2.2 Faible discernabilité contrôlable des systèmes linéaires non perturbés
3.1.1 De l’équation intégrale à l’équation algébrique
3.1.3 Quelques propriétés fondamentales de l’opérateur F . . . 72 3.1.4 Indice de similarité des paramètres de Markov . . . 74
3.2 Caractérisation de la zone d’indiscernabilité . . . . 79
3.2.1 Zone d’indiscernabilité : cas ρ = 2n et ρ = +∞ . . . . 79 3.2.2 Zone d’indiscernabilité : cas 0 ≤ ρ ≤ 2n − 1 . . . . 84
3.3 Quelques applications de la zone d’indiscernabilité . . . . 102
3.3.1 Conditions de discernabilité stricte des systèmes SISO et MISO . . . . 102 3.3.2 Conditions de forte discernabilité contrôlable . . . 106
3.4 Conclusion . . . . 109
Dans les chapitres 1 et 2, nous avons énuméré des conditions de discernabilité contrô- lable (forte et faible) et des conditions de discernabilité stricte pour les systèmes linéaires non perturbés S1 et S2. Les conditions de faible (resp. forte) discernabilité contrôlable garan- tissent l’existence d’au moins une commande u telle que les ensembles de sorties admissibles S1,R+(u,R
n×Rn, {0
W1}) et S2,R+(u,R
n×Rn, {0
W2}) sont différents (resp. disjoints). Si les conditions de discernabilité stricte ne sont pas satisfaites, il existe de façon certaine au moins une commande non nulle u telle que les ensembles de sorties admissiblesS1,R+(u,R
n×Rn, {0
W1}) etS2,R+(u,R
n×Rn, {0
W2}) ne sont pas disjoints. Ainsi, outre la détermination des conditions de discernabilité, trois autres problèmes qui se posent quand on étudie la discernabilité stricte
et la discernabilité contrôlable des systèmes non perturbés (pour un rappel des définitions de ces notions, voir le tableau 1.3) sont :
Problème 3.0.1. Lorsque S1 et S2 sont contrôlablement discernables au sens faible, déterminer u telle que S1,R+(u,R
n×Rn, {0
W1}) 6= S2,R+(u,R
n×Rn, {0
W2}).
Problème 3.0.2. Lorsque S1 et S2 sont contrôlablement discernables au sens fort, déterminer u telle que S1,R+(u,R
n×Rn, {0 W1}) T S2,R+(u,R n×Rn, {0 W2}) = ∅.
Problème 3.0.3. Lorsque S1 et S2 ne sont pas strictement discernables, déterminer u telle que S1,R+(u,R n×Rn, {0 W1}) T S2,R+(u,R n×Rn, {0 W2}) 6= ∅.
Dans le premier chapitre, nous avons montré que les commandes u solutions des pro- blèmes 3.0.1, 3.0.2 et 3.0.3 sont localisées respectivement dans les domaines Ufbe
dis (S1, S2), Ufrt
dis (S1, S2) etUindstr(S1, S2) et que la caractérisation de la zone d’indiscernabilitéZind(S1, S2) suffit pour déterminer ces trois domaines (voir les relations (1.37), (1.40) et (1.43)). Nous nous intéressons dans ce chapitre à la caractérisation de la zone d’indiscernabilité de S1 et S2. Le chapitre est organisé en trois grandes parties.
Dans la première partie, nous allons nous appuyer sur le fait que la caractérisation deZind peut être ramenée à un problème de résolution d’une équation intégrale. Grâce à la trans- formation de Laplace, cette équation intégrale peut être transformée en une équation linéaire algébrique plus facile à manipuler. Nous introduirons aussi dans cette partie, les notions et les résultats préliminaires que nous utiliserons pour caractériser la zone d’indiscernabilité. Parmi ces notions, celle qui va jouer un rôle déterminant dans la méthode que nous proposons pour caractériserZind(S1, S2) est l’indice ρ ∈NS{+∞} de similarité des paramètres de Markov de S1 et S2. Il n’est fini que lorsque les deux systèmes n’ont pas les mêmes paramètres de Markov. La seconde partie est consacrée à la caractérisation de la zone d’indiscernabilité. Pour cette caractérisation nous distinguons deux grands cas. Le cas où les deux systèmes ont les mêmes paramètres de Markov et le cas où ils ont des paramètres de Markov différents. Dans le premier cas nous montrons que toutes les commandes peuvent conduire S1 et S2 à générer des sorties identiques. Dans le second cas nous prouvons que S1 et S2 génèrent des sorties identiques si et seulement si la commande u appliquée conjointement aux deux systèmes a une structure particulière que nous déterminons et si les états initiaux des deux systèmes appartiennent à un domaine donné.
La troisième partie donne quelques applications de la caractérisation de la zone d’indiscer- nabilité. Nous y montrons qu’en utilisant les résultats de la caractérisation de la zone d’indis- cernabilité, on peut retrouver
— le résultat de [Lou and Si, 2009], [Lou and Yang, 2014] qui stipule que les systèmes MISO ne sont jamais strictement discernables
— la condition de forte discernabilité contrôlable de [Babaali and Pappas, 2004]
Une autre contribution de ce chapitre que nous déduisons de la caractérisation de la zone d’in- discernabilité est le théorème 3.3.3 qui établit une condition nécessaire et suffisante de strict discernabilité des systèmes SISO. Nous montrons dans ce théorème que lorsque S1 et S2 sont des systèmes SISO, ils sont strictement discernables si et seulement si l’indice de similarité de leurs paramètres de Markov vaut 2 n (ρ = 2n). Cette condition de discernabilité stricte est plus simple à tester comparativement à la condition de [Lou and Yang, 2014] dont le test requiert le calcul du rang de la matrice de Rosenbrock R (p) du système S quelques soient les valeurs du paramètre p ∈ C. Les résultats de ce chapitre ont fait l’objet d’une publica- tion [Motchon et al., 2015a] dans la revue IEEE Transactions on Automatic Control.
3.1
Concepts fondamentaux et résultats préliminaires
3.1.1
De l’équation intégrale à l’équation algébrique
D’après la définition de la zone d’indiscernabilité, on a (xo
1, xo2, u) ∈Zind(S1, S2) si et seule- ment si xo
1, xo2 et u sont solutions du problème d’annulation de la sortie du système augmenté : pour tout t ∈R+, 0m = y (t, π (xo1, x o 2) , u, π (0W1, 0W2)) = C e t Aπ (xo 1, x o 2) + C Z t 0 e(t−τ ) AB u (τ ) dτ + D u (t) , (3.1) où on rappelle que les matrices A ∈R2n×2n, B ∈R2n×l, C ∈Rm×2n et D ∈ Rm×l représentent
respectivement les matrices d’état, de commande, d’observation et d’action directe du système augmenté S associé à S1 et S2 et que π est l’opérateur d’empilement de variables défini par π (ξ1, ξ2) = ξ1 ξ2
. Pour résoudre l’équation intégrale (3.1), nous allons utiliser la transformée
de Laplace pour la mettre sous la forme d’une équation algébrique linéaire.
Dans tout ce qui suivra, pour un nombre quelconque θ ∈ R, nous désignerons par Hθ le
demi-plan complexe situé à droite de l’axe < (p) = θ c’est-à-dire
Notation 3.1.1. Hθ = {p ∈C: < (p) > θ}
Nous adopterons aussi les notations suivantes :
Notation 3.1.2. Le domaine C1
exp(R+,Rq) désigne l’ensemble des fonctions ϕ deR+ à valeurs dans Rq possédant les propriétés suivantes :
(i) ϕ ∈C1(R
+,Rq) c’est-à-dire ϕ est continue et dérivable sur R+
(ii) ϕ est d’ordre exponentiel [Schiff, 1999], [Weber and Arfken, 2003] à l’infini c’est-a-dire il existe deux nombres réels κϕ > 0 et θϕ tels que pour tout t ∈R+,
|ϕj(t)| ≤ κϕet θϕ, ∀j = 1, 2, . . . , q
où ϕj, j = 1, 2, . . . , q désigne la jème fonction composante de ϕ. Le nombre θϕ est un
“ordre exponentiel de la fonction ϕ”.
Les commandes que nous considérons sont dérivables sur R+ (U ⊆ C1(R+,Rm)). Pour garantir l’existence de la transformée de Laplace de ces commandes nous supposons qu’elles sont d’ordre exponentiel à l’infini. Le domaine U des commandes admissibles satisfait donc l’hypothèse suivante : Hypothèse 3.1.3. U = C1 exp R+,Rl .
Le théorème de Lerch [Schiff, 1999] (voir lemme 3.1.4) et la proposition 3.1.5 ci-dessous sont les résultats préliminaires que nous utilisons pour transformer l’équation intégrale en une équation algébrique linéaire.
Le théorème de Lerch donne une condition nécessaire sur l’unicité de la transformée de Laplace inverse d’une fonction.
Lemme 3.1.4. Soient ϕ et ψ deux fonctions continues par morceau sur R+ et d’ordre expo- nentiel θϕ et θψ. S’il existe un nombre θ > max {θϕ, θψ} tel que
L [ϕ] (p) = L [ψ] (p) , ∀p ∈ Hθ
alors ϕ (t) = ψ (t), pour tout t ∈R+ tel que ϕ et ψ sont continues en t.
Une conséquence immédiate du lemme 3.1.4 est que si deux fonctions continues sur R+ et d’ordre exponentiel ont la même transformée de Laplace alors elles sont identiques sur R+.
La proposition suivante montre que la sortie y (·, π (xo
1, xo2) , u, π (0W1, 0W2)) du système aug- menté possède les mêmes propriétés que la commande u (continuité, dérivabilité et propriété d’ordre exponentiel).
Proposition 3.1.5. Soit u ∈ U et soit θu un ordre exponentiel de u. Pour tout (xo1, xo2) ∈ Rn×Rn, y (·, π (xo
1, xo2) , u, π (0W1, 0W2)) ∈C 1
exp(R+,Rm) et θu+ λA est un ordre exponentiel de
Démonstration. Voir annexe E.
La sortie y (·, π (xo1, xo2) , u, π (0W1, 0W2)) étant continue et d’ordre exponentiel θu+ λA, nous déduisons du théorème de Lerch qu’elle est identiquement nulle surR+si et seulement s’il existe θ > θu+ λA, tel que
L [y (·, π (xo
1, x
o
2) , u, π (0W1, 0W2))] (p) = 0m, ∀p ∈ Hθ. (3.2) A partir de l’équation d’état du système augmenté ou à partir de l’expression explicite de la sortie y (voir équation (3.1)), on a pour tout p ∈Hθu+λA,
L [y (·, π (xo 1, xo2) , u, π (0W1, 0W2))] (p) = F (p, D, C, A, B) L [u] (p) + F (p, 0, C, A, π (xo 1, xo2)) det (p I2n− A) (3.3) où pour tout p ∈HλA et pour tout (M, N ) ∈Rm×q×Rn×q, q ∈N?,
F (p, M, C, A, N) = det (p I2n− A) M + C adj (p I2n− A) N (3.4) avec adj (p I2n− A) = det (p I2n− A) (p I2n− A) −1 . En remplaçant dans (3.2)L [y (·, π (xo
1, xo2) , u, π (0W1, 0W2))] par sa formule explicite donnée par la relation (3.3), il vient alors que la zone d’indiscernabilité de S1 et S2 peut être caractérisée par le lemme suivant.
Lemme 3.1.6. Soit (xo
1, xo2, u) ∈Rn×Rn× U et soit θu un ordre exponentiel de u. Les deux
assertions suivantes sont équivalentes : (i) Le triplet (xo
1, xo2, u) appartient à la zone d’indiscernabilité de S1 et S2. (ii) Il existe un nombre réel θ > θu+ λA tel que
F (p, D, C, A, B) L [u] (p) + F (p, 0, C, A, π (xo
1, x
o
2)) = 0m, ∀p ∈ Hθ. (3.5)
Démonstration. La preuve découle de (3.2) et (3.3).