Demande d’Énergir

onde hSi ´e uma matriz sub-unit´aria (hSi hSi† < I, onde I ´e a matriz identidade de

mesma ordem de S), dada em termos de parˆametros fenomenol´ogicos de reflex˜ao das barreiras (1) e (2) por

hSi = µ r(1) ₀ 0 r(2) ¶ . (1.23)

O n´ucleo de Poisson ser´a usado nos cap´ıtulos 4 e 5 para gerar a m´edia de cumulantes no limite semicl´assico em sistemas mesosc´opicos com barreiras e na presen¸ca de espalhamento magn´etico e intera¸c˜ao spin-´orbtita.

1.3

Teoria de Levitov-Lesovik

Quando o fluxo de corrente que atravessa a nanoestrutura tem baixa intensidade, um ´unico portador de carga ganha importˆancia experimental. Por outro lado, o processo de espalhamento quˆantico gera reflex˜ao ou tunelamento, conforme visto na se¸c˜ao anterior. Dessa forma, espera-se que o n´umero finito de modos propagantes em um fluxo de corrente muito baixo imponha um v´ınculo muito forte sobre o processo de transmiss˜ao: existe uma estat´ıstica de carga transmitida pelo sistema mesosc´opico. A estat´ıstica de contagem de el´etrons foi desenvolvida por Levitov e Lesovik, na referˆencia [24], por completa analogia com a estat´ıstica de contagem de f´otons em ´otica quˆantica, como pode ser visto na referˆencia [25]. O m´etodo experimental consiste em obter a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de probabilidade Pn de observa¸c˜ao de n

el´etrons transferidos atrav´es do sistema mesosc´opico durante um certo tempo de observa¸c˜ao t. A fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de probabilidade pode ser escrita em termos de uma fun¸c˜ao geratriz χ(λ), associada ao processo de medi¸c˜ao estendida no tempo. A justificativa microsc´opica para o parˆametro λ para b´osons e para f´ermions pode ser encontrada nas referˆencias [24, 26]. A rela¸c˜ao entre Pn e χ(λ) ´e

χ(λ) = ∞ X n=0 einλPn e Pn= Z _π −π dλ 2πχ(λ)e −inλ_{. (1.24)}

Note-se, pela equa¸c˜ao (1.24), que a propriedade χ(0) = 1 estabelece a nor- maliza¸c˜ao da distribui¸c˜ao de probabilidade, P_nPn = 1. A equa¸c˜ao (1.24) tamb´em

permite conex˜ao direta com as caracter´ısticas estat´ısticas da distribui¸c˜ao Pn. Para

isso, vamos fazer a seguinte expans˜ao lnχ(λ) = ∞ X k=1 qk (iλ)k k! , (1.25)

1.3 Teoria de Levitov-Lesovik 18

Figura 1.7: Os gr´aficos exibem a distribui¸c˜ao estat´ıstica experimental da contagem de n el´etrons entrando em um ponto quˆantico durante um tempo de observa¸c˜ao t. Os dois pain´eis, (a) e (b), diferem por valores de tens˜ao nos “gates”(port˜oes de entrada e sa´ıda de el´etrons). O tempo t ´e escolhido de maneira que os dois pain´eis exibam a mesma m´edia hni = 3. As curvas vermelhas s˜ao as esperadas pela estat´ıstica de contagem de Levitov-Lesovik. A figura foi extra´ıda da referˆencia [2].

onde qk=

­­

δnk®®_{denota os cumulantes (ou correlatores irredut´ıveis) da estat´ıstica}

e hf (n)i ≡ P_nf (n)Pn. Um experimento t´ıpico onde foi detectada a distribui¸c˜ao

de contagem de el´etrons pode ser visto na referˆencia [2] e a curva experimental ´e apresentada na figura (1.7).

Os primeiros trˆes cumulantes da estat´ıstica de contagem s˜ao

q1 = hni , q2 = ­ n2®_{− hni}2_, q3 = ­(n − hni)3®, (1.26) e representam a m´edia, a variˆancia e a assimetria da distribui¸c˜ao Pn, conforme pode

ser visto na figura (1.8). Vamos considerar o caso interessante de uma distribui¸c˜ao na qual existem M0 tentativas independentes de transmiss˜ao de carga. Cada ten-

tativa tem probabilidade T de sucesso e R = 1 − T de fracasso. Sendo assim, a probabilidade de k tentativas de sucesso ´e dada por C_M(k)₀ = N!/[(N − k)!k!] e a distribui¸c˜ao de probabilidade ´e binomial Pk= CM(k)0T

k_RM0−k. Assim, a fun¸c˜ao gera-

1.3 Teoria de Levitov-Lesovik 19

respectivamente,

χ(λ) = ¡T eiλ+ R¢M0

lnχ(λ) = Nln¡T eiλ_{+ R}¢_{= T N (iλ) + T RN}(iλ)2

2! + T R(T − R)N (iλ)3

3! + · · · , ou seja, q1 = T N , q2 = RT N e q3 = RT (T − R)N s˜ao os trˆes primeiros cumulantes

para a distribui¸c˜ao binomial de um ´unico canal. A distribui¸c˜ao binomial anterior de- screve as tentativas de transmiss˜ao de um ´unico el´etron “monocrom´atico” (um ´unico canal eletrˆonico) em uma corrente DC a uma temperatura nula. A generaliza¸c˜ao da distribui¸c˜ao binomial para m´ultiplos canais seguindo distribui¸c˜oes binomiais inde- pendentes ´e χ(λ) = N Y j=1 ¡ Tjeiλ+ Rj ¢M0 = N Y j=1 £ 1 + Tj ¡ eiλ_{− 1}¢¤M0 , (1.27)

onde M0 = eV t/h À 1 ´e o n´umero de tentativas de transmiss˜ao de el´etrons durante

um tempo de observa¸c˜ao t, para um sistema em uma diferen¸ca de potencial V, e Nc

´e o n´umero de canais independentes. A fun¸c˜ao caracter´ıstica Φ(λ) e os cumulantes irredut´ıveis s˜ao obtidos, imediatamente, da equa¸c˜ao (1.27). Podemos escrevˆe-los, respectivamente, como Φ(λ) = M0 N X j=1 ln£1 + Tj(eiλ− 1) ¤ , qk = dk d(iλ)kΦ(λ) ¯ ¯ ¯ ¯ λ=0 . (1.28) O primeiro cumulante q1 para o sistema do ponto de contato com um fluxo

de corrente DC pode ser obtido da equa¸c˜ao (1.28), imediatamente, se usarmos a formula¸c˜ao de matrizes aleat´orias apresentada anteriormente. Usando o bloco de transmiss˜ao da matriz de espalhamento, obtemos

q1 = M0

N

X

j=1

Tj = M0Tr tt†, (1.29)

ou seja, o primeiro cumulante adimensional g ≡ q1/M0´e, justamente, a condutˆancia adimensional do formalismo de Landauer-B¨uttiker. O segundo cumulante, dado por

q2 = M0 N X j=1 TjRj = M0 N X j=1 Tj(1 − Tj) = M0Tr £ tt†(1 − tt†)¤, (1.30) ´e uma medida da largura da distribui¸c˜ao. O seu correspondente adimensional p =

q2/M0 ´e chamado, na literatura, de potˆencia do ru´ıdo de disparo e ser´a tratado na

subse¸c˜ao seguinte. O terceiro cumulante fica dado por q3 = M0Tr

£

tt†_{(1 − tt}†_{)(1 − 2tt}†₎¤_.

1.3 Teoria de Levitov-Lesovik 20

Figura 1.8: Figura exibindo uma distribui¸c˜ao estat´ıstica de contagem de el´etrons. Os primeiros trˆes cumulantes da f´ormula de Levitov-Lesovik representam, respecti- vamente, a m´edia, a largura e a assimetria da distribui¸c˜ao. A figura foi adaptada da referˆencia [2].

1.3.1

Potˆencia do Ru´ıdo de Disparo

O segundo cumulante da estat´ıstica de contagem ´e mais comumente conhecido na literatura como potˆencia do ru´ıdo de disparo. Como vimos, esse cumulante fornece a largura da distribui¸c˜ao de transmiss˜ao atrav´es do sistema. No transporte quˆantico, existem contribui¸c˜oes de muitas fontes de ru´ıdo. A principal delas ´e o ru´ıdo t´ermico, que causa flutua¸c˜oes na ocupa¸c˜ao de n´ıveis de energia. Em equil´ıbrio termodinˆamico, o n´umero m´edio de ocupa¸c˜ao hni ´e determinado pela distribui¸c˜ao f de Fermi, f =

hni. Considerando que sistemas fermiˆonicos satisfazem n2 _{= n, a flutua¸c˜ao t´ermica}

resultante no n´umero de ocupa¸c˜ao ´e ­

(n − hni)2® = f (1 − f ). (1.31) A temperaturas finitas, portanto, as flutua¸c˜oes s˜ao determinadas pela distribui¸c˜ao de Maxwell-Boltzmann. A temperaturas nulas, a contribui¸c˜ao para a flutua¸c˜ao t´ermica se anula e a m´edia se estabiliza em rela¸c˜ao `a essa vari´avel.

A potˆencia do ru´ıdo de disparo, por outro lado, est´a associada a flutua¸c˜oes no transporte quˆantico de amplitudes de espalhamento e atua mesmo `a temperatura nula. Uma medida da largura da distribui¸c˜ao a temperatura nula ´e o fator Fano,