Des homotopies par fonctions génératrices

On commence par faire la remarque suivante.

Lemme 4.3.13. Soit F1 une fg QI et soit F2 une fg QL, alors F1+2 est (équivalente à)

une fg QL.

Preuve. Soit F1 une fg QI décomposée en F1 = f1+ Q1, où f1 est à support compact et

dénie R×(Rk1₎et Q

1 forme quadratique de référence d'espace additionel Rk1. Soit F2une

fg QL décomposée en F2 = f2+Q2+l, où f2 est à support compact et dénie R×(Rk2×R),

Q2 forme quadratique de référence de la variable additionnelle w2 ∈ Rk2, et l une forme

linéaire de la variable additionnelle v ∈ R. Alors, il existe un intervalle compact I de R tel que F1+2est confondu avec Q1⊕ Q2⊕ len dehors de I × (Rk1× Rk2× R). De plus la norme

du gradient partiel ∇(w1,w2,v)(F1+2− Q1⊕ Q2⊕ l) en tout point de I × (R

k1 _{× R}k2_{× R)}

est égale à celle de ∇(w1,w2,v)f1+2. Or :

k ∇_(w1,w2,v)f1+2k2=k ∇w1f1k

2_{+ k ∇}

(w2,v)f2 k

2_.

Puisque f1 et f2 sont à supports compacts, le membre de droite cette l'égalité est borné.

Donc ∇(w1,w2,v)(F1+2− Q1⊕ Q2⊕ l)est borné en tout point de I × (R

k1_{× R}k2_{× R), d'où}

le résultat.

Application 1. Dénouement d'un n÷ud long fg QI

Considérons un n÷ud legendrien long L, à support I = [q1, q2], et un représentant L

du n÷ud trivial maximal dont le support contient I, étiré en longueur de sorte que les cusps droit et gauche se tiennent en dehors du support de L, et dont la hauteur ne dépasse pas un petit  > 0 (voir gure 4.37). Il est facile d'observer que le résultat de cette somme est legendriennement isotope à l'identité.

Figure 4.36  La somme d'un n÷ud long avec un certain représentant du n÷ud trivial maximal est isotope à n÷ud legendrien trivial maximal.

4.3. COBORDISMES FG QI 133 Lemme 4.3.14. Soit L un n÷ud legendrien fg QI. La somme L+L est un n÷ud legen-

drien fg QL et il existe une isotopie fg QL qui envoie L+L sur le n÷ud legendrien trivial

maximal. On note

L+L ∼

iso. fgQL .

Preuve. Le lemme 4.3.13 assure que le résultat de la somme de L n÷ud fg QI et de L

qui est un n÷ud fg QL est fg QL. Le théorème de Chekanov (théorème 1.3.21) permet de conclure en suivant une isotopie legendrienne entre L+L et le n÷ud legendrien trivial

maximal par une grande fg QL.

Application 2. Fermeture fg QL de la somme connexe d'un n÷ud fg QI et de son miroir

Si dans l'application précédente on fait la somme d'un n÷ud legendrien long L avec un représentant LT du n÷ud trivial maximal de hauteur T grande, on obtient deux copies du

n÷ud, l'une franchement au dessus de l'autre (voir gure 4.37). L'astuce décrite en gure 4.31 permet de conclure que le résultat est isotope à la fermeture de la somme connexe de Lavec son miroir ¯L (dénition 4.3.7). Il vient le résultat suivant :

Lemme 4.3.15. Soit L un n÷ud legendrien fg QI. Les n÷uds L+LT et d¯L#Le sont fg

QL et il existe une isotopie fg QL qui envoie l'un sur l'autre. On note

L+LT ∼

iso. fgQLd ¯L#Le.

Figure 4.37 

Mis ensembles, les deux lemmes conduisent à un phénomène surprenant. Soit L un n÷ud legendrien long fg QI. On considère la famille à 1 paramètre des sommes L+Lt,

t ∈ [, T ]où Lt est le représentant du n÷ud legendrien trivial maximal de grande largeur

et dont on fait varier la hauteur de  très petit à T grand. Aucun moment de cobordisme n'est rencontré dans la famille (L+Lt)t; c'est une homotopie entre L+L et L+LT. Il

vient :

Proposition 4.3.16. Soit L un n÷ud legendrien fg QI. On considère la fermeture de la somme connexe de L avec son miroir legendrien : d¯L#Le. Il existe une famille à un paramètre t de fg QL qui réalise une homotopie entre d¯L#Le et le n÷ud trivial maximal.

On note :

d ¯L#Le ∼

hom. fgQL .

Remarque 4.3.17. La famille à 1 paramètre des sommes L+Lt, t ∈ [, T ] où Lt est le

n÷ud L1 dont on fait varier la hauteur de  très petit à H grand forme les tranches d'une

sous-variété legendrienne L de J1

(R × [, T ], R).

L est aussi la somme du cylindre L1basé sur

L1 :

L1 = {(u, q, t, p, 0) / (u, q, p) ∈ L , t ∈ [, T ]}

et de :

L2 = {(tu, q, t, tp, u) / (u, q, p) ∈ L1, t ∈ [, T ]}.

Figure 4.38  Somme L1+L2.

Remarque 4.3.18. De manière similaire, si L est un n÷ud legendrien fg QI, on montre l'existence d'une famille à un paramètre de fg QI réalisant une homotopie entre L et la somme connexe L#¯L#L :

L# ¯L#L ∼

hom. fgQIL.

Question : Étant donnés deux n÷uds fg, on sait que toute homotopie entre eux n'est pas réalisable par une fg, mais peut en existe-t-il une qui l'est. Autrement dit, est-ce que

L ∼

hom. fgQI O ? Ce résultat entraînerait en particulier que le groupe de concordance fg QI

est trivial.

Question : Dans le cas des n÷uds 1-(fg QI), le mouvement d'homotopie qui dénoue deux brins enlacés peut être systématiquement réalisé par une famille à 1-paramètre de fg QI  mais pas celui qui noue. Est-ce que ce mouvement, réuni avec les trois mouvements de Reidemeister, est susant pour dénouer les n÷uds 1-(fg QI) ?

Annexe A

Rappels de théorie de Morse pour les

fonctions dénies sur Rn

La théorie de Morse est l'étude à la fois locale et globale des points critiques de fonctions (génériques) dénies sur une variété, et de leur relation avec la topologie de la variété. On rappelle ici les grandes lignes dans le cadre qui nous intéresse. Il existe de nombreuses références. Le lecteur trouvera par exemple dans [6] et [31] cette théorie développée sous forme de cours détaillés et motivés.

On commence par clarier la notion de généricité. Elle est au c÷ur de l'utilisation de la théorie de Morse pour les fonctions, mais pas seulement.

A.1 Préliminaire : généricité

Pour cette partie, on renvoie en particulier au chapitre 5 de [31] intitulé Transversalité. Une première version de la généricité est celle attribuée à une propriété satisfaite par presque tout objet d'un espace mesurable (sur Rn_{, on pense à la mesure de Lebesgue).}

C'est ce qui apparaît par exemple dans le théorème de Sard (théorème A.2.3).

Plus généralement, on se place dans un espace topologique de Baire, c'est-à-dire tel que toute intersection dénombrable d'ouverts denses1 est un sous-ensemble dense.

Dénition A.1.1. Sur un espace de Baire, on dit d'une propriété qu'elle est générique si elle est satisfaite par une intersection dénombrable d'ouverts denses.

On dit, par abus de langage, que les objets appartenant à ce sous-ensemble sont géné- riques.

L'espace topologique qui nous concerne est celui des applications lisses d'une variété lisse M sur une variété lisse N, noté C∞_{(M, N ), équipé de la topologie ne de Whitney}

1. Une telle intersection est aussi appelée un sous-ensemble résiduel.

(voir [27]). C'est un espace de Baire. La suite de cette annexe concernera le cas particulier de l'espace des fonctions C∞

(Rn, R).

Nous nous intéressons aux chapitres 1 et 2 à la généricité de certaines propriétés sur les sous-variétés, non directement sur les fonctions. Il s'agit d'un abus de langage qui identie une sous-variété N dans une variété M à un plongement propre d'une variété abstraite ˜N dans M. Une propriété génériquement vériée par N devient une propriété génériquement vériée par un plongement propre dans C∞_{( ˜N , M ).}

Remarque A.1.2. Si dim(M) > 2dim(N) + 1, alors l'ensemble des plongements propres est lui aussi un espace de Baire.

Exemple A.1.3. Par exemple, un plongement propre générique du cercle dans R3 _se

projette sur un plan donné en ne faisant apparaître que des singularités de type intersection transverse, ou croisements. (En ajoutant à chaque croisement l'information d'ordre dans lequel les deux brins se sont projetés, on obtient l'outil diagramme en théorie des n÷uds.) Exemple A.1.4. Une sous-variété legendrienne de dimension n dans un espace de 1-jets J1(M, R) en position générique se projette sur l'espace des 0-jets correspondant, J0(M, R), en une sous-variété singulière stratiée de codimension 1 (voir chapitre 1 dénition 1.1.10 et fronts d'onde de dimensions 1 et 2).

A.2 Dénitions, théorème de Sard, lemme de Morse et lemme