O escopo do trabalho (22) foi estudar as propriedades de transmissão em grafos sim- ples. Entretanto, as escolhas iniciais entre diamante ( ) e hexágono ( ) não apresentaram resultados significativos. Avaliando os coeficientes de transmissão entre os diamantes ( , ), podemos visualizar efeitos interessantes, em que dependendo do número de onda um é mais eficiente que o outro, como apresentado na Figura 24. Entretanto, como os grafos possuem vértices com graus distintos e o número de arestas também é diferente, utilizamos os grafos hexagonais ( , ), que apresentam vértices todos com mesmo grau e mesmo número de arestas, para que as características diferentes em suas transmissões possam ser atribuídas apenas devido à diferença entre as conexões internas, ou seja, devido a diferença na topologia dos grafos.
A principal característica que podemos destacar é a existência da região de supressão que ocorre devido ao grafo , que torna-se mais evidente na associação em série. Outro efeito interessante é a existência dos picos finos de transmissão no interior da região de supressão, devido a composição mista dos grafos. Estes efeitos podem ser interessantes na construção de dispositivos quânticos a fim de manipular a probabilidade de transmissão.
Supondo que estes grafos quânticos possam ser utilizados como dispositivos elementares, estes efeitos poderiam ser simulados utilizando redes de micro-ondas, como nos trabalhos
(9, 10). Outras linhas que podem ser exploradas na utilização de grafos em sua implementação experimental, destacando os grafos apresentados, podem ser nas chamadas redes complexas opticamente ativas (45, 46), ou em pontos quânticos (quantum dots), como apresentado em (12, 13).
Do ponto de vista teórico, outras possibilidades podem ser testadas visando tornar o grafo mais próximo a situações reais, como a inclusão de potenciais (barreiras ou poços) nas arestas, interações pontuais nos vértices do tipo δ ou δ0 com intensidades controláveis (47). A implementação de campos magnéticos ao longo das arestas, os quais poderiam gerar quebra na simetria de reversão temporal, ou seja, poderia gerar um caminho preferencial de transmissão no grafo.
6 CONCLUSÃO
Neste trabalho apresentamos um estudo sobre grafos quânticos e algumas de suas aplica- ções em mecânica quântica, utilizando a abordagem de funções de Green. A utilização de grafos quânticos para o estudo de poços e barreiras de potencial proporciona uma maior abrangência na análise, uma vez que grafos possuem maior versatilidade para descrição de sistemas, devido a possibilidade de definirmos potenciais nas arestas e nos vértices do grafo. Outro ponto a ser destacado é a utilização de grafos que possuem vértices com graus maiores que 2, os quais possibilitam a generalização de potenciais constantes por partes na forma de sistemas unidimen- sionais multiconectados. É importante destacarmos que a abordagem de potenciais constantes por partes interpretados como grafos vestidos utilizando a abordagem de funções de Green é uma contribuição original obtida neste trabalho.
Discutimos a matriz de espalhamento que possui papel fundamental na análise de sistemas de espalhamento, que possibilita analisarmos o fluxo de polos para barreira e poço de potencial, que descreve como os pontos associados aos estados de ressonância e antirressonância, os quais estão localizados nos quarto e terceiro quadrante respectivamente, e os estados ligados e antiligados, que encontram-se no eixo imaginário positivo e negativo respectivamente. Os polos da matriz de espalhamento foram analisados como polos da função de Green, em que mostramos a equivalência entre as abordagens em grafos, o que torna sua obtenção bastante simples, uma vez que não é necessário resolver a equação diferencial, apenas constrói-se o sistema de equações lineares associado às famílias de caminhos de espalhamento e extraímos a matriz cujo determinante secular fornece os polos.
Os assuntos apresentados nos primeiros capítulos são utilizados na descrição dos efeitos de transmissão dos grafos diamante e hexagonais, em que focamos a atenção nos grafos hexago- nais, onde interpretamos estes grafos como dispositivos quânticos para controle da transmissão. A partir disso, construímos associações em série e paralelo a fim de avaliar efeitos de transmissão gerados devido a estes circuitos, como as regiões de supressão total da transmissão e dos picos de transmissão no interior das regiões de supressão.
Além disso, devido a grande flexibilidade em suas construções, sua utilização se torna viável na busca outros sistemas que possam ser modelados por meio de grafos é bastante promissora, como simulações de condução em moléculas e redes complexas. Também em virtude da possibilidade das simulações experimentais com redes de micro-ondas, por exemplo, a ideia da construção de dispositivos quânticos utilizando grafos e suas possíveis aplicações podem ser testadas experimentalmente, favorecendo ainda mais suas análises.
Os picos finos de transmissão obtidos da composição de grafos simples, são bastante interessantes, uma vez que os grafos utilizados não possuem tais estruturas quando analisados separadamente. A escolha dos grafos para análise foi feita buscando a estruturas mais simples possíveis capazes de fornecer feitos característicos na transmissão. Entretanto optamos por utilizar os grafos hexagonais pois estes possuem mesmo número de vértices, arestas e todos os vértices possuem grau três, desta forma temos que os efeitos de transmissão observados podem
ser atribuídos à topologia dos grafos, ou seja, sua conectividade. Os efeitos de supressão e picos finos no interior desta mesma região da transmissão podem ser interessantes na construção de dispositivos quânticos, a fim de manipular a probabilidade de transmissão. Supondo tais grafos como dispositivos, estas propriedades poderiam ser simuladas utilizando redes de micro-ondas.
Do ponto de vista teórico, diversas possibilidades podem ser testadas visando tornar o grafo mais próximo a situações reais, como inclusão de potenciais nos vértices e/ou nas arestas. Também a implementação de campos magnéticos é um ponto interessante a ser estudado, uma vez que a simetria de reversão temporal seria quebrada.
7 PERSPECTIVAS FUTURAS
Tendo em vista a flexibilidade do estudo de grafos e algumas análises apresentadas, certas linhas podem ser tomadas para estudos futuros, tais como:
• Avaliar o fluxo de polos para diferentes formas de potencial e também para grafos, a fim de compreender a formação dos picos de ressonância. Estudo da influência de potenciais com interações pontuais no fluxo de polos;
• Análise e descrição dos picos de ressonância por meio da abordagem sobre a topologia que envolve o grafo, uma vez que as ressonâncias podem ser classificadas como ressonâncias de forma ou topológicas (48);
• Implementação de campo magnético em grafos, com o intuito de gerar “caminhos prefe- renciais”que possam favorecer a transmissão em uma dada direção e impedir em outra. Tal implementação quebraria a reversão temporal nos grafos, o que poderia trazer resultados interessantes;
• Modelar moléculas de forma simplificada por meio de grafos, em que os vértices seriam átomos e as arestas as ligações químicas, a fim de avaliar possíveis quantidades que possam ser concebidas e comparadas com as medidas experimentais conhecidas, ao menos de maneira qualitativa.
REFERÊNCIAS
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APÊNDICE A – AMPLITUDES DE TRANSMISSÃO E REFLEXÃO PARA POTENCIAIS DO TIPO DEGRAU
Utilizando um potencial do tipo degrau na forma
V (x) = Vj se x < xj, Vj+1 se xj < x, (A.1)
em que os Vjs são potenciais arbitrários, distintos e constantes, como podemos visualizar na
figura 30:
Figura 30 – Representação de um potencial do tipo degrau.
Fonte: O autor.
Podemos determinar as amplitudes de reflexão e transmissão para uma partícula com energia E ao atingir a descontinuidade do potencial, resolvendo a equação de Schrödinger do sistema.
Supondo que a partícula incide na descontinuidade do potencial pela esquerda, a solução é descrita na forma: ψ(x) = eikjx+ r(+) j e −ikjx se x < a, t(+)j eikj+1x se a < x, (A.2)
em que a notação rj(+)indica que a partícula incide no potencial j pela direita, com números de onda kj = r 2m ~2 (E − Vi). (A.3)
Utilizando a condições de contorno nos pontos de descontinuidade do potencial, as quais são a continuidade da função ψ(x = 0−) = ψ(x = 0+) e da derivada ψ0(x = 0−) = ψ0(x = 0+),
podemos determinar as amplitudes de reflexão e transmissão, em termos dos números de onda, rj(+)= kj− kj+1 ki + kj+1 , (A.4) t(+)j = 2pkjkj+1 kj + kj+1 . (A.5)
A solução para o caso da partícula incidindo no potencial à esquerda, consiste na equação (A.2) complexo conjugada e alternando as regiões em torno do potencial. As amplitudes de reflexão tornam-se
rj(−)= −r(+)j , (A.6)
t(−)j = t(+)j , (A.7)
APÊNDICE B – TRABALHOS PRODUZIDOS DURANTE O MESTRADO
Durante o mestrado foram produzidos dois trabalhos, sendo o primeiro intitulado “Nar- row peaks of full transmission in simple quantum graps”já publicado (online) na revista Physical Review A, disponível em <https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.100.062117#>. Outro está em desenvolvimento, intitulado “Quantum graphs proposal for quantum devices”, cuja versão preliminar encontra-se diponível em <https://arxiv.org/pdf/1906.07782.pdf>.