11. Cake's Global Constants And Functions
11.4. CakePHP Webroot Configuration Paths
Como un+1= un− u2n, de (3.5) e (3.6), resulta 0 < un+1 < 1.
Pelo principio de indu¸c˜ao matem´atica conclui-se que,
∀n ∈ N , 0 < un < 1
.
3.3
Sucess˜oes mon´otonas
3.3.1
Defini¸c˜ao e exemplos
Defini¸c˜ao 3.3. Seja (un) uma sucess˜ao de n´umeros reais.
i. A sucess˜ao (un) diz-se crescente (em sentido lato) se un+1 ≥ un, qualquer que seja n ∈ N.
ii. Dir-se-´a que a sucess˜ao ´e estritamente crescente se un+1 > un, qualquer que seja n ∈ N, ou
seja un+1− un > 0 qualquer que seja n ∈ N.
iii. A sucess˜ao (un) diz-se decrescente (em sentido lato) se un+1≤ un, qualquer que seja n ∈ N.
iv. Dir-se-´a que a sucess˜ao ´e estritamente decrescente se un+1 < un, qualquer que seja n ∈ N,ou
seja, un+1− un< 0 qualquer que seja n ∈ N.
v. A sucess˜ao (un) diz-se constante se un+1 = un, qualquer que seja n ∈ N, ou seja,
un+1− un= 0, qualquer que seja n ∈ N.
vi. A sucess˜ao (un) diz-se mon´otona em sentido lato se for crescente ou decrescente em sentido
lato e estritamente mon´otona se for estritamente crescente ou estritamente decrescente. Exemplos 3.3.
1. Considere-se a sucess˜ao de termo geral un= (n − 10)2.
Para estudar a monotonia da sucess˜ao ter´a que se resolver uma das inequa¸c˜oes
un< un+1 ou un> un+1 e, conforme for o seu conjunto-solu¸c˜ao, concluir sobre a monoto-
Mas estudar o sinal das desigualdades un < un+1 ou un > un+1 ´e estudar o sinal da
diferen¸ca un+1− un.
Estude-se ent˜ao o sinal da diferen¸ca un+1− un.
Assim un+1 − un = (n + 1 − 10)2 − (n − 10)2 = (n − 9)2 − (n − 10)2 = 2n − 194 e
como 2n − 19 < 0 para n < 9, 5, conclui-se que para n ≤ 9, un+1 − un < 0 e para
n ≥ 10, un+1− un> 0, o que permite concluir que a sucess˜ao n˜ao ´e mon´otona.
2. Considere-se a sucess˜ao de termo geral un=
1 √
n2+ n.
Esta sucess˜ao ´e estritamente decrescente, uma vez que o numerador ´e constane e igual a 1 e o denominador ´e positivo e crescente. De facto, (n + 1)2 + (n + 1) > n2 + n, pelo que p(n + 1)2 + (n + 1) > √n2+ n, donde (sendo n´umeros positivos) se conclui
que 1
p(n + 1)2 + (n + 1) <
1
n2+ n. Portanto, un+1 < un, ∀n ∈ N, pelo que (un) ´e
estritamente decrescente.
3. Considere-se a sucess˜ao de termo geral un =
√
n2− n. Intuitivamente deve ser claro que
esta sucess˜ao ´e crescente, pois no seu termo geral a parcela n2 cresce mais rapidamente que a parcela n e a ra´ız quadrada ´e uma fun¸c˜ao crescente.
Comece-se por fazer o estudo da diferen¸ca un+1− un.
Assim, un+1− un = p (n + 1)2− (n + 1) −√n2− n = √n2+ n −√n2− n = ( √ n2+ n −√n2− n)(√n2+ n +√n2− n) (√n2+ n +√n2− n) = 2n (√n2+ n +√n2− n > 0, ∀n ∈ N.
o que permite concluir que a sucess˜ao ´e mon´otona crescente.
3.3.2
Exerc´ıcios
3.3 Sucess˜oes mon´otonas 30
Sucess˜ao de termo geral u
n=
an − b
cn + d
Neste exerc´ıcio pretende-se estudar a monotonia de uma sucess˜ao de termo geral un.
O dom´ınio inicial dos parˆametros a, b, c e d ´e o conjunto dos n´umeros inteiros tais que
−10 ≤ a, b ≤ 10, e 1 ≤ c, d ≤ 20.
Resolu¸c˜ao: Para estudar a monotonia da sucess˜ao de termo geral un=
an − b
cn + d, comece-se por estudar o sinal da diferen¸ca un+1− un.
un+1− un=
a(n + 1) − b c(n + 1) + d−
an − b cn + d.
Simplificando a express˜ao aplicando a propriedade distributiva da multiplica¸c˜ao em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao,
an + a − b cn + c + d −
an − b cn + d reduzindo as duas fra¸c˜oes ao mesmo denominador,
(an + a − b)(cn + d) − (an − b)(cn + c + d) (cn + c + d)(cn + d)
simplificando esta express˜ao obt´em-se,
un+1− un =
ad + bc
(cn + c + d)(cn + d).
A monotonia da sucess˜ao depende do valor da express˜ao ad + bc, uma vez que
(cn + c + d)(cn + d) ´e sempre positivo, visto que n ´e um n´umero natural e c e d s˜ao n´umeros inteiros positivos.
Assim sendo, surgem trˆes situa¸c˜oes:
• ad + bc > 0, e neste caso, para qualquer n´umero natural n, un+1− un> 0 e a sucess˜ao ´e
estritamente crescente.
Para sele¸c˜ao das escolhas m´ultiplas para as hip´oteses de resposta tem-se, correta1 A sucess˜ao ´e estritamente crescente.
errada1 A sucess˜ao ´e estritamente decrescente. errada2 A sucess˜ao ´e constante.
errada3 A sucess˜ao n˜ao ´e mon´otona.
• ad + bc < 0, e neste caso, para qualquer n´umero natural n a sucess˜ao ´e estritamente decrescente.
Para sele¸c˜ao das escolhas m´ultiplas para as hip´oteses de resposta considere-se as seguintes op¸c˜oes de resposta,
correta1 A sucess˜ao ´e estritamente decrescente. errada1 A sucess˜ao ´e estritamente crescente. errada2 A sucess˜ao ´e constante.
errada3 A sucess˜ao n˜ao ´e mon´otona.
• ad + bc = 0 a sucess˜ao ´e constante.
Para sele¸c˜ao das escolhas m´ultiplas para resposta ao exerc´ıcio tem-se as op¸c˜oes,
correta1 A sucess˜ao ´e constante.
errada1 A sucess˜ao ´e estritamente crescente. errada2 A sucess˜ao ´e estritamente decrescente. errada3 A sucess˜ao n˜ao ´e mon´otona.
Concretizando, considerem-se as sucess˜oes de termos gerais
un = 2n − 1 n + 1 , vn = 4n + 3 2n + 1, tn= −2n − 4 3n + 6 .
Na sucess˜ao de termo geral un, a = 2, b = 1, c = 1, d = 1 e ad + bc = 2 × 1 + 1 × 1 = 3, donde
3.3 Sucess˜oes mon´otonas 32
Para a sucess˜ao de termos geral vn vem a = 4, b = −3, c = 2 e d = 1, donde resulta
ad + bc = 4 × 1 + (−3) × 2 = 4 − 6 = −2, o que permite conclui que a sucess˜ao de termo geral vn´e estritamente decrescente.
No caso da sucess˜ao (tn) vem a = −2, b = 4, c = 3, d = 6 e ad + bc = −12 + 12 = 0, o que
permite concluir que a sucess˜ao de termo geral tn´e constante.
Sucess˜ao de termo geral u
n= an
2− bn
Considere a sucess˜ao de termo geral un = an2− bn, com a, b ∈ {1, . . . , 20}.
Resolu¸c˜ao: Para estudar a monotonia da sucess˜ao de termo geral un = an2− bn, considere-se
un+1− un. un+1− un = a(n + 1)2− b(n + 1) − (an2− bn) = a(n2+ 2n + 1) − b(n + 1) − an2+ bn = an2 + 2an + a − bn − b − an2+ bn = 2an + a − b = a(2n + 1) − b Como a e b s˜ao positivos, un+1− un ≥ 0 ⇔ n ≥ b a− 1 2 = b − a 2a . Assim, se b − a 2a
≤ 1, a sucess˜ao ´e mon´otona crescente. Caso contr´ario a sucess˜ao n˜ao ´e mon´otona, j´a que un+1− un < 0 se n ≤
b − a 2a
e un+1− un≥ 0 caso contr´ario.
Considere-se a sucess˜ao (un) de termo geral un= n2− 6n. Neste caso a = 1 e b = 6 o valor de
b − a 2a = 6 − 1 2 × 1 = 2, 5. se n > 2 vem que un+1− un> 0 se n ∈ {1, 2} un+1− un< 0.
Como a diferen¸ca un+1− un n˜ao toma sempre o mesmo sinal para todo o n´umero natural n,
conclui-se que a sucess˜ao n˜ao ´e mon´otona.
Observa¸c˜ao 3.2. Uma representa¸c˜ao gr´afica de (un), Figura 3.5 atendendo a que ´e uma res-
tri¸c˜ao a N da fun¸c˜ao definida por f (x) = x2 − 6x, permite conjeturar que a sucess˜ao ´e n˜ao
sucess˜oes. Se a fun¸c˜ao f ´e mon´otona ent˜ao a sucess˜ao (f (n)) tamb´em ´e mon´otona [17]. −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 0 Figura 3.5: f (x) = x2− 6x