La densité spectrale de phase

La densité spectrale de phase représente la répartition des fluctuations de phase en fonction de la fréquence, soit le poids de chaque fréquence dans les fluctuations de phase. La densité spectrale de phase se calcule comme le module au carré de la transformée de Fourier de la phase, divisée par le temps d’intégration (T) (eq. 3.7). Elle s’exprime en Hz−1 et on la trace habituellement en échelle logarithmique.

P SD∆ϕ= |T F [∆ϕ(t)]|2/T (3.7)

La densité spectrale permet de repérer les différentes zones des fluctuations de phase, d’identifier les pics de fluctuations parasites et donc de mieux comprendre les résultats de mise en phase.

3.4. Étude fréquentielle de la phase 75

Figure 3.15 – Densité spectrale de phase des ondes harmoniques quand la boucle d’asservissement est ouverte ou fermée sur le signal d’interférence des ondes harmo- niques

De plus, la densité spectrale de phase permet d’évaluer la qualité de mise en phase (i.e. le λ/N ) avec plus de précision. Pour calculer le λ/N , l’égalité de Parseval est utilisée :

V ar(∆ϕ) =

Z ∞

0

P SD∆ϕ(ω) dω (3.8)

Le N du λ/N a été défini par l’équation 3.6 à partir de l’écart type de ∆ϕ, donc la racine carrée de la variance. De manière pratique, le λ/N s’exprime à partir de la racine carrée de l’intégrale de la PSD.

Cette technique de calcul utilise la phase mesurée par détection I/Q et non plus le signal d’interférence pour évaluer la qualité de mise en phase. Une variation de puis- sance de l’une des deux voies sera détectée par les deux photodiodes de la détection I/Q simultanément et ne se répercutera pas sur la mesure de phase. Cette méthode de mesure permet donc de s’affranchir des variations de puissance des deux voies et des limites de la sensibilité de l’oscilloscope.

Analyse de la PSD

Les densités spectrales de phase sont tracées figure 3.15 pour le déphasage des ondes harmoniques lorsque la boucle d’asservissement est ouverte ou fermée sur le signal d’interférences des ondes harmoniques. Les acquisitions durent 1 minute avec une fréquence d’acquisition de 50 kHz. Il n’est donc pas possible de calculer la PSD pour des fréquences supérieures à 25 kHz (fréquence de Nyquist). D’autre part, les valeurs de PSD pour des fréquences inférieures à 0,1 Hz, ne comportent pas assez de points pour être représentatives.

PSD est grande. A boucle ouverte, la majeure partie des fluctuations a une fréquence inférieure à quelques kilohertz. Il faut donc que la fréquence de coupure de l’asservis- sement soit supérieure au kilohertz pour obtenir une bonne qualité de mise en phase (> λ/20).

On observe que la PSD à boucle fermée est inférieure à celle en boucle ouverte jusqu’à une certaine fréquence (≈ 4 kHz) car en boucle fermée, l’asservissement mi- nimise les variations du ∆ϕ. On remarque que ce sont principalement les fluctuations à basses fréquences qui sont éliminées par l’asservissement.

L’asservissement a besoin d’un certain nombre d’itérations pour bloquer les inter- férences dans un état constructif. A partir d’une certaine fréquence, l’asservissement ne peut plus suivre suffisamment rapidement, et ne compense plus les fluctuations de phases. 4 kHz doit être proche de la fréquence de coupure sachant que la fréquence de marquage est ici de 56,6 kHz. On cherchera d’ailleurs dans la suite à mesurer la fréquence de coupure à partir de laquelle les fluctuations de phase ne sont plus compensées par l’asservissement.

L’étude de la PSD permet aussi d’identifier certains pics de fréquences parasites et d’essayer d’atténuer les fluctuations de phase associées à ces pics.

Par exemple, à boucle d’asservissement ouverte, le pic large centré sur 15 Hz environ est dû aux fluctuations de température du four contenant le cristal de 5 cm. Ce four fonctionne en tout ou rien, 15 Hz est la fréquence à laquelle l’asservissement en température du four envoie la commande. Ce pic étant dans la bande passante de l’asservissement, les fluctuations sont compensées et n’apparaissent pas sur la PSD à boucle fermée. L’autre four n’apparaît pas sur la PSD, son asservissement étant basé sur un module Peltier, les variations de température et donc les fluctuations de phase induites sont beaucoup plus petites.

Les pics fins à 50 Hz, 100 Hz et toutes les harmoniques sont du bruit électrique. Leur présence était limitante pour la qualité de mise en phase. Afin de réduire ce bruit, le détecteur servant à la mise en phase a été isolée électriquement des détecteurs servant à la mesure de phase. La qualité de mise en phase de l’onde harmonique est ainsi passée de λ/22 à λ/30.

Il est aussi intéressant de calculer les PSD des ondes fondamentales lorsque la boucle d’asservissement est fermée sur le signal d’interférences des ondes harmoniques représenté figure3.16. La qualité de mise en phase, calculée pour le fondamental, est alors de λ/23.

Le pic centré sur 15 Hz sur le fondamental correspond au pic d’asservissement du four vu sur la PSD de l’harmonique à boucle ouverte (figure3.15). L’effet des fluctua- tions du four sur la phase de l’onde harmonique sont compensées par l’asservissement mais cela les amplifie sur le fondamental. On observe le même phénomène pour le bruit électrique sur la phase de l’onde fondamentale.

De plus, les fluctuations de phase sur le fondamental sont plus importantes pour des très basses fréquences (f<1 Hz), celles ci sont attribuées aux variations thermiques

3.4. Étude fréquentielle de la phase 77

Figure 3.16 – Densité spectrale de phase des ondes harmoniques et des ondes fon- damentales quand la boucle d’asservissement est fermée sur le signal d’interférences des ondes harmoniques

induisant des différences de chemin optique supplémentaires entre les deux voies. L’étude de la densité spectrale de phase permet de préciser l’origine des fluctua- tions de phase, d’identifier les différentes sources de bruit afin de les neutraliser.