Systèmes Dynamiques Topologiques
Théorème 5.5.33. Soit X une dendrite locale. Alors, il existe une suite de
dendrites (Xm)m≥1 telle que X = [m
i=1
Xi et Xi∩ Xj est fini pour tout 1 ≤ i 6= j ≤ m.
Démonstration. Soit S1, S2, . . . , Sn tous les cercles dans X et soit G un graphe de X défini par l’intersection de tout sous graphe de X contenant [n
i=1
Si. Nous pouvons écrire G := [N
i=1
Ai, où chaque Ai est un arc et pour chaque 1 ≤ i 6=
j ≤ N, Ai et Aj sont disjoints ou recoupés dans un ou deux de leurs points des extrémités. Soit (Ci)i∈D une suite de composantes connexes de X\G où D est au plus dénombrable.
Maintenant, nous notons par :
D1 =ni ∈ D, Ci∩ A1 6= ∅o et pour 2 ≤ k ≤ N,
Dk =ni ∈ D\(D2∪ D3 ∪ · · · ∪ Dk−1), Ci∩ Ak 6= ∅o.
Il est facile de voire que, pour tout 1 ≤ k ≤ N, Xk:= [
i∈Dk
(Ci∪ Ak) est une sous dendrite de X telle que X = [N
k=1
Xk avec Xi∩ Xj est fini, pour tout 1 ≤ i 6= j ≤ N.
Proposition 5.5.34. L’ensemble des points de branchement B(X) d’une
5.5. Graphes, Dendrites et Dendrites locales : 121
Proposition 5.5.35. Soit X une dendrite locale. Si A et B deux sous
continuums de X tel que A ∩ B soit infini, alors A ∩ B contient un arc de X.
Démonstration. Soient A et B deux sous contiuums de X tel que A ∩ B est un
sous-ensemble infini donc il est compact de X. Alors, il existe une suite infinie (xn)n∈N ⊂ A ∩ B qui converge vers un point x ∈ A ∩ B. Soit U un voisinage de x dans X, tel que U est une dendrite. Le fait que A et B sont deux dendrites locales, alors il existe deux voisinages V, W pour le point x dans A respectivement B tels que V et W sont deux dendrites et V ∪ W ⊂ U. Comme (xn)n∈N une suite infinie de A ∩ B et lim
n→∞xn = x, alors il existe m ∈ N tel que xm ∈ V ∩ W et
x 6= xm. Soit I et J deux arcs dans V respectivement W joignant x et xm alors
I et J sont deux arcs dans la dendrite U joignant x et xm. Il en résulte que
I = J ⊂ A ∩ B.
Proposition 5.5.36. Soient X une dendrite locale, Y un sous continuum de
X différent de tout cercle de X et Z une sous dendrite de Y . Si Y \Z est non connexe, alors X\Z l’est aussi.
Démonstration. Par hypothèse, nous avons Y est une sous dendrite et Y \Z non
connexe. Donc il existe deux points distincts a, b ∈ Y \Z et un arc I joignant a et b dans Y tel que I 6⊂ Y \Z. Nous prétendons que I est l’unique arc dans X joignant a et b. Supposons qu’il existe un arc J 6= I dans X joignant a et b. Alors, l’union des arcs I et J contient nécessairement un cercle S. D’où S ∩ I 6= ∅. Donc
S ∩ Y 6= ∅, contradiction.
Proposition 5.5.37. Soient X une dendrite locale et Y une sous dendrite locale
de X contenant tous les cercles de X. Alors, tout arc dans X avec ses points des extrémités dans Y est inclu dans Y .
Démonstration. Supposons que A un arc dans X avec E(A) = {x, y} ⊂ Y tel
que A 6⊂ Y . Comme Y est une connexe par arc, alors il existe un arc B dans Y tel que E(B) = {x, y}. Puisque A\Y 6= ∅, nous notons alors A′
la fermeture de la composante connexe de A\Y avec E(A′
) = {a, b} et B′
un arc dans B avec
E(B′
) = {a, b}. Remarquons que A′
\{a, b} ∩ Y = ∅ d’où A′
∪ B′ est un cercle non inclu dans Y , une contradiction, le fait que Y contient tous les cercles.
Proposition 5.5.38. Soit X une dendrite locale et soient a, b ∈ X tel que a 6= b.
Soient V et W deux voisinages connexes disjoints des points a et b respectivement. Alors, pour tout point c ∈ V et d ∈ W , et pour tout arc B joignant c et d, il existe un arc A joignant a et b tel que A ∩ B 6= ∅.
Démonstration. Par la définition d’une dendrite locale X, le nombre de cercles est
fini. Donc, pour tout p ∈ N, il existe des arcs finis (Ai)1≤i≤p avec E(Ai) = {a, b}. Supposons que pour tout i ∈ {1, . . . , p}, Ai∩ B = ∅. Soit L un arc en V joignant
122 Chapitre 5. Préliminaries contenant a et b, alors il existe i0 ∈ {1, . . . , p} tel que Ai0 ⊂ K ∪ L ∪ B. Comme
Ai0∩ B = ∅, alors Ai0 ⊂ K ∪ L, une contradiction, le fait que Ai0 est connexe et
K ∩ L= ∅.
Proposition 5.5.39. Soient X une dendrite locale et Y une sous dendrite locale
de X distincte de X telle que tout arc de X joignant deux points distincts de Y est inclus dans Y . Alors pour toute composante connexe C de X\Y , C ∩ Y est réduit à un point.
Démonstration. Supposons que C∩Y contient au moins deux points distincts a et
b. Donc il existe (an)n∈N,(bn)n∈N⊂ C tel que lim
n→∞d(an, a) = 0 et lim
n→∞d(bn, b) = 0. Comme X est localement connexe, alors il existe deux voisinages connexes
V et W des points a et b respectivement tel que V ∩ W = ∅. D’où, il existe
N ∈ N tel que aN ∈ V et bN ∈ W. Soit I un arc en C joignant aN et bN. Par la Proposition 5.5.38, il existe un arc J joignant a et b tel que J ∩ I 6= ∅. Comme
J ⊂ Y et I ⊂ C, alors C ∩ Y 6= ∅, une contradiction.
Maintenant, soit Γ(X) le plus petit graphe contenant tous les cercles de la dendrite locale X. Nous définissons X\Γ(X) := F
i∈A
Cioù Cisont les composantes connexes de X\Γ(X) et A est un ensemble au plus dénombrable. Comme B(X) est au plus dénombrable, alors par la Propostion 5.5.39, pour tout i ∈ A, Ci ∩ Γ(X) est réduit à un point zi. Soit Ak un sous-ensemble de A tel que, pour chaque i ∈ Ak, Ci∩Γ(X) = {zk}. Nous mettons Ck= F
i∈Ak
Ci.
Lemme 5.5.40. Avec la même notation ci-dessus, (Ck)k sont des sous dendrites de X deux à deux disjoints.
5.6 Récurrence dans les graphes, les dendrites
et les dendrites locales
Dans cette partie, nous allons donner certaines propriétés pour différents types de récurrences d’une application de graphe G, dendrite et dendrite locale
X dans lui-même.
5.6.1 Récurrent par point d’application graphe, dendrite
et dendrite locale
•Cas graphe
Théorème 5.6.1 ([89]). Soit f une application continue de graphe G dans
lui-même. Alors f est récurrente par point si et seulement si l’une des affirmations suivantes est valable :
5.6. Récurrence dans les graphes, les dendrites et les dendrites
locales 123
1. G est un cercle et f est un homéomorphisme topologiquement conjugué à une rotation irrationnelle du cercle unitaire S1.
2. f est un homéomorphisme périodique (c’est-à-dire, fm = l’application d’identité, pour certains m ∈ N).
Théorème 5.6.2 ([90]). Soit f une application continue de graphe G dans
lui-même. Alors, f est relativement récurrente par point si et seulement si l’une des déclarations suivantes est valable :
1. G est un cercle et f est topologiquement conjuguée à une rotation irrationnelle du cercle unitaire S1.
2. P (f) = G.
•Cas dendrite
Théorème 5.6.3 ([91]). Soit f : X → X une application de dendrite. Si
B(X) est discret, alors f est récurrente par point si et seulement si f est un
homéomorphisme et chaque point de coupure est périodique.
Remarquons que, par la Proposition 5.5.12, le Théorème 5.6.3 est reste valable si E(X) est fermé.
Corollaire 5.6.4 ([91]). Soit f : X → X une application de dendrite. Si f
est récurrente par point et B(X) est discret, alors chaque point d’extrémité de dendrite X est régulièrement récurrent.
Théorème 5.6.5 ([91]). Soit f : X → X une application de dendrite. Si E(X)
est dénombrable, alors f est récurrente par point si et seulement si f est un homéomorphisme périodique par point.
Définition 5.6.6. Soient X, Y deux espaces topologiques. Une application f :
X → Y est dite monotone si, pour tout sous-ensemble connexe C de Y , f−1(C) est connexe.
Théorème 5.6.7 ([87]). Soit f : X → X une application monotone de dendrite.
Les affirmations suivantes sont équivalentes : 1. f est récurrente par point.
2. f est relativement récurrente.
3. Chaque point de coupure est un point périodique.
•Cas dendrite locale
Théorème 5.6.8 ([82]). Soit f : X → X une application monotone de
dendrite locale. Supposons que P (f) 6= ∅. Alors, les affirmations suivantes sont équivalentes :
124 Chapitre 5. Préliminaries
1. f est récurrente par point. 2. f est relativement récurrente.
3. Chaque point de coupure est périodique.