Descripteur Ondelettes Curvature Scale Space Autoregressivité Elastic Matching

Coque convexe Axes médians Géons

Aire

Nombre d’Euler Moments géométriques Moments de Zernike Pseudo Zernike Moments de Legendre Fourier générique ART

Figure 3.4: La classification des descripteurs de forme

Les approches structurelles d´ecomposent la forme `a des ´el´ements de base appel´es primi-tives selon un crit`ere donn´e ; une phase de segmentation est r´ealis´ee dans le but d’extraire l’ensemble de primitives, ensuite la comparaison de ces primitives afin de mesurer la simi-larit´e entre les formes. La forme peut ˆetre d´ecrite par les m´ethodes structurelles comme un graphe reliant les ´el´ements de base, la comparaison est r´ealis´ee entre les ´el´ements de graphe. Ces m´ethodes pr´esentent deux probl`emes majeurs : l’inexistence d’une d´efinition formelle de la forme et l’incapacit´e de d´eterminer le nombre de primitives n´ecessaires.

Aussi, la mesure de similarit´e dans les approches structurelles est non m´etrique. Un autre

probl`eme est leurs faiblesses contre l’apparition de bruit qui limite les domaines de leurs utilisations [ZL04].

Les m´ethodes globales font une analyse compl`ete de la forme, les descripteurs de cette technique repr´esentent l’int´egralit´e de la forme, et la mesure de similarit´e est appliqu´ee directement sur les descripteurs, cette mesure de similarit´e est g´en´eralement m´etrique.

3.4.1 Descripteurs bas´ es r´ egion

3.4.1.1 Moments

Un objet dans une image peut ˆetre d´ecrit par un ensemble des momentsmp,g, le moment (p, g) d’un objet O ⊆R2 est d´efini par :

mp,g = Z

(x,y)∈O

xpyqdxdy (3.15)

Pour un ensemble fini de points, l’int´egral peut ˆetre remplac´e par la somme : mp,g =X

x

X

y

xpyqf(x, y) (3.16)

Les moments capturent l’information globale de l’image bas´ee r´egion, le moment d’ordre z´ero m00 est ´egal `a la surface de la forme en supposant que f(x, y) est la fonction de silhouette. Les moments sont parmi les premiers descripteurs d’images dans la vision par ordinateur.

A partir de l’´equation de moments, plusieurs fonctions peuvent ˆetre d´efinies pour am´eliorer la d´efinition classique des moments en rajoutant par exemple l’invariance `a certaines transformations g´eom´etriques, par exemple Hu [Hu62] a d´ecrit un ensemble de moments invariants `a la translation et `a la similitude.

3.4.1.2 Descripteur ART (Angular Radial Transform)

La technique ART est une transformation 2D complexe d´efinie sur un disque unitaire [ZP04], la m´ethode ART est compacte et efficace dans la repr´esentation des r´egions dis-jointes. La technique extrait un ensemble des coefficients ART fnm d’ordre n et m, de chaque forme par la m´ethode suivante :

Fnm =V nm(p, θ), f(p, θ) (3.17)

=

X

0 1

X

0

V nm(p, θ), f(p, θ)p (3.18)

O`uf(p, θ) est la fonction d’intensit´e de l’image, etV nm(p, θ) la base de la fonction d´efinie sur le disque unitaire de fa¸con s´eparable comme suit :

V nm(p, θ) = 1

2πexp(jmθ)Rn(p), (3.19)

Rn(p) = 1 si n= 0, (3.20)

= 2cos(πnp) si n 6= 0 (3.21)

3.4.1.3 Enveloppe convexe (Convex hull)

Une r´egion R est dite convexe lorsque pour chaque deux points x1, x2 ∈ R, le segment [x1, x2] qui les joint est enti`erement contenu [ZL04]. L’enveloppe convexe est d´efinie comme la plus petite r´egion convexe H qui satisfait la conditionR ⊂H. La diff´erenceH−R est appel´ee la carence convexe Dde la r´egion R.

3.4.1.4 Matrice de forme (Shape matrix)

La plus part des approches bas´ees sur la matrice de forme place la forme dans une grille rectangulaire pour ´echantillonner l’information globale de la forme afin de cr´eer une ma-trice binaire o`u chaque valeur dans la matrice repr´esente un ´el´ement de grille ; les m´ethodes bas´ees sur les grilles rectangulaires ne sont g´en´eralement pas invariantes `a la translation,

`

a la rotation et `a la mise `a l’´echelle, alors la normalisation est n´ecessaire.

Goshtasby [Gos85] a utilis´e le mˆeme principe d’´echantillonnage mais il a remplac´e la grille rectangulaire par une grille polaire de cercles concentriques et de lignes radiales positionn´ee au centre de masse de la forme (Figure 3.5). La matrice est form´ee de telle sorte que les cercles correspondent aux colonnes de la matrice et les lignes radiales correspondent aux lignes de la matrice. Cette m´ethode est invariante `a la translation, `a la rotation et `a la mise `a l’´echelle.

Figure 3.5: Une matrice de forme

3.4.1.5 Transform´ee d’axe m´edian

La transform´ee d’axe m´edian repr´esente la forme par un graphe dont les caract´eristiques importantes de la forme sont pr´eserv´ees [Arı03]. Le graphe est bas´e sur le squelette de la forme. La premi`ere ´etape est la construction du squelette, la mani`ere la plus facile de squelettisation est l’amincissement d’une forme jusqu’`a obtenir un ensemble des courbes centr´ees [Dav04]. Le squelette peut ˆetre d´efini comme un ensemble connexe de lignes m´edianes (Figure 3.6) [ZL04]. Un des points faibles de la m´ethode transform´ee d’axe m´edian est sa sensibilit´e au bruit du contour.

Figure 3.6: La construction du squelette

3.4.2 Descripteurs bas´ es contour

3.4.2.1 Signatures de forme

Une signature de forme repr´esente la forme par une fonction unidimensionnelle obtenue

`

a partir des points de contour. Il existe plusieurs signatures de forme comme, l’angle de la tangente [ZL+01], courbure du contour [WLT99], etc. Les signatures de forme sont g´en´eralement normalis´ees afin d’ˆetre invariantes `a la translation et `a la mise `a l’´echelle.

Cette technique `a deux probl`emes majeurs : le coˆut d’appariement ´elev´e et la sensibilit´e contre le bruit.

3.4.2.2 Moments de fronti`ere (Boundary moments)

Cette m´ethode peut ˆetre utilis´ee pour r´eduire les dimensions de la repr´esentation du contour de la forme. Supposons que le contour de la forme est repr´esent´e par la signature de forme z(i) alors le moment mr et le moment central µr [SHB14] peuvent ˆetre d´efinis comme suit :

mr = 1 N

N

X

i=0

[z(i)]r (3.22)

µr = 1 N

N

X

i=0

[z(i)−m1]r (3.23)

O`uN est le nombre de points du contour. L’avantage de cette technique qu’elle est facile `a impl´ementer, les moments normalis´es ¯mr =mr/(µ2)r/2 et ¯µrr/(µ2)r/2 sont invariants

`

a la translation, `a la rotation et `a la mise `a l’´echelle. Pour avoir des descripteurs moins sensibles au bruit on peut utiliser :

F1 = (µ2)1/2

m1 (3.24)

F2 = µ3

2)3/2 (3.25)

F3 = µ4

2)2 (3.26)

3.4.2.3 L’appariement ´elastique (Elastic matching)

Selon cette m´ethode, un mod`ele d´eform´e peut ˆetre g´en´er´e `a partir de mod`ele d’origine t(s) et de la d´eformation θ(s).

ϕ(s) = t(s) +θ(s) (3.27)

O`u t= (tx, ty) est une spline de deuxi`eme ordre et θ= (θx, θy) repr´esente la d´eformation [DBP97]. La similarit´e entre la forme originale du mod`ele et la forme de l’objet dans l’image est mesur´ee par la fonction suivante :

F =S+B+M (3.28)

=x Z 1

0

[(dθx

ds )2+ (dθy

ds )2]ds+β Z 1

0

[(d2θx

ds )2+ (d2θy

ds )2]ds+ Z 1

0

IE(ϕ(s))ds (3.29) O`uIE est l’image d’objet,S est l’´energie de d´eformation et B l’´energie de courbure et M la mesure de degr´e de chevauchement entre les deux formes.

3.4.2.4 Espace d’´echelle (Scale space)

Le probl`eme de la sensibilit´e au bruit et les variations du contour dans la plupart des m´ethodes du domaine spatial, dirige vers l’utilisation de la m´ethode de l’espace `a ´echelle.

La repr´esentation en espace `a l’´echelle d’une forme est cr´e´ee par le suivi des positions des points d’inflexions dans le contour d’une forme filtr´ee par des filtres passe-bas gaussien des largeurs variables. Chaque fois que la largeur de filtre gaussien augmente, les inflexions insignifiantes sont ´elimin´ees du contour et en cons´equence la forme devient plus lisse et plus claire. Les points d’inflexion restant dans le contour sont les caract´eristiques significatives de l’objet.

Une des variantes de la technique espace `a l’´echelle la plus utilis´ee est la m´ethode CSS (Curvature Scale Space), nous avons le contour C param´etr´e par la longueur d’arc s , C(s) = (x(s), y(s)) [Vel01], une convolution est appliqu´ee sur la fonction de coordonn´ees

de C avec un noyau gaussien φσ de largeur σ : xσ(s) =

Z

x(s)φσ(t−s)dt (3.30)

yσ(s) = Z

y(s)φσ(t−s)dt (3.31)

φσ(t) = 1

2πσ2e t

2

2 (3.32)

Avec l’augmentation de la valeur de σ le contour obtenu devient plus lisse (Figure 3.7).

Figure 3.7: L’effet d’augmentation de la valeur de σ 3.4.2.5 Descripteur de Fourier

Le descripteur de Fourier d´ecompose le contour de la forme en des fr´equences obtenues par la transform´ee de Fourier, cette transform´ee est appliqu´ee `a la fonction du contour et les r´esultats sont des coefficients utilis´es pour la repr´esentation de la forme [Arı03]. La transform´ee de Fourier discr`ete pour une forme u(s) est donn´ee comme suit :

an = 1 N

N−1

X

s=0

u(s)exp(−j2πis/N) (3.33)

Afin de r´ealiser l’invariance `a la translation et `a la rotation, l’information de phase de an

est ignor´ee et nous n’utilisons que l’amplitude|an|. Les amplitudes sont divis´ees par |a0| pour obtenir l’invariance `a la mise `a l’´echelle.

3.4.3 Ensemble fini de points

3.4.3.1 Contexte de forme (Shape context)

Cette m´ethode extrait une caract´eristique globale de forme appel´ee shape context. La premi`ere ´etape consiste `a la d´etection du contour et `a la s´election d’un ensemble de n points, pour extraire les caract´eristiques en un point p, des vecteurs de p vers tous les autres points sont trac´es, la longueur r et l’orientation θ de ces vecteurs sont quantifi´ees pour cr´eer un histogramme de distribution spatiale qui est utilis´e pour repr´esenter le point

p.

L’ensemble d’histogrammes de tous les points dans la forme repr´esente le shape context.

L’appariement entre deux formes est r´ealis´e en trouvant l’ensemble des correspondances entre les points qui donne le coˆut d’appariement le plus faible [BMM06].

3.4.3.2 Contexte de forme `a distance int´erieure (Inner-distance shape contexts) La m´ethode Inner-Distance Shape Contexts (IDSC) propos´ee par Ling [LJ07] pour rem´edier

`

a la faiblesse de shape context `a capturer les formes articul´ees. La distance int´erieure (Inner-Distance) peut ˆetre d´efinie comme la distance entre deux points de contour, dans int´erieur du contour de la forme (Figure 3.8), ensuite la distance int´erieure est utilis´ee pour remplacer la distance euclidienne pour construire l’histogramme de shape context.

Figure 3.8: La distance int´erieure entre deux points

3.4.4 L’invariance et la r´ esistance des descripteurs de forme

L’invariance des descripteurs de forme contre les diff´erents types de transformations g´eom´etriques, et leur r´esistance contre l’occultation et le bruit, ainsi que leur complexit´e de calcul est r´esum´ee dans le tableau 3.2 [Yan08].

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